专项02 数列及求和
参考答案
题型01 数列通项及分组求和
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求首项、公差即可得解；
（2）根据等差数列、等比数列的求和公式求解即可.
【规范答题】（1）设等差数列
na
的公差为d ，
3
4
3
4
a
a
=
ì
í
=
î
Q
，即
1
1
2
3
3
4
a
d
a
d
+
=
ì
í
+
=
î
，解得
1
1
1
a
d
=
ì
í
=
î
，
所以
1
1
na
a
n
d
n
=
+
-
=
（2）因为数列
n
n
a
b
+
是首项为2，公比为3 的等比数列，则
1
2 3
n
n
n
a
b
-
+
=
×
，
又因为
na
n
=
，所以
1
2 3n
nb
n
-
=
×
-
.
设数列
nb
的前n 项和为
n
S ，
则
1
2 1 3
9
3
1
2
3
n
n
S
n
-
=
+ +
+
+
-
+
+ +
+
L
L
2
1
1 3
2
3
1
1 3
2
2
n
n
n n
n
n
+
æ
ö
-
+
=
-
=
- -
ç
÷
-
è
ø
.
破类题·提能力
1．【答案】(1)证明见详解
(2)
1
2
3
3
2
n
n
S
n
n
+ -
=
+
-
【详解】（1）因为
1
3
4
2,
n
n
a
a
n
n
-
=
+
³
ÎN ，可得
1
2
3
2
n
n
a
a -
+
=
+
，
且
1
1
a = ，则
1
2
3
0
a +
=
¹
，
所以数列
2
na +
是首项为3，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）可知
1
2
3 3
3
n
n
na
-
+
= ´
=
，即
3
2
n
na =
-
，可得
2
3
2
2
n
n
n
b
a
n
n
=
+
=
+
-
，
则
2
2
3
0
3
2
3
2
2
3
3
3
0
2
2
2
n
n
n
S
n
n
=
+
+
+
+×××+
+
-
=
+
+×××+
+
+
+×××+
-
1
2
3 1 3
0
2
2
3
3
1 3
2
2
n
n
n
n
n
n
+
-
+
-
-
=
+
=
+
-
-
，
所以
1
2
3
3
2
n
n
S
n
n
+ -
=
+
-
.
2．【答案】(1)
2
1
na
n
=
- ，证明见解析
(2)
(
1)
2 3
2
2
n
n
n n
T
-
=
´
+
-
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d ，由
1
1
a = ，
3
4
2
3
a
a
=
+
，
得
1
1
2
2
3
3
a
d
a
d
+
=
+
+ ，解得
2
=
d
.
所以
1
2(
1)
2
1
na
n
n
= +
-
=
- .
由
1
3
n
n
n
b
b
a
+ =
+
得
1
3
2
1
+ =
+
-
n
n
b
b
n
，即
1
1
3
n
n
b
n
b
n
+ +
+
=
+
，
又
1
1
4
b + =
，
所以
nb
n
+
是一个以4 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）可得
1
4 3n
nb
n
-
+
=
´
，所以
1
4 3n
nb
n
-
=
´
-
.
所以
1
4 3
1
n
n
n
n
c
a
b
n
-
=
+
=
´
+
- .
所以
4
4 3
(
1)
(
1)
(
1)
2 3
1
2 3
2
1 3
2
2
2
n
n
n
n
n n
n n
n n
T
- ´
-
-
-
=
+
=
-
+
=
´
+
-
-
.
题型02 数列通项及裂项求和
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可；
（2）利用裂项相消法进行运算求解即可.
【规范答题】（1）由
1
4
4
n
n
n
a
a
a
+ -
=
+
，得
2
1
2
n
n
a
a
+ =
+
，
因为数列{
}
na
为正项数列，所以
1
2
n
n
a
a
+ =
+
，即
1
2
n
n
a
a
+ -
= ，
又因为
1
2
a =
，所以数列
na
是以
1
2
a =
为首项，2 为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，
2
2(
1)
2
na
n
n
=
+
-
=
，即
2
4
na
n
=
，
则
2
1
1
1
1
1
1
4
1
2 2
1
2
1
n
n
b
a
n
n
n
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
+
è
ø ，
∴
1
1
1
1
1
1
1
1
10
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
2
1
21
n
S
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
>
ç
÷
ç
÷
-
+
+
è
ø
è
ø
L
，
1
1
2
1
21
n
<
+
，∴2
1
21
n + >
解得
10
n >
又n
*
ÎN ，则满足
10
21
n
S >
的最小整数
11
n =
．
2．【思路分析】（1）由题意可知数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以首项为
1
1
1
S = ，公差为
1
2 的等差数列，结合等差数列的通
项公式运算求解；
（2）根据
n
S 与
na 之间的关系可得
na
n
=
，进而可得
1
1
1
1
n
nb
n
n
æ
ö
= -
+
ç
÷
+
è
ø，结合裂项相消法运算求解.
【规范答题】（1）因为
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+ -
=
+
，且
1
1
a = ，
可知数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以首项为
1
1
1
S = ，公差为
1
2 的等差数列，
则
1
1
1
1
2
2
n
S
n
n
n
+
= +
-
=
，所以
1
2
n
n n
S
+
=
.
（2）由（1）可知：
1
2
n
n n
S
+
=
，
当
2
n ³
时，则
1
1
1
2
2
n
n
n
n n
n n
a
S
S
n
-
+
-
=
-
=
-
=
，
且
1
1
a = 符合上式，所以
na
n
=
，
可得
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a a
n n
n
n
+
+
+
æ
ö
= -
= -
= -
+
ç
÷
+
+
è
ø ，
设数列
nb
的前n 项和为
nT ，
则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
1
1
n
n
nT
n
n
n
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
+
+
-
+
+×××+ -
+
= - +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以数列
nb
的前n 项和为
1
1
1
n
n
-
- +
+
.
破类题·提能力
1．【答案】(1)是，证明见解析
(2)
2
2
1
3
1
n
n
S = -
-
【详解】（1）
1
1
1
1
1
1
1
，
，
n
n
n
a
a
a
+
-
-
+
成等差数列.
证明：因为数列
na
前n 项的积
2
1
3
n
nT
-
=
，所以当
2
n ³
时，
1
1
2
1
2
2
1
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
T
a
T
-
-
-
-
-
=
=
=
，
当
1
n = 时，
1
1
3
a
T
=
= ，符合上式，
所以
1
23
n
na
-
=
，
所以
2
1
1
2
1
1
1
n
n
n
a
a
a
+
=
=
-
+
-
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1 3
1
3
n
n
na
-
+
=
= -
-
-
，
因此
1
1
1
1
1
1
1
，
，
n
n
n
a
a
a
+
-
-
+
成等差数列.
（2）由（1）可得
1
1
1
2
1
1
1
n
n
n
a
a
a +
+
=
-
+
-
，
所以
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
a
a
a
+
+
æ
ö
=
-
=
-
-
=
-
ç
÷
+
-
-
-
-
-
-
è
ø
，
所以
1
2
2
1
3
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
S
b
b
b
a
a
a
a
a
a
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
-
-
-
-
-
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
L
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1 3
1 3
3
1
n
n
na
a
+
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
= -
ç
÷
ç
÷
-
-
-
-
-
è
ø
è
ø
．
所以数列
nb
的前n 项和
2
2
1
3
1
n
n
S = -
-
.
