2026 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
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2026 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共4 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1. 已知集合M = {x | x = 3n −2, n ∈Z}，N = {−2, −1, 0, 1, 2}，则M ∩N =
A. {−2, 1}
B. {−1, 2}
C. {−1, 1}
D. {−2, 0, 2}
2. 已知复数z 满足z(1 −i) = 2i（其中i 为虚数单位），则z 的值为
A. −1 −i
B. −1 + i
C. 1 −i
D. 1 + i
3. 若(x + 1)5 = a0 + a1(x −1) + a2(x −1)2 + · · · + a5(x −1)5，则a3 =
A. 40
B. −40
C. −80
D. 80
4. 已知图1⃝中的图象是函数y = f(x) 的图象，则图2⃝中的图象对应的函数可能是
x
y
O
图1⃝
x
y
O
图2⃝
A. y = f(|x|)
B. y = |f(x)|
C. y = f(−|x|)
D. y = −f(−|x|)
5. 抛物线y2 = mx 绕其顶点顺时针旋转90◦后，得到的图象正好对应抛物线y = 2x2，则
m =
A. −1
2
B. 1
2
C. 2
D. −2
6. 若1 < 1
a < 1
b，则下列结论不正确的是
A. loga b > logb a
B. | loga b + logb a| > 2
C. (loga b)2 < 1
D. | loga b| + | logb a| > | loga b + logb a|
7. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn，则“数列{an} 是等比数列”为“存在λ ∈R，使得
Sn+1 = a1 + λSn”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，在正方体ABCD −A1B1C1D1 中，点P 在线段BD1 上（P 与B, D1 均不重合）。
记点P 到正方体各顶点距离的不同取值构成的集合为M，M 中元素的个数为m，则
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P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A. m 的最小值为2，最大值为4
B. m 的最小值为1，最大值为3
C. m 的最小值为1，最大值为4
D. m 的最小值为2，最大值为3
9. 仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11 月29
日23 时08 分发射，约10 分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离。早在1903
年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理
想情况下的最大速度v 满足公式：
v = v0 ln m1 + m2
m1
,
其中m1, m2 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v0 是发动机的喷气速度。已知某单
级火箭结构质量是推进剂质量的2 倍，火箭的最大速度为8km/s，则火箭发动机的喷
气速度为（参考数据：ln 2 ≈0.7，ln 3 ≈1.1，ln 4 ≈1.4）
A. 10km/s
B. 20km/s
C. 80
3 km/s
D. 40km/s
10. 过点P(4, 0) 的直线与圆x2 + y2 = 4 交于不同的两点A, B，设C(1, 0)，则
−→
CA + −−→
CB
的取值范围是
A. [2, 6]
B. [
√
3, 2
√
3]
C. [2, 2
√
3]
D. [
√
3, 4]
第二部分（非选择题共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11. 若f(x) = 2 sin(x+φ)−cos x (φ > 0) 为奇函数，则φ 的一个值为
，f(x)
最大值为
。
12. 若双曲线C : y2
a2 −x2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线被圆x2 + y2 −4y + 2 = 0 所截
得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为
。
13. 我国南北朝时期的数学典籍《孙子算经》中“物不知数”问题的解法，被西方人称为“中国
剩余定理”。现有如下问题：将被2 除余数为1 且被3 除余数为2 的正整数，按从小到大的
顺序排成一列，构成数列{an}，则a1 =
，a2026−a2024 =
。
14. 如图，筝形ABCD 中，AB = AD =
√
5，BC = DC =
√
2，BD = 2。将△ABD 绕BD
顺时针旋转120◦，得到四面体ABCD，则四面体ABCD 的体积为
，表
面积为
。
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A
D
B
C=⇒
A
D
B
C
15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并
且有意识地“以概念代替盲算”，以其名字命名的函数狄利克雷函数
D(x) =
(
1,
x 是有理数,
0,
x 是无理数.
现定义一个与狄利克雷函数类似的函数“L 函数”
L(x) =
(
x,
x 是有理数,
0,
x 是无理数.
