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第四章 抛体运动与圆周运动
圆周运动中的“两类”临界问题
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考点1 水平面内圆周运动的临界问题★★★★☆
考点2 竖直平面内圆周运动的临界问题★★★★☆
（星级越高，重要程度越高）
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【考情分析·探规律】
圆周运动的临界问题
2025·安徽、2024·广东卷·T5、2024·甘肃卷·T8、2024·黑吉辽卷·T2、
2023·江苏卷·T13、2023·全国甲卷·T17、2023·北京卷·T10、
2022 全国甲卷T14、2022 河北卷T10、2022 辽宁卷T13、
2022 北京卷T8
【知识梳理】
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑
动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离
圆心和沿半径指向圆心．
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
考点二 竖直平面内圆周运动的临界问题
竖直平面内圆周运动的两类模型
物理情景
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道
运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
受力特征
除重力外，物体受到的弹力方
向；
向下或不受弹力
除重力外，物体受到的弹力方向：
向下、不受弹力或向上
受力示意图
力学方程
mg＋FN＝m
mg±FN＝m
临界特征
FN＝0
即mg＝m
vmin＝
v＝0
即F 向＝0
FN＝mg
过最高点的条
件
在最高点的速度v≥
在最高点的速度v≥0
在最高点的FN
图像
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
【考法归纳】解决竖直平面内圆周运动临界问题的思路
【真题挑战】
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）质量为m 的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下
列说法正确的是（ ）
A．秋千对小明的作用力小于
B．秋千对小明的作用力大于
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
【答案】A
【详解】在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为
，秋
千对小明的作用力为F，则对人，沿摆绳方向受力分析有
由于小明的速度为0，则有
沿垂直摆绳方向有
解得小明在最高点的加速度为
所以A 正确；BCD 错误；
故选A。
二、解答题
2．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一根
长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，
绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
【答案】(1)
，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机械能守恒定律
在该位置时根据牛顿第二定律
解得
，
（2）小球做平抛运动时
，
解得x=4m
（3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
3．（2024·贵州·高考真题）如图，半径为
的四分之一光滑圆轨道固定在竖直平面内，其末端与
水平地面
相切于P 点，
的长度
。一长为
的水平传送带以恒定速率
逆时
针转动，其右端与地面在M 点无缝对接。物块a 从圆轨道顶端由静止释放，沿轨道下滑至P 点，再向左
做直线运动至M 点与静止的物块b 发生弹性正碰，碰撞时间极短。碰撞后b 向左运动到达传送带的左端N
时，瞬间给b 一水平向右的冲量I，其大小为
。以后每隔
给b 一相同的瞬时冲量I，直到b
离开传送带。已知a 的质量为
的质量为
，它们均可视为质点。a、b 与地面及传送带间
的动摩擦因数均为
，取重力加速度大小
。求：
(1)a 运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小；
(2)b 从M 运动到N 的时间；
(3)b 从N 运动到M 的过程中与传送带摩擦产生的热量。
【答案】(1)30N
(2)3.2s
(3)95J
【详解】（1）a 从静止释放到圆轨道底端过程，根据机械能守恒定律
在
点，设轨道对它的支持力大小为
，根据牛顿第二定律
联立解得
（2）a 从静止释放到M 点过程中，根据动能定理
解得
与
发生弹性碰撞的过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得
滑上传送带后，根据牛顿第二定律
解得
的速度减小到与传送带速度相等所需的时间
对地位移
此后
做匀速直线运动，
到达传送带最左端还需要的时间
b 从M 运动到N 的时间
（3）设向右为正方向，瞬间给b 一水平向右的冲量，对
根据动量定理
解得
向右减速到零所需的时间
然后向左加速到
所需的时间
可得
在
时间内向右运动的距离
循环10 次后
向右运动的距离
每一次相对传动带运动的路程
b 从N 向右运动3m 的过程中
与传送带摩擦产生的热量
然后
继续向右减速运动，根据运动学公式
解得
此过程，b 相对传动带运动的路程
此过程中
与传送带摩擦产生的热量
b 从N 运动到M 的过程中与传送带摩擦产生的热量
4．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光
滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球
用不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放
小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长
。小球质量
。物块、小车质量均为
。小车上的水平轨道长
。圆
弧轨道半径
。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g 取
。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值
范围。
【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3）
【详解】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理
解得
在最低点，对小球由牛顿第二定律
解得，小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为
（2）小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为
（3）若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒
由能量守恒定律
解得
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒
由能量守恒定律
解得
综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值范围为
5．（2022·浙江·高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角
=37°的光滑直轨道AB、
圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道
FG 组成，B、D 和F 为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G 点（与B 点等高），B、O1、D、O2和
F 点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD 和DEF 的半径R=0.15m，轨道AB
长度
，滑块与轨道FG 间的动摩擦因数
，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，
sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB 上某点静止释放，（
）
（1）若释放点距B 点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C 时轨道对其支持力FN的大小；
（2）设释放点距B 点的长度为
，滑块第一次经F 点时的速度v 与
之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG 的中点，求释放点距B 点长度
的值。
【答案】（1）7N；（2）
（
）；（3）
，
，
【详解】（1）滑块释放运动到C 点过程，由动能定理
经过C 点时
解得
（2）能过最高点时，则能到F 点，则恰到最高点时
解得
而要保证滑块能到达F 点，必须要保证它能到达DEF 最高点，当小球恰好到达DEF 最高点时，由动能定
理
可解得
则要保证小球能到F 点，
，带入
可得
（3）设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n 倍，则n=1,3,5,……
解得
n=1,3,5, ……
又因为
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，满足要求。
即若滑块最终静止在轨道FG 的中点，释放点距B 点长度
的值可能为
，
，
。
6．（2020·天津·高考真题）长为l 的轻绳上端固定，下端系着质量为
的小球A，处于静止状态。A 受到
一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A 回到最低点时，质
量为
的小球B 与之迎面正碰，碰后A、B 粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不
计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A 受到的水平瞬时冲量I 的大小；
（2）碰撞前瞬间B 的动能
至少多大？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）A 恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设A 在最高点时的速度大小
为v，由牛顿第二定律，有
①A 从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A 在最低点的
速度大小为
，有
②
由动量定理，有
③
联立①②③式，得
④
（2）设两球粘在一起时速度大小为
，A、B 粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足
⑤
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B 的速度方向相同，以此方向为正方向，设B 碰前瞬间
的速度大小为
，由动量守恒定律，有
⑥
又
⑦
联立①②⑤⑥⑦式，得碰撞前瞬间B 的动能
至少为
⑧