2．【答案】(1)证明见解析
(2)
4
3
1
3
n
S
n n
n
n
=
+
+
+
【详解】（1）根据题意，令
2
n
n
c
a
n
=
-
，
当
2
n ³
时，
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
a
n
a
n
a
a
n
a
a
n
+
+
+
-
-
=
-
+
-
-
=
-
-
- =
-
-
+ ，
2
2
1
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
c
c
a
n
a
n
a
a
n
-
-
-
-
=
-
-
-
-
=
-
-
+ ，
所以
1
1
n
n
n
n
c
c
c
c
+
-
-
=
-
，
且
2
2
1
2
1
1
2,
2
4
c
a
c
a
=
-
=
-
=
=
，则
2
1
2
c
c
-
=
，
所以数列
2
na
n
-
是首项为2 ，公差为2 的等差数列；
（2）根据（1）可得
2
2
2
1
na
n
n
-
=
+
-
，所以
2
2
na
n
n
=
+
，
则
2
2
2
2
1
2
3
2
3
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
=
=
=
-
+
+
+
+
+
+
+
+
，
所以
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
4
4
4
9
6
9
6
16
8
2
1
2
1
n
S
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
+
+
+
è
ø
L
2
4
1
1
3
3
1
3
1
2
1
n n
n
n
n
n
+
=
-
=
+
+
+
+
+
.
3．【答案】(1)
1
*
2 3n
na
n
-
=
×
ÎN
nn
，
．
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意
(1)
2
1
2
3
f
a
a
=
Þ
- =
Þ
= ，
所以数列{
}
na
的前n 项和为
3
1
n
n
S =
- ．
当
1
n = 时，
1
3 1
2
a =
- =
；
当
2
n ³
时，
1
1
1
(3
1)
(3
1)
2 3
n
n
n
n
n
n
a
S
S
-
-
-
=
-
=
-
-
-
=
×
．
当
1
n = 时，上式亦成立，所以数列{
}
na
的通项公式为
1
*
2 3
,
n
na
n
-
=
×
ÎN ．
（2）由（1）知
1
2 3n
na
-
=
×
，
则
1
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
1
4 2 3
1
2 3
1
2 3
1
2 3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
-
-
-
-
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
+
+
×
+
×
+
×
+
×
+
è
ø ，
所以
1
2
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2
3
1
1
1
3
2
n
n
n
n
T
b
b
b
-
æ
ö
=
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
+
+
+
+
+
×
×
×
×
×
×
è
ø
L
L
1 1
1
4
1
3
2 3n
æ
ö
=
+
×
-
ç
÷
è
ø .
因为
1
0
1
2 3n
×
>
+
，所以
1
12
nT <
．
又因为
*
nÎN 时，
3
1 1
1
4
1
3
2
n
n
T
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø
×
单调递增，所以
1
1
21
nT
T =
≥
，
所以1
1
21
12
nT
£
<
．
题型03 数列通项及错位相减求和
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）当
1
n = 时，可得
1
1
1
1
2
S
a
a
= -
- +
=
，即
1
1
2
a =
，当
2
n ³
时，
1
n
n
n
a
S
S -
=
-
，即可推
出
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
-
-
=
+ ，可得
1
1
n
n
b
b -
=
+ ，即可求证数列
nb
是等差数列，求出
nb
的通项公式，进而可
得数列
na
的通项公式；
（2）由（1）知
2
n
n
n
a =
，求出
n
S ，利用错位相减法和分组求和法即可求解.
【规范答题】（1）由
1
*
1
2
(
N )
2
n
n
n
S
a
n
-
æ
ö
-
+
= -
Î
ç
÷
è
ø
，得
1
1
2
2
n
n
n
S
a
-
æ
ö
=
-
-ç
÷
è
ø
（n
*
ÎN ），
当
2
n ³
时，
2
1
1
1
2
2
n
n
n
S
a
-
-
-
æ
ö
=
-
-ç
÷
è
ø
（n
*
ÎN ），
∴
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
-
-
-
æ
ö
=
-
= -
+
+ ç
÷
è
ø
，化为
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
-
-
=
+ ，
∵
2n
n
n
b
a
=
，∴
1
1
n
n
b
b -
=
+ ，
即当
2
n ³
时，
1
1
n
n
b
b -
-
= ，
令
1
n = ，可得
1
1
1
1
2
S
a
a
= -
- +
=
，即
1
1
2
a =
．
又
1
1
2
1
b
a
=
= ，
∴数列
nb
是首项和公差均为1 的等差数列．
于是
1
1 1
2n
n
n
b
n
n
a
= +
-
× =
=
，∴
2
n
n
n
a =
．
（2）由（1）知
2
n
n
n
a =
，∴
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
S
-
+
=
-
-
=
-
故
2
3
1
3
4
5
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
n
-
+
+
æ
ö
=
-
+
+
+×××+
+
ç
÷
è
ø，
令
2
3
1
3
4
5
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
R
-
+
+
=
+
+
+×××+
+
，
∴
2
3
4
1
1
3
4
5
1
2
2
2
2
2
2
2n
n
n
n
n
R
+
+
+
=
+
+
+×××+
+
，
∴
1
2
1
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
2
3
2
2
2
4
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
R
+
+
+
+
+
-
+
+
+
=
+
+
+×××+
-
=
+
-
=
-
-
-
∴
4
4
2
n
n
n
R
+
=
-
，∴
4
2
4
2
n
n
n
T
n
+
=
-
+
.
破类题·提能力
1．【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
2
1
10
6
5
1
9
9
2
n
n
n
T
-
+
æ
ö
=
-
´ç
÷
è
ø
【详解】（1）设
na
的公差为d，则由题有
1
1
1
1
6
15
4 3
3
3
2
1
a
d
a
d
a
d
a
d
ì
+
=
+
ïí
+
=
+
+
ïî
，
1
1
a = 、
2
=
d
，所以
2
1
na
n
=
- ．
（2）由（1）得
2
1
1
1
2
2
n
a
n
nb
-
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
1
1
2
1
2
n
n
n
a b
n
-
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
3
5
2
1
1 1
2
2
1
1
1
1
1
3
5
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
T
a b
a b
a b
n
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
= ´
+ ´
+ ´
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
L
，
所以
3
5
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
3
2
3
2
1
4
2
2
2
2
n
n
nT
n
n
-
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= ´
+ ´
+
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
两式相减得
3
5
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
4
2
2
2
2
2
n
n
nT
n
-
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ´
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
即
3
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
4
3
1
1
5
1 1
1
2
2
1
2
1
1
4
2
2
6
3 2
2
1
4
n
n
n
n
nT
n
n
-
+
-
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ë
û
=
+ ´
-
-
=
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
-
，
解得
2
1
10
6
5
1
9
9
2
n
n
n
T
-
+
æ
ö
=
-
´ç
÷
è
ø
．
2．【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
2
1
10
6
5
1
9
9
2
n
n
n
T
-
+
=
-
´
【详解】（1）因为
2
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
，所以数列
na
为等差数列，
设数列
na
的公差为d，且
6
3
4
S
S
=
，则
1
1
6
15
4
3
3
a
d
a
d
+
=
´
+
，解得
1
2a
d
=
，
又
2
2
1
n
n
a
a
=
+ ，所以
1
1
2
1
2
1
1
a
n
d
a
n
d
é
ù
+
-
=
+
-
+
ë
û
，即
1
1
a
d
+ =
，
则
1
1
2
1
a
d
a
d
=
ì
í
+ =
î
，解得
1
1,
2
a
d
=
=
，
所以
1 (
1) 2
2
1
na
n
n
= +
-
´
=
- ；
（2）由（1）可知
2
1
1
2
n
nb
-
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，
2
1
2
1
2
n
n
n
n
a b
-
-
=
，
所以
1
3
5
2
1
1
3
5
2
1
2
2
2
2
n
n
n
T
-
-
=
+
+
+
+
L
，
则
3
5
7
2
1
1
1
3
5
2
1
4
2
2
2
2
n
n
n
T
+
-
=
+
+
+
+
L
，
两式相减可得：
1
2
2
1
1
3
5
3
1
2
2
2
4
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
T
+
-
=
-
+
+
+
+
-
L
，
即
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
5
6
5
4
2
4
2
1
4
2
2
2
3
2
6
3 2
1
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
-
-
+
+
+
æ
ö
-
´
-
ç
÷
-
-
+
è
ø
=
+
-
=
+
-
=
- ´
-
，
化简可得：
2
1
10
6
5
1
9
9
2
n
n
n
T
-
+
=
-
´
.