给出下列四个结论：
1⃝D(1) = L(1)；
2⃝函数L(x) 是偶函数；
3⃝L 函数图像上存在四个点A, B, C, D，使得四边形ABCD 为平行四边形；
4⃝L 函数图像上存在三个点A, B, C，使得△ABC 为等边三角形。
其中正确结论的序号是
。
三、解答题共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13 分）如图，在平面内，四边形ABCD 满足B, D 点在AC 的两侧，AB = 1，
BC = 2，△ACD 为正三角形，设∠ABC = α。
B
A
D
C
α
（I）当∠ACB = 30◦时，求α 的大小；
（II）当α 变化时，求四边形ABCD 面积的最大值。
17.（本小题13 分）流感病毒属于RNA 病毒，主要分为甲型、乙型、丙型。其中，甲型流
感病毒传染性和致死率最高，危害极大。某药品科技研发团队针对甲流病毒特性，成
功研制出预防药品M 与治疗药品N。通过对前期动物试验的相关有效数据进行统计，
随机选取100 个样本，得到如下数据：
预防药品M
甲流病毒–感染
甲流病毒–未感染
合计
未使用
16
20
36
使用
24
40
64
合计
40
60
100
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（I）从这100 个样本中随机抽取一个，已知该样本使用了预防药品M，记其未感染甲
流的概率为P1，求P1 的值；
（II）以频率估计概率，从已感染甲流的动物中抽取3 个样本，记使用了预防药品M
的动物数为X，未使用预防药品M 的动物数为Y ，求X < Y 的概率；
（III）以频率估计概率，从已感染甲流的动物中随机抽取一只，使用治疗药品N 进行
治疗。已知未使用预防药品M 的动物治愈率为0.5，使用过预防药品M 的动物
治愈率为0.75，设治疗药品N 对甲流的治愈率为P2，判断P1 与P2 的大小（结
论不要求证明）。
18.（本小题14 分）如图，三棱锥P −ABC 中，AB ⊥AC，AB ⊥BP，AB = BP = 2，
AC = 4。M 为AP 的中点，N 为BC 的中点。
M
N
A
B
C
P
（I）求证：AB ⊥MN；
（II）再从条件1⃝、条件2⃝这两个条件中选择一个作为已知，求直线MN 与平面PAC
所成角的正弦值。
条件1⃝：MN =
√
5；
条件2⃝：PC = 2
√
6。
注：如果选择条件1⃝和条件2⃝分别解答，按第一个解答给分。
19.（本小题15 分）已知椭圆W : x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的短轴长为2，焦距为2
√
3。
（I）求椭圆W 的方程；
（II）椭圆W 的左右顶点分别为A, B，点M 为W 上一点，直线AM 交x = a 于点C，
BM 交x = −a 于点D，BC, AD 的中点分别为P, Q。判断PQ 与W 的位置关
系。
20.（本小题15 分）已知函数f(x) = ln 1 + ax
1 −ax (a̸ = 0)。
（I）判断函数f(x) 的奇偶性；
（II）若曲线y = f(x) 在点(0, f(0)) 处的切线方程为y = kx + b，求证：f(x)
kx + b > 1；
（III）求函数F(x) = (1 + ax) ln(1 + ax) + (1 −ax) ln(1 −ax) 的最值。
21.（本小题15 分）对于有穷正整数列M : a1, a2, · · · , an (n ≥2)，记S = a1 + a2 + · · · + an，
若数列M 满足：
∀t ∈{1, 2, 3, · · · , S −1, S}, ∃i1, i2, · · · , in ∈{−1, 0, 1},
使得i1a1 + i2a2 + · · · + inan = t，则称M 为平滑数列。
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（I）已知数列M : 1, 3；N : 2, 3, 5，判断M, N 是否为平滑数列，并说明理由；
（II）若平滑数列M : a1, a2, · · · , an (n ≥3) 是公差为d 的等差数列，求d 的最大值；
（III）若平滑数列M 的项数为5，求S 的最大值。
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