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高中物理强基计划系统讲义
第一章：运动学
1.3 曲线运动的精确描述：切向与法向加速度
对于一般曲线运动，使用自然坐标系(�ො, �ෝ) 分析加速度最为直观。
•切向单位矢量�ො：沿速度方向
•法向单位矢量�ෝ：指向曲率中心
•加速度分解：�Ԧሬ= ���ො+ ���ෝ
•切向加速度(��)：
–物理意义：改变速度大小，反映速率变化的快慢。
–计算：��=
��
��(速率�对时间的导数)
•法向加速度(��)：
–物理意义：改变速度方向，反映速度方向变化的快慢。
–计算：��=
�2
�，其中�是该点轨迹的曲率半径。
–方向：始终指向该点轨迹的曲率中心（即凹侧）。
•曲率半径计算直角坐标系：�=
[1+(�′)2]3/2
|�″|
参数方程：�=
(�ሶ2+�ሶ2)3/2
|�ሶ�ሷ−�ሶ�ሷ|
【讨论】
直线运动：�→∞，��= 0，�Ԧሬ= ��。
匀速圆周运动：��= 0，�Ԧሬ= ��=
�2
�(向心加速度)。
一般曲线运动：��和��均不为零。总加速度�=
��
2 + ��
2。
•例题5：一质点沿半径为�的圆周按�= �0�−
1
2 ��2 的规律运动(�是弧长)。求其任意时刻�的切向
加速度、法向加速度和总加速度。
•解：
–速率�=
��
��= �0 −��
–切向加速度��=
��
��=−�(恒定)
–法向加速度��=
�2
�=
(�0−��)2
�
–总加速度大小�=
��
2 + ��
2 =
�2 +
(�0−��)4
�2
•例题6：抛体运动轨迹的曲率半径计算: 一个抛射体以初速度�0 与水平方向成�角抛出，忽略空气阻
力。求其抛物线轨迹在最高点的曲率半径。
•解：
–抛体运动的轨迹为抛物线。在最高点，垂直速度分量为零，只有水平速度分量��= �0cos�。
–此时，加速度为重力加速度�向下，方向垂直于速度方向（速度水平），因此向心加速度��= �。
–曲率半径�与速度�和向心加速度��的关系为：�=
�2
��
–代入最高点的速度�= �0cos�和��= �，得：�=
(�0cos�)2
�
=
�0
2cos2�
�
–因此，抛体轨迹在最高点的曲率半径为
�0
2cos2�
�
。
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高中物理强基计划系统讲义
–讨论：此结果显示了曲率半径与初速度�0、抛射角�和重力加速度�的关系。当�= 0 时，曲
率半径最大；当�= 90∘时，曲率半径为零（对应竖直上抛，最高点速度为瞬零，但实际中需考虑点质量模
型）。此计算在物理中常用于分析曲线运动的弯曲程度。
1.4 相对运动
相对运动是指物体相对于不同参考系的运动。在物理学中，我们通常使用参考系来描述运动。设两个参
考系S（静止系）和S’（运动系），S’ 以速度�Ԧሬ
相对于S 平动。
1.4.1 伽利略变换
位置关系：�Ԧሬ= �Ԧሬ′ + �Ԧሬ，其中�Ԧሬ是物体在S 系中的位置，�Ԧሬ′ 是物体在S’ 系中的位置，�Ԧሬ
是S’ 系原点
在S 系中的位置。
速度关系：�Ԧሬ= �Ԧሬ′ + �Ԧሬ，其中�Ԧሬ
是物体在S 系中的速度，�Ԧሬ′ 是物体在S’ 系中的速度，�Ԧሬ
是S’ 系相
对于S 系的速度。
加速度关系：�Ԧሬ= �Ԧሬ′ + �Ԧሬ，其中�Ԧሬ
是物体在S 系中的加速度，�Ԧሬ′ 是物体在S’ 系中的加速度，�Ԧሬ
是S’
系相对于S 系的加速度。
如果S’ 系相对于S 系做匀速直线运动（惯性系），则�Ԧሬ= 0，加速度相同；如果S’ 系非惯性系，则
需要引入惯性力。
符号规定：
绝对：相对于静止参考系（通常是地面）。
牵连：动系相对于静系的运动。
相对：物体相对于动系的运动。
例题6：一人以�Ԧሬ人地= 5�መm/s 向东行走，感觉风从北偏西30°吹来。若他将速度增大至�Ԧሬ人地= 10�መm/s，
则感觉风从正北吹来。求风相对于地面的速度�Ԧሬ风地。
解：
–关键方程：�Ԧሬ风地= �Ԧሬ风人+ �Ԧሬ人地
–第一次：�Ԧሬ风地= �Ԧሬ风人1 + 5�መ，且�Ԧሬ风人1 方向为南偏东30°（因为他感觉风从北偏西来）。
–第二次：�Ԧሬ风地= �Ԧሬ风人2 + 10�መ，且�Ԧሬ风人2 方向为正南。
–设�Ԧሬ风地= ���መ+ ���መ。
第一次：(���መ+ ���መ) −(5�መ) = �1( −cos30∘�መ−sin30∘�መ)
第二次：(���መ+ ���መ) −(10�መ) = �2(0�መ−1�መ)
–解得：��= 5 + 5 3 ≈13.66 m/s, ��=−10 m/s (负号表示向南)。
–所以�Ԧሬ风地≈(13.66�መ−10�መ) m/s。
1.4.2 转动坐标系
位矢�Ԧሬ= �Ԧሬ′ + �Ԧሬ
速度�Ԧሬ= �Ԧሬ′ + �Ԧሬ+ �Ԧሬሬ× �Ԧሬ′ 加速度�Ԧሬ= �Ԧሬ′ + �Ԧሬ+ 2�Ԧሬሬ× �Ԧሬ′ + �Ԧሬሬ× (�Ԧሬሬ× �Ԧሬ′) + �Ԧሬሬሶ× �Ԧሬ′
1.4.3 科里奥利力
科里奥利力是当物体在旋转参考系中运动时出现的一种惯性力。它垂直于物体的运动方向，影响物体的
轨迹。
科里奥利力的表达式：�Ԧሬ�=−2� �Ԧሬሬ× �Ԧሬ′
其中：
–�是物体质量，
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高中物理强基计划系统讲义
–�Ԧሬሬ是旋转参考系的角速度矢量，
–�Ԧሬ′ 是物体在旋转参考系中的速度。
方向：科里奥利力垂直于�Ԧሬሬ和�Ԧሬ′，遵循右手定则。在北半球，运动物体向右偏转；在南半球，向左偏
转。
例：地球自转的影响
–河流冲刷：北半球河流右岸冲刷更严重。
–气旋方向：北半球气旋逆时针旋转。
–傅科摆：证明地球自转的实验。
例：科里奥利力的计算
问题：一个质量为1 kg 的物体在纬度为30° 的地球表面以10 m/s 的速度向北运动。计算科里奥利力的
大小（地球自转角速度�= 7.27 × 10−5 rad/s）。
解：
- 角速度的垂直分量：��= �sin30∘= 3.635 × 10−5 rad/s
- 科里奥利力大小：��= 2����= 2 × 1 × 3.635 × 10−5 × 10 = 7.27 × 10−4 N
- 方向：向东（右手定则）。
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