题型04 数列通项及奇偶项讨论问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列
,
n
n
a
b
的基本
量，进而求出通项公式.
（2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n 项和公式求出
10
T .
【规范答题】（1）若选①，设
na
的公比为q ，则
2
2
2
2
14
q
q
+
+
=
，且
0
q >
，
解得
2
q =
，
1
2
a =
，因此
2n
na =
，
由
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
，得
1
1
2
n
n
n
n
a
b
b
a
+
+ -
=
=
，而
1
2
b =
，
则数列
nb
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
1
1
2
nb
b
n
d
n
=
+
-
=
．
若选②，设
na
的公比为q ，由
1
2
3
1,
,
3
a
a a
+
- 成等差数列，得
2
3
2a
a
=
，解得
2
q =
，因此
2n
na =
由
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
，得
1
1
2
n
n
n
n
a
b
b
a
+
+ -
=
=
，而
1
2
b =
，
则数列
nb
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
1
1
2
nb
b
n
d
n
=
+
-
=
．
若选③，设
na
的公比为q ，则
2
3
1
3
2
6
3
1
1
14
1
112
S
a
q
q
S
S
a q
q
q
ì
=
+
+
=
ïí
-
=
+
+
=
ïî
，解得
1
2,
2
q
a
=
=
，因此
2n
na =
，
由
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
，得
1
1
2
n
n
n
n
a
b
b
a
+
+ -
=
=
，而
1
2
b =
，
则数列
nb
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
1
1
2
nb
b
n
d
n
=
+
-
=
．
（2）数列
nc
满足
,
,
n
n
n
b n
c
a n
ì
= í
î
为奇数
为偶数，则
2 ,
2 ,
n
n
n n
c
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数，
所以
10
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
T
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
4
6
8
10
2
6 10 14 18
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5
4 1
4
5
2 18
1414
2
1
4
-
´
+
=
+
=
-
．
破类题·提能力
1．【答案】(1)
2
1
na
n
=
- ；
2n
nb =
(2)
2
2 4
1
3
4
1
n
n
n
T
n
-
=
+
+
【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因
式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到
,
n
n
a
b
通项公式；
（2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最
终将两部分相加得到前2n 项和.
【详解】（1）
na
是等差数列，由等差中项性质得：
1
3
2
2
6
a
a
a
+
=
=
，得
2
3
a =
，
又
1
2
3
a a =
，所以
1
1
a = ，公差
2
1
2
d
a
a
=
-
=
，
所以
1
(
1)
2
1
na
a
n
d
n
=
+
-
=
- ；
2
1
1
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
b
b b
b
b
b
b
+
+
-
+
-
=
+
-
1
1
1
2
1
0
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
+
+
+
=
-
+
=
，
因为数列
nb
各项为正数，
1
0
nb + ¹
，故
1
2
n
n
b
b
+ =
，
即
nb
是首项
1
2
b =
、公比为2 的等比数列，则通项公式：
1
2 2
2
n
n
nb
-
=
×
=
；
（2）由
nc 的定义，前2n 项和可分为奇数项和与偶数项和两部分：
设奇数n 项和为
n
S ，设偶数n 项和为
n
F ，
2
1
3
2
1
n
n
T
c
c
c
-
=
+
+
+
+
L
2
4
2
n
n
n
c
c
S
F
c
+
+
+
=
+
L
，
n 为奇数时
2n
n
n
c
b
=
=
，奇数项为
1
3
2
1
,
,
,
n
b b
b
-
¼
，是首项为2 、公比为4 的等比数列，
共n 项，故
2 4
1
2 4
1
4 1
3
n
n
n
S
-
-
=
=
-
，
n 为偶数时，设
2
N
n
k k
=
Î
，则：
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
4
3
4
1
4 4
3
4
1
k
k
k
c
a
a
k
k
k
k
-
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø ，
裂项相消求和：
1
1
1
1
1
1
1
4
5
5
9
4
3
4
1
n
F
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
+
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
1
1
1
4
4
1
4
1
n
n
n
æ
ö
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
2
2 4
1
3
4
1
n
n
n
n
T
S
F
n
n
-
=
+
=
+
+
.
2．【答案】(1)
na
n
=
，
2n
nb =
(2)
2
2
2
1
4
3
2
2
3
n
n
n
n
+
+
+
+
-
(3) 4
3 2
4
6
n
n
+ ×
-
【详解】（1）设等差数列{
}
na
的公差为d ，由已知条件得
3
1
2
3
a
a
d
=
+
=
，
3
1
2
1
3
3
2
2(2
)
S
a
d
S
a
d
=
+
=
=
+
，整理得
1a
d
=
，代入
3
3
a = 得3
3
d = ，
即
1
1
d
a
=
= ，故
na
n
=
，
设等比数列{ }
nb
的公比为(
0)
q q >
，
1
2
b =
，故
2
2
3
2 ,
2
b
q b
q
=
=
，
由
2
6
3
,
,
b a b 成等差数列得
6
2
3
2a
b
b
=
+
，
6
6
a =
即
2
12
2
2
q
q
=
+
，
解得
2
q =
（
3
q = - 舍去），故
2n
nb =
.
（2）由题设有
2
2
2
2
1
2
2
12
7
4
3
1
4
3
2
2
2
2
1,
4
1
4
k
k
k
k
k
c
k
c
k
k
k
k
k
-
+
-
+
=
-
=
=
-
-
-
+
故
2
1
1
3
2
1
2
4
2
1
n
i
n
n
i
c
c
c
c
c
c
c
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
å
L
L
4
2
6
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 3
7
3
11
7
4
3
2
1
4
1
n
n
n
n
n
+
= + +
+
+ +
-
+
-
+
+
-
+
-
L
L
2
2
4
4
3
3
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
+
+
+
=
+
´
+
+
-
2
2
2
2
2
1
4
3
3
n
n
n
n
+
=
+
+
-
+
.
故
2
2
2
1
2
1
2
2
3
1
4
3
n
n
i
i
c
n
n
n
+
+
=
+
+
=
+
-
å
.
（3）由题设可得
2
2
k
k
d
=
，且
1 1
2
1
2
2
,
,
,
k
k
k
d
d
d
+
+
-
L
为等差数列，且公差为1
- ，首项为2k ，
故
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
k
k
k
k
k
k
d
d
d
d
d
d
+
+
+
-
+
-
+
+
=
+
+
+
-
L
L
2
2
1
4
2
2
2
1
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
-
-
=
´
+
´ -
-
=
，
故
0
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
4
2
4
2
4
2
2
2
2
n
n
n
i
n
i
d
d
d
d
d
-
-
=
-
-
-
-
-
=
+
+
+
+
+
+
+
å
L
0
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
2
4
4
4
2
2
2
2
2
n
n
n
-
-
-
=
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
L
L
L
1
1
2 4
1
2
1
2
1
3
n
n
n
-
-
-
=
- +
-
-
2
1
2
3 2
4
4
4
2
6
3
6
n
n
n
n
×
+
-
=
+
´
-
=
.
题型05 数列证明类问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）利用
,
n
n
a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n 项和公式求得
nT ，即可证明.
【规范答题】（1）依题意，当
1
n = 时，
2
1
1
1
1
2
2
S
a
a
a
=
=
+
，
0
na >
，则
1
1
a = ；
当
2
n ³
时，
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
，
2
1
1
1
2
n
n
n
S
a
a
-
-
-
=
+
，两式相减，
整理可得
1
1
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
+
-
-
=
，又
na
为正项数列，故
1
1
n
n
a
a -
-
= ，
所以数列
na
是以
1
1
a = 为首项，
1
d = 为公差的等差数列，
所以
na
n
=
.
（2）证明：由（1）可知
na
n
=
，所以
1
2
1
n
n
b =
- ，显然
1
1
1
2
T
b
=
= <
，
当
2
n ³
，则
1
1
1
1
2
1
2 2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
-
-
-
-
- =
×
- =
+
- >
，即
1
1
1
2
1
2
n
n-
<
-
，
此时
1
1
1
1
1
(1
)
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
n
n
n
n
T
-
-
-
-
< +
+
+
= +
=
-
<
-
L
，
综上，
2
nT <
成立.
2．【思路分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到
1
1
1
1
n
n
a
a
+
=
+ ，判断出数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是等差数列，求
出通项，即可得出结果；
（2）先由（1），根据裂项的方法，得到对k = 1，2，3…
1
2
1
1
1
1
2
3
4
2
2
3
3
4
k
k
k
a a
a
k
k
k
k
k
k
k
+
+
é
ù
=
=
-
ê
ú
+
+
+
+
+
+
+
ê
ú
ë
û
，进而可求出
1
2
3
2
3
4
1
2
n
n
n
a a a
a a a
a a
a
+
+
+
+
+
L
，即证明结论成立.
【规范答题】（1）由
1
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+ +
+
=
+ 可得
1
1
n
n
n
a
a
a
+ = +
，
∵
1
1
0
3
a =
>
，∴
1
2
1
0
1
a
a
a
=
>
+
，依此类推，
0
na >
∴
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
=
=
+ ，∴
1
1
1
1
n
n
a
a
+
-
= ，
∴数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是首项为3，公差为1 的等差数列，
∴
1
2
n
n
a =
+
，即
1
2
na
n
=
+
，
（2）
1
2
na
n
=
+
，故 对k = 1，2，3…
1
2
1
1
1
1
2
3
4
2
2
3
3
4
k
k
k
a a
a
k
k
k
k
k
k
k
+
+
é
ù
=
=
-
ê
ú
+
+
+
+
+
+
+
ê
ú
ë
û
，
∴
1
2
3
2
3
4
1
2
n
n
n
a a a
a a a
a a
a
+
+
+
+
+
L
1
1
1
1
1
1
1
2
3 4
4 5
4 5
5 6
2
3
3
4
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
´
´
´
´
+
+
+
+
è
ø
è
ø
ê
ú
è
ø
ë
û
L
1
1
1
1
1
2 3 4
3
4
24
2
3
4
n
n
n
n
é
ù
=
-
=
-
ê
ú
´
+
+
+
+
ê
ú
ë
û
.，
因为
1
0
2
3
4
n
n
>
+
+
，
所以
1
1
1
24
2
3
4
24
n
n
-
<
+
+
即
1
2
3
2
3
4
1
2
1
24
n
n
n
a a a
a a a
a a
a
+
+
+
+
+
<
L
破类题·提能力
1．【答案】(1)当
1
4
a =
时，此时
na
为常数列且
4
na =
.
(2)证明见解析
【详解】（1）若
na
为常数列，则
1
2
1
3
4
a
a
a
=
+
=
，其中
1
0
a >
，
故
2
1
1
3
4
0
a
a
-
-
=
，故
1
1
a = - （舍）或
1
4
a =
，
而当
1
4
a =
时，
4
na =
，此时
na
为常数列且
4
na =
.
（2）因为
1
1
1
3
4
4
3
4
4
3
4
4
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
+
-
=
+
+
，所以
1
1
3
4
4
3
4
4
n
n
n
a
a
a
-
-
-
-
=
+
+
，
又因为
1
3
4
n
n
a
a -
=
+
，故
0
2
na
n
³
³
，而
1
0
a >
，故
0
na ³
，
所以
1
3
4
4
2
4
6
na - +
+
³
+
=
，所以
1
3
3
1
6
2
3
4
4
na -
£
=
+
+
，
所以
1
1
1
3
4
1
4
4
2
3
4
4
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
£
-
+
+
.
2．【答案】(1)
cos
na
n
n
=
+
(2)证明见解析
(3) 90
tan1o
【详解】（1）由
1
1
cos
1
cos
n
n
a
a
n
n
+ =
+ +
+
-
可得：
2
1
1 cos2
cos1
a
a
-
= +
-
，
3
2
1 cos3
cos2
a
a
-
= +
-
，
4
3
1 cos4
cos3
a
a
-
= +
-
，
MM
1
1
co
cos
s
1
n
n
n
a
a
n
+ -
= +
+
-
，
由累加法得，
1
1
cos
1
cos1
na
a
n
n
+ -
=
+
+
-
又因为
1
1
cos1
a = +
，
所以
1
1
cos
1
na
n
n
+ =
+ +
+
，故
cos
na
n
n
=
+
.
（2）由（1）可得
cos
na
n
n
=
+
，
则由
2
1
2
1
2
1
cos 2
1
2
1
cos 2
1
2
n
n
a
a
n
n
n
n
+
-
-
=
+ +
+
-
-
-
-
<
，
可得
cos 2
1
cos 2
1
0
n
n
+
-
-
<
，
即cos2 cos1 sin 2 sin1 cos2 cos1 sin 2 sin1
0
n
n
n
n
-
-
-
<
整理得2sin 2 sin1
0
n
-
<
，因sin1
0
>
，则sin 2
0
n >
，
所以
2
2
2
1
s
2
in
c
o
sin
cos
os
si
1 sin
c
2
n
s
n
n
n
n
n
n
n
-
=
+
-
= -
< ，
故
1
sin
cos
n
n
-
<
∣
∣
.
（3）由
cos
1
cos
1
cos
cos1
sin
sin1
cos
cos1
sin
sin1
n
n
n
n
n
n
=
-
+
-
-
-
+
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
i
sin
2
s n1
n
= -
o
o ，可得
cos
1
cos
1
2
s
n
i
s
n1
i
n
n
n
-
-
+
=
o
o
o
o
o
o
所以2sin 2
4sin 4
6sin 6
180sin180
+
+
+×××+
o
o
o
o
cos1
cos3
2cos3
2cos5
3cos5
3cos7
89cos177
89cos179
0
sin1
sin1
sin1
sin1
-
-
-
-
=
+
+
+×××+
+
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1
cos1
cos3
cos5
cos7
cos175
cos177
89cos179
sin1
=
+
+
+
+×××+
+
-
o
o
o
o
o
o
o
o
1
cos1
cos3
cos5
cos7
cos7
cos5
cos3
89cos1
sin1
é
ù
=
+
+
+
+×××-
-
-
+
ë
û
o
o
o
o
o
o
o
o
o
90cos1
sin1
=
o
o
90
tan1
=
o .
题型06 数列型定义问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）根据矩阵变换的定义和已知的变换结果，得到矩阵
1A ；
（2）先对矩阵
0
A 执行指定的
S
j 变换得到新矩阵，再将新矩阵所有元素相加得到
0
ST
A
；
（3）通过分类讨论子集是否包含矩阵中对应位置的元素，统计各类子集的数量并计算变换后矩阵元
素的总和，最终推导出所有
0
ST
A
的值的总和的表达式并证明其不超过 −4.
【规范答题】（1）由题意可得
1
1
2
3
5
A
æ
ö
= ç
÷
-
-
è
ø
；
（2）
0
1
3
4
4
A
æ
ö
= ç
÷
è
ø
经
s
j 变换后得
1
3
4
4
-
-
æ
ö
ç
÷
-
-
è
ø
，故
0
1 3
4
4
12
ST
A
= - - -
-
= -
．
（3）若
11
12
a
a
¹
，在
1,2,3,4,5,6 的所有非空子集中，含有
11
a 且不含
12
a 的子集共
4
2 ，经过变换后第
一行均变为
11
12
,
a
a
-
-
；含有
12
a 且不含
11
a 的子集共
4
2 个，经过变换后第一行均变为
11
12
,
a
a
-
-
；同时含
有
11
a 和
12
a 的子集共
4
2 ，经过变换后第一行仍为
11
12
,
a
a ；不含
11
a 也不含
12
a 的子集共
4
2
1
- 个，经过变
换后第一行仍为
11
12
,
a
a ．
所以经过变换后所有
lA 的第一行的所有数的和为
4
4
4
4
11
12
11
12
11
12
11
12
11
12
2
2
2
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
´ -
-
+
´ -
-
+
´
+
+
-
´
+
= -
-
．
若
11
12
a
a
=
，则
1,2,3,4,5,6 的所有非空子集中，含有
11
a 的子集共
52 个，经过变换后第一行均变为
11
12
,
a
a
-
-
；不含有
11
a 的子集共
5
2
1
- 个，经过变换后第一行仍为
11
12
,
a
a ．
所以经过变换后所有
lA 的第一行的所有数的和为
5
5
11
12
11
12
11
12
2
2
1
a
a
a
a
a
a
´ -
-
+
-
´
+
= -
-
．
同理，经过变换后所有
lA 的第二行的所有数的和为
21
22
a
a
-
-
．
所以对所有非空子集S ，
0
ST
A
的值的总和为
11
12
21
22
a
a
a
a
-
-
-
-
，
又因为
11
12
21
22
,
,
,
1,2,
,6
a
a
a
a Î
L
，
所以
0
ST
A
的值的总和不超过4
- ．
破类题·提能力
1．【答案】(1)是，理由见解析
(2)①
1
2
n
n n
a
-
=
；②3 ,
4
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø.
【详解】（1）因为
2
4
5
3
na
n
n
=
-
+ ，所以
2
2
1
Δ
4
1
5
1
3
4
5
3
n
n
n
a
a
a
n
n
n
n
+
é
ù
=
-
=
+
-
+
+
-
-
+
ë
û
8
1
n
=
- ，
所以
1
Δ
Δ
8
1
1
8
1
8
n
n
a
a
n
n
+
é
ù
-
=
+
-
-
-
=
ë
û
，故数列
na
D
为等差数列，
故数列
na
为二阶等差数列.
（2）①根据题意可得
1
2
1
1 0
1
a
a
a
D
=
-
= -
= ，
2
3
2
3 1
2
a
a
a
D
=
-
=
- =
，
因为数列
na
D
为等差数列，故数列
na
D
的公差为
2
1
2 1
1
a
a
D
- D
=
- = ,
所以等差数列
na
D
的首项为
1
1
a
D
= ，故
Δ
1
1
1
na
n
n
= +
-
´ =
，
所以
1
n
n
n
a
a
a
n
+
D
=
-
=
，
当
2
n ³
时，
2
1
1
a
a
-
= ，
3
2
2
a
a
-
=
，L，
1
1
n
n
n
a
a - =
-
-
，
上述等式相加得
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n n
a
a
n
+
-
-
-
-
= +
+
+
-
=
=
L
，
故
1
1
1
2
2
n
n n
n n
a
a
-
-
=
+
=
，
1
0
a =
也满足
1
2
n
n n
a
-
=
，故对任意的n
*
ÎN ，
1
2
n
n n
a
-
=
；
②由题意可知
n
*
" ÎN ，
1
2n
na
k
-
<
×
，即
2
1
2
2
n
n
n
k
-
-
<
×
，可得
2
2n
n
n
k
-
>
，
令
2
2
n
n
n
n
b
-
=
，则
2
2
1
1
1
1
1
3
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
+
+
+
+
-
+
-
-
-
=
-
=
，
当
2
n £
且n
*
ÎN 时，
1
n
n
b
b
+ >
，可得
1
2
3
b
b
b
<
<
；
当
3
n =
时，
3
4
b
b
=
；
当
4
n ³
且n
*
ÎN 时，
1
n
n
b
b
+ <
，可得
4
5
6
b
b
b
>
>
>L，
所以数列
nb
的最大项为
2
4
3
3
3
3
3
2
4
b
b
-
=
=
=
，故
3
4
k >
，
所以实数k 的取值范围是3 ,
4
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
.
2．【答案】(1)
7
8
-
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）解：设等差数列的公差为
0
d d >
，由
1
8
0
i
i
a
=
=
å
，得
1
8
8(
)
0
2
a
a
+
=
，
所以
8
1
4
5
0
a
a
a
a
+
=
+
=
．
因为
0
d >
，所以
4
5
0
,0
a
a
<
>
，即当
4
n £
时
0
na <
，当
4
n >
时
0
na >
，
所以
8
1
2
4
5
6
8
1
(
)
(
)
4
i
i
a
a
a
a
a
a
a
=
= -
+
+
+
+
+
+
+
=
å
L
L
，
即
5
1
6
2
7
3
8
4
4 4
4
a
a
a
a
a
a
a
a
d
-
+
-
+
-
+
-
=
´
=
，解得
1
4
d =
.
因为
1
8
0
a
a
+
=
，即
1
1
7
0
a
a
d
+
+
=
，解得
1
7
7
2
8
d
a = -
= -
．
（2）证明：（i）由题设条件可知
1,2,
,
ia i
n
=
L
不可能全为0，也不可能全同号，
所以存在一个下标
1
m
m
n
£
<
使得
1
0
m
m
a
a +
³
>
．
因为数列满足
1
2
3
n
a
a
a
a
³
³
³
³
L
，
所以
1
2
,
,
,
m
a a
a
L
全为非负数，
1
2
,
,
,
m
m
n
a
a
a
+
+ L
全为负数，
即
1
2
0
m
a
a
a
³
³
³
L
，
1
2
0
m
m
n
a
a
a +
+
>
³
³
³
L
．
令
1
2
m
a
a
a
a =
+
+
+
L
，
1
2
m
m
n
a
a
a
b
+
+
=
+
+
+
L
，
则由题设条件可知
0
a
b
+
=
，
t
a
b
-
= ，
所以
2
t
a =
，
2
t
b = -
．
所以当1
i
m
£ £
时，
0
,0
i
i
a
S
³
>
；当
1
m
i
n
+ £ £
时，
0
0
,
i
i
n
a
S
S
£
³
=
．
所以
1
2
3
1
2
3
|
|
|
|
|
|
|
|
0
n
n
S
S
S
S
S
S
S
S
+
+
+
+
=
+
+
+
+
>
L
L
，即
1
0
n
i
i
S
=
>
å
，矛盾．
所以数列
n
S
不是“n 阶
t
- - 数列”．
（ii）证明：因为
1
2
3
n
a
a
a
a
³
³
³
³
L
，
由（i）可知，
1
2
1
m
a
a
ma
a
a
+
+
£
=
+
L
，即
1
ma
a £
，
1a
m
a
³
．
1
2
(
)
m
m
n
n
a
a
a
n
m a
b
+
+
=
+
+
+
³
-
L
，
na
n
m
b
£
-
，
又
2
t
a =
，
2
t
b = -
，
所以
1
2
2
2
2(
)
2 (
)
2
2
n
t
t
nt
nt
t
a
a
m
n
m
m
n
m
m n
m
n
m
n
m
a
b
-
³
-
=
+
=
³
=
-
-
-
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
即
1
(
)
2
n
n a
a
t
-
³
．当且仅当n 为偶数，
2
n
m =
，
1
2
2
m
t
a
a
a
m
=
=
=
=
L
，
1
2
2
m
m
n
t
a
a
a
m
+
+
=
=
=
= -
L
时
取等号．
（建议用时：60 分钟）
刷模拟
1．【答案】(1)
1
2n
na
-
=
，
nb
n
=
(2)
1
2
1
2
n
n
n n
T
+
=
-
-
【详解】（1）由于等比数列
na
的通项公式：
1
1
1
n
n
na
a q
q
-
-
=
=
且
1
1
a = ，故
2
3a
q
=
，
3
4a
q
=
.
1
1
1
1
nb
b
n
d
n
d
=
+
-
= +
-
，故
4
1 3
b
d
= +
，
8
1 7
b
d
= +
，
由
3
4
4
8
a
b
a
b
=
ì
í
=
î
可得
2
3
1 3
1 7
q
d
q
d
ì
= +
í
= +
î
，得
2
3
7
1
3
1
q
q
-
=
-
.
整理得
1 3
2
2
0
q
q
q
-
+
-
=
.
因为
0
q >
且
1
q ¹ ，所以
2
q =
，
1
d = .
因此等比数列
na
通项公式为
1
2n
na
-
=
，等差数列
nb
的通项公式为
nb
n
=
.
（2）根据题意得：
1
1
n
n
k
k
n
k
k
T
a
b
=
=
=
-
å
å
，
由（1）得
1
1
1
1 2
2
1
1
1 2
n
n
n
n
k
k
a
q
a
q
=
-
-
=
=
=
-
-
-
å
，
1
1
1
2
2
n
n
k
k
b
b
n
n n
b
=
+
+
=
=
å
.
故
1
2
1
2
n
n
n n
T
+
=
-
- .
2．【答案】(1)
1 (
1) 1
na
n
n
= +
-
× =
，
2n
nb =
.
(2)
2
2
14
,
7
14
98,
8
ì
-
£
= í
-
+
³
î
n
n
n n
T
n
n
n
【解析】（1）设等差数列
na
的公差为d ，等比数列
nb
的公比为q ，
1
1
2
2
b
a
=
=
，
由
2
2
3
3
2
2
2
b
a
b
a
=
+
ì
í
=
+
î
，得
2
2
1
2
2
2(1
2 )
2
q
d
q
d
= +
+
ì
í
=
+
+
î
，解得
1,
2
d
q
=
=
，
所以
na
的通项公式为
1 (
1) 1
na
n
n
= +
-
× =
，
nb
的通项公式为
2n
nb =
.
（2）由（1）得
2
1
2
log 2
14
2
15
n
nc
n
-
=
-
=
-
，则
15
2 ,
7
|
|
2
15,
8
n
n n
c
n
n
-
£
ì
= í
-
³
î
当
7
n £
时，
2
(13
15
2 )
14
2
n
n
n
T
n
n
+
-
=
=
-
；
当
8
n ³
时，
1
2
7
8
9
1
2
7
1
2
2(
)
(
)
n
n
n
T
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
= -
-
-
-
+
+
+
+
= -
+
+
+
+
+
+
+
L
L
L
L
2
2
7( 13 1)
( 13
2
15)
2
98
14
14
98
2
2
n
n
n
n
n
n
-
-
-
+
-
= - ×
+
=
+
-
=
-
+
，
所以
2
2
14
,
7
14
98,
8
ì
-
£
= í
-
+
³
î
n
n
n n
T
n
n
n
.
3．【答案】(1)
2n
na =
，
2
nb
n
=
(2)2106
【详解】（1）设等比数列{
}
na
的首项为
1a ，公比为q ，
显然
0
q >
且
1
q ¹ .
由已知得
2
1
4
1
1
6
1
1
30
1
a
q
q
a
q
q
ì
-
ï
=
-
ïí
-
ï
=
ï
-
î
，两式相除可得
2
q =
（负值舍去），所以
1
2
a =
，
所以
2n
na =
；
2
1
2
4
1
2
3
4
1
2
6
2
4
20
T
b
b
T
b
b
b
b
b
b
d
=
+
=
ì
í
=
+
+
+
=
+
+
=
î
，
∴
1
2
b =
，
2
=
d
，所以
2
nb
n
=
.
（2）数列{
}
na
中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…，
依题意可知新数列{ }
nc
的前50 项中，数列{
}
na
的项只有前6 项，数列{ }
nb
有44 项，
所以
50
(2
4
8 16
32
64)
(2
4
6
8
88)
H
=
+
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+
L
6
2(1 2 )
44 (2
88)
126 1980
2106
1 2
2
-
´
+
=
+
=
+
=
-
.
4．【答案】(1)
na
n
=
(2)
2
2
1
2
2
2
2
n
n
T
n
n
+
+
+
=
-
，最小值为9
【详解】（1）设
na
的公差为d，因为
1
2
1
+
+
=
+
n
n
a
a
n
，
所以
1
1
(
1)
2
1
a
n
d
a
nd
n
+
-
+
+
=
+ ，整理得
1
2
2
2
1
nd
a
d
n
+
-
=
+ ，
所以
1
2
2
2
1
d
a
d
=
ì
í
-
=
î
，解得
1
1
a
d
=
= ，
故
na
的通项公式为
na
n
=
．
（2）由（1）
2
( 1)
2
n
n
nb
n
= -
×
+
，
则
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
3
4
(2
1)
2
2
2
2 n
n
T
n
n
é
ù
= -
+
-
+
+
-
-
+
+
+
+
+
ë
û
L
L
2
2 1
2
2 1
2 1
4
3
4
3
2
2
1
2
2
1
1
2
n
n
n
n
n
-
é
ù é
ù
=
+
-
+
+
-
+
+
-
-
+
-
+
ë
û ë
û
-
L
2
1
3
7
4
1
2
2
n
n
+
é
ù
=
+
+
+
-
+
-
ë
û
L
2
1
3
4
1
2
2
2
n
n
n
+
+
-
=
+
-
2
2
1
2
2
2
n
n
n
+
=
+
+
-
易得
2
2
y
n
n
=
+ 在[1,
)
+¥ 上单调递增，
2
1
2
2
n
y
+
=
-
在[1,
)
+¥ 上单调递增，
所以
2
2
1
2
2
2
2
n
n
T
n
n
+
+
+
=
-
在[1,
)
+¥ 上单调递增，
所以当
1
n = 时，
2n
T 取得最小值，最小值为
2
9
T =
．
5．【答案】(1)证明见解析；
2
na
n
=
，
*
nÎN
(2)证明见解析
【详解】（1）由
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，得
1
2
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
=
，所以
1
1
1
1
2
n
n
a
a
+
=
+
，即
1
1
1
1
2
n
n
a
a
+
-
=
.
又因为
1
1
1
2
=
a
，所以数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是首项为
1
2 ，公差为
1
2 的等差数列，
所以
1
1
1
1
2
2
2
n
n
n
a =
+
-
´
=
，
所以
2
na
n
=
，
*
nÎN .
（2）由题可知
2
2
4
1
1
2
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
nb
n
n
n
n
n
n
æ
ö
=
×
=
=
-
ç
÷
-
+
-
+
-
+
è
ø.
因为
1
2
3
n
n
S
b
b
b
b
=
+
+
+
+
L
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
3
5
5
7
2
1
2
1
n
S
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
1
2 1
2
1
n
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø
.
因为
*
nÎN ，
1
0
2
1
n
>
+
，所以
2
n
S <
.
综上，
2
n
S <
.
6．【答案】(1)证明见解析
(2)
1
1 2
3
3
4
4
n
n
n
T
+
-
=
´
-
【详解】（1）证明：因为2
3
4
3
n
n
S
a
n
-
=
- ，
所以当
1
n = 时，
1
1
2
3
4
3
a
a
-
=
-
，解得
1
1
a = - ，
当
2
n ³
时，
1
1
2
3
4
1
3
4
7
n
n
S
a
n
n
-
-
-
=
-
-
=
-
，
所以
1
1
2
3
4
n
n
n
n
S
S
a
a
-
-
-
-
-
=
，即
1
3
4
n
n
a
a -
=
- .
所以
1
2
3
2
2
n
n
a
a
n
-
-
=
-
³
，
又
1
2
3
a -
= - ，
所以
2
na -
是以3
- 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
1
2
3 3
3
n
n
na
-
-
= - ´
= -
.
所以
2
3n
n
n
b
n a
n
=
-
= - ´
，
则
1
2
3
1 3
2 3
3 3
3n
nT
n
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+
´
L
，①
2
3
4
1
3
1 3
2 3
3 3
1
3
3
n
n
nT
n
n
+
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+
-
´
+ ´
L
，②
①减去②，得：
2
3
1
2
3
3
3
3
3
n
n
nT
n
+
=
+
+
+
+
- ´
L
1
3 1 3
3
1 3
n
n
n
+
-
=
- ´
-
1
1
3
3
.
2
2
n
n
+
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
所以
1
1 2
3
3
4
4
n
n
n
T
+
-
=
´
-
.
7．【答案】(1)
1
2
2
2
n
n
S
n
n
+
=
-
+
+
(2)
1
1
2
2
[
1 2
2]ln2
n
n
n
T
n
+
+
=
-
-
-
+
【详解】（1）因为
2
2
n
na
n
=
+
，所以
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
3
n
n
S
n
=
+
+
+ ×××+
+
´
+
+
+ ×××
1
2
2 1
2
1
2
2
2
1
2
2
n
n
n n
n
n
+
-
+
=
+
´
=
-
+
+
-
.
（2）
2 ln2
2
x
f
x =
+
¢
，
直线nl 的方程为
2
2
2 ln2
2
n
n
y
n
x
n
-
-
=
+
-
，
令
0
x =
，
得
2
2
2 ln2
2
2
2 ln2
n
n
n
n
y
n
n
n
=
+
-
+
=
-
×
，
所以
2
2 ln2
n
n
nb
n
=
-
×
，
令数列
2n
n ×
的前n 项和为
n
Q ，则
1
2
3
1 2
2 2
3 2
2n
n
Q
n
= ´
+ ´
+ ´
+×××+
´
，
2
3
1
2
1 2
2
2
1
2
2
n
n
n
Q
n
n
+
= ´
+
´
+ ×××+
-
´
+
´
，
两式相减得
2
3
1
1
1
2 1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
Q
n
n
n
+
+
+
-
-
=
+
+
+ ×××+
-
×
=
-
×
=
-
-
-
，故
1
1 2
2
n
n
Q
n
+
=
-
+
，
又数列
2n 的前n 项和为
1
2
2
n+ -
，
所以数列
nb
的前n 项和
1
1
2
2
[
1 2
2]ln2
n
n
n
T
n
+
+
=
-
-
-
+
.
8．【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
,1
-¥
【详解】（1）因为
1
n
n
p
q
×
=
uur uur
，即：
4
2
1
1
4
2
1
1
n
n
n
n
S
n
a
S
n
a
+ -
-
= Þ
-
+
= ．①
当
1
n = 时，
1
1
4
3
1
S
a
-
= ，
又
1
1
S
a
=
，所以
1
1
a = ．
当
2
n ³
时，
1
1
4
2
1
1
n
n
S
n
a
-
-
-
-
= ，②
由①－②整理得：
1
4
2
1
2
1
n
n
n
a
n
a
n
a -
=
+
-
-
．
整理得
1
2
1
2
2
3
n
n
a
n
n
a
n
-
-
=
³
-
，
由累乘法得：
3
2
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a -
=
´
´
´×××´
，
代入比值：
3
5
2
1
1
2
1
1
3
2
3
n
n
a
n
n
-
= ´
´
´×××´
=
-
-
，
当
1
n = 时，
1
1
2 1 1
a = =
´ - ，符合上式，
所以数列
na
的通项公式为
2
1
na
n
=
- ．
（2）当n 为偶数时，
1
3
5
1
2
4
6
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
b
b
-
=
+
+
+×××+
+
+
+
+×××+
1
3
5
1
2
4
6
1
1
1
1
3
3
3
3
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
é
ù
=
+
+
+
+
+
+×××+
+
+
+
+
+×××+
ë
û
2
4
6
2
2
n
n
n
S
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+×××+
2
3
2
1
3
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
S
S
n
+
-
´
=
+
+ ×
=
+
+
，
所以
2
3
2
n
n
T
S
n
n
-
=
+
，n 为偶数
2
n ³
，
由
n
n
T
S
n
l
-
>
恒成立，得
3
2
n
l <
+
，
n 是偶数，当
2
n =
时，
3
2
n +
有最小值7
2 ，所以
7
2
l <
；
当n 为奇数时，
1
n + 为偶数，
2
2
1
1
1
1
3
1
1
(
1)
1
3
2
2
2
n
n
n
n
n
n
T
T
b
S
n
n
a
S
n
n
+
+
+
+
=
-
=
+
+
+
+
-
=
+
-
+
，
所以
2
1
1
2
2
n
n
T
S
n
n
-
=
-
+
，n 为奇数，
由
n
n
T
S
n
l
-
>
恒成立，得
1
1
2
2
n
n
l <
+
-
，
又
1
1
2
2
f x
x
x
=
+
-
在
1,+¥ 上单调递增，
所以当
1
n = 时，
1
1
2
2
f n
n
n
=
+
-
有最小值1，所以
1
l < ．
综上，实数l 的取值范围是
,1
¥
-
9．【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析，
1
2n
n
f a
-
= -
；（ii）
8
1, 5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【详解】（1）证明：由题意知
f x 的定义域为
1,1
-
，关于原点对称．且
1
x
y
f x
f
y
f
xy
æ
ö
+
+
=
ç
÷
+
è
ø
，
令
0
x
y
=
=
，则
0
0
0
f
f
f
+
=
，故
0
0
f
=
．
再令y
x
= - ，则
0
0
f x
f
x
f
+
-
=
=
，
所以
f
x
f x
-
= -
，故
f x 为奇函数．
（2）（i）由题意得
1
2
2
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
f a
f
f
f a
f a
f a
a
a
+
æ
ö
æ
ö
+
=
=
=
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
，
又
1
1
1
1
4
4
2
2
2
1
1
2
2
5
5
1
2
2
f
f
f
f
f
æ
ö
+
ç
÷
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
=
= -
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ç
÷
+
´
è
ø
，
所以
1
1
2
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，即
1
1
0
f a
= - ¹
，
所以
1
2
n
n
f a
f a
+
=
，
故
n
f a
是首项为1
- ，公比为2 的等比数列，
所以
1
2n
n
f a
-
= -
；
（ii）因为
1
2
3
2
3
4
1
n
n
n
b
f a
f a
f a
f a
+
=
+
+
+×××+
，
所以
0
1
2
1
2
3
4
1
2
2
2
2
n
n
n
b
-
+
æ
ö
= -
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
L
，
所以
1
2
3
1
2
3
4
1
2
2
2
2
2
n
n
n
b
+
æ
ö
= -
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
L
，
两式相减得
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
3
2
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
-
-
é
ù
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ê
ú
ç
÷
è
ø
+
+
+
ê
ú
ê
ú
æ
ö
ë
û
= -
+
+
+
+
-
= -
+
-
= - +
ç
÷
ê
ú
è
ø
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
L
，
所以
1
3
6
2
n
n
n
b
-
+
= - +
．
所以
( 1)
6
4
n
nb
l
-
+
<
对
*
n
" ÎN 恒成立，
即
*
1
3
1
4
2
n
n
n
n
l
-
+
-
×
<
ÎN
恒成立，即
1
*
2
1
N
3
n
n
n
n
l
+
-
<
Î
+
恒成立．
设
1
2
3
n
nc
n
+
=
+
，则
1
2
1
1
2 2
2
2
0
4
3
4
3
n
n
n
n
n
n
c
c
n
n
n
n
+
+
+
+
+
-
=
-
=
>
+
+
+
+
，
所以数列
1
2
3
n
n
+
ì
ü
í
ý
+
î
þ
单调递增．
当n 为奇数时，
1
2
3
n
nc
n
l
+
> -
= -
+
，当
1
n = 时，
nc
-
有最大值1
- ，故
1
l > - ；
当n 为偶数时，
1
2
3
n
nc
n
l
+
<
=
+
，当
2
n =
时，
nc 有最小值8
5 ，故
8
5
l <
．
综上，l 的取值范围是
8
1, 5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
10．【答案】(1) 3,2,3
-
；
(2)6；
(3)2.
【详解】（1）3,2,3
-
.
理由：由题意得
5,
4
n
k
=
=
，
对条件①，对任意的1
5
l
£ £
，均有
1,2,3,4
lx Î
；
对条件②，对任意的2
4
l
£ £
，均有
1
1
1
1
0
l
l
l
l
l
l
x
x
x
x
x
x
-
+
+
-
-
-
-
¹
，
即
2
1
3
1
2
3
0
x
x
x
x
x
x
-
-
-
¹
，
2
3
3
4
4
2
0
x
x
x
x
x
x
-
-
-
¹
，
3
4
4
5
5
3
0
x
x
x
x
x
x
-
-
-
¹
，
对条件③，对任意1
5
a
b
c
d
£
<
<
<
£
，均有
2
2
0
a
c
b
d
x
x
x
x
-
+
-
¹
，
若数列1,2,3, ,p q 是5
4
Å
数列，根据条件①知
4
5
1,2,3,4
1,2,3,4
x
x
Î
Î
，
，
根据条件②知
4
5
3
4
3
5
4
2
,
,
,
x
x x
x
x
x x
x
¹
¹
¹
¹
，
当
1,
4
p
q
=
=
时，经验证符合条件③，此时
3
p
q
-
= - ，
当
1,
2
p
q
=
=
时，因为1
1
2
4
5
5
£ <
<
<
£
，则
1
2
2
4
5
2
0
x
x
x
x
-
+
-
=
，不合题意，舍去；
当
4,
2
p
q
=
=
时，经验证符合条件③，此时
2
p
q
-
=
，
当
4,
1
p
q
=
= 时，经验证符合条件③，此时
3
p
q
-
=
，
综上所述p
q
-
的所有可能值为3,2,3
-
.
（2）设{ , , , }
{1,2,3,4}
a b c d =
，由①，
{1,2,3,4}(
1,2,
, ),
4
ix
i
n n
Î
=
³
L
，
1o．1,2,3,4,2,1 是6⊕4 数列，
所以
6
n =
符合题意．
2o ．当
7
n ³
时，由②，设
1
2
3
4
,
,
,
x
a x
b x
c x
a
=
=
=
=
或d ．
（a）当
4x
a
=
时，
由②，
5
6
,
x x
a
¹
，故由③，
5
6
x
x
d
=
=
，与②矛盾．
（b）当
4x
d
=
时，由②，
5x
a
=
或b 。
若
5x
a
=
，由③，
6x
a
=
，与①矛盾．
若
5x
b
=
，由②③，
6
7
x
x
a
=
=
，与①矛盾．
综上，n 的最大值为6．
（3）若
1
2
,
,
,
n
x x
x
L
满足③，则删除若干项仍满足③．
依题意，
{1,2,
, }(
1,2,
, )
ix
k
i
n
Î
=
L
L
．
1o．当
3
k =
时，假若
5
n ³
，设{ , , }
{1,2,3}
a b c =
，
设
1
2
3
,
,
x
a x
b x
c
=
=
=
，则由②，
4x
a
=
，由①②，
5x 无解，矛盾．
所以
4
2
2,2
2
n
k
k
n
£
=
-
-
³
．
2o ．假设存在n ，使得
2
1
n
k
³
- ，设满足此条件的最小的k 为,
2
1
u n
u
³
- ．由1o知，
4
u ³
.
若存在
(
1)
v
u
Å
-
数列，则
2
1
2
2
4
3
(
)
v
u
u
n
£
-
-
=
-
£
- ．
不妨设
(
1,2,
, )
ix i
n
=
L
中，u 出现的次数最少，设u 出现了m 次．
1.当
0
m =
时，则
1
2
,
,
,
n
x x
x
L
为
(
1)
n
u
Å
-
数列，矛盾．
2.当
1
m = 时，设
tx
u
=
，
（a）当
1
t = 或n 时，去掉
tx 这一项得(
1)
(
1)
n
u
-
Å
-
数列，矛盾．
（b）当
2
t =
时，去掉前两项得(
2)
(
1)
n
u
-
Å
-
数列，矛盾．
（c）当
1
t
n
=
- 时，去掉后两项得(
2)
(
1)
n
u
-
Å
-
数列，矛盾．
（d）当
1,2,
1,
t
n
n
¹
-
时，记原数列为
ef
u
h
L
L．
若e
g
¹
且f
h
¹
，去掉u 这一项得(
1)
(
1)
n
u
-
Å
-
数列，矛盾．
若e
g
=
且f
h
¹
，去掉u , g 这两项得(
2)
(
1)
n
u
-
Å
-
数列，矛盾．
若e
g
¹
且f
h
=
，去掉f ,u 这两项得(
2)
(
1)
n
u
-
Å
-
数列，矛盾．
若e
g
=
且f
h
=
，与（2）矛盾．
3．当
2
m≥
时，
(
1,2,
, )
ix i
n
=
¼
中，1,2,
,u
¼
均至少出现2 次．
由②，前两个1 之间必有其它数，不妨设为2．
由③，所有的2 均在这两个1 之间．
同理，不妨设所有的3 全在前两个2 之间，所有的4 全在前两个3 之间，⋯
这与
(
1,2,
, )
ix
u i
n
£
=
L
矛盾．
4．综上，假设不成立，必有
2
2,2
2
n
k
k
n
£
-
-
³
．
3o ．构造：1,2,3,1 为4
3
Å 数列，此时2
2 3
4
2
k
n
-
=
´ -
=
．
4o ．综上，2k
n
-
的最小值为2．
刷真题
1．【答案】(1)证明见解析；
(2)
3
7
2
7
2
9
9
m
m
f
+
-
¢ -
=
-
【详解】（1）由题意证明如下，
*
N
nÎ
，
在数列
na
中，
1
3
a =
，
1
1
1
1
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
，
∴
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
=
+ ，即
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
-
= ，
∴
n
na
是以
1
3
a =
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，
*
N
nÎ
，
在数列
n
na
中，首项为3，公差为1，
∴
3 1
1
n
na
n
=
+ ´
-
，即
2
1
na
n
= +
，
在
2
1
2
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
中，
2
2
3
2
1
m
f x
x
x
x
m
æ
ö
=
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
L
，
1
3
4
2
m
f
x
x
m
x
-
=
+
+
+
+
¢
L
∴
1
2
3
4
2
3
4
2
m
m
f
x
x
m
x
xf
x
x
x
m
x
-
ì
=
+
+
+
+
ïí
=
+
+
+
+
ïî
¢
¢
L
L
，
当
1
x ¹ 且
0
x ¹
时，
∴
1
2
1
1
1
3
2
3
2
1
m
m
m
m
x
x
x f
x
x
x
x
m
x
m
x
x
-
-
-
-
=
+
+
+
+
-
+
=
+
-
+
-
¢
L
，
∴
1
2
1
2
3
1
1
1
m
m
x
x
m
x
f
x
x
x
x
-
-
+
-
¢
=
+
-
-
-
∴
1
2
2 1
2
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
m
m
m
f
-
é
ù
-
- -
+
-
ë
û
-
=
+
-
- -
- -
é
ù
- -
ë
û
¢
1
2
1
2
2
2
1
9
3
m
m
m
-
é
ù
-
- -
+
-
ë
û
= +
-
2
2
2
2
1
9
9
3
m
m
m
-
+
-
= -
-
-
3
7
2
7
9
9
m
m +
-
=
-
.
2．【答案】(1)
2
3
na
n
=
+ ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d ，而
6,
2
1,
N
2
,
2
n
n
n
a
n
k
b
k
a n
k
*
-
=
-
ì
=
Î
í
=
î
，
则
1
1
2
2
1
3
3
1
6,
2
2
2 ,
6
2
6
b
a
b
a
a
d b
a
a
d
=
-
=
=
+
=
-
=
+
- ，
于是
4
1
3
1
4
6
32
4
4
12
16
S
a
d
T
a
d
=
+
=
ì
í
=
+
-
=
î
，解得
1
5,
2
a
d
=
=
，
1
(
1)
2
3
na
a
n
d
n
=
+
-
=
+ ，
所以数列
na
的通项公式是
2
3
na
n
=
+ .
（2）方法1：由（1）知，
2
(5
2
3)
4
2
n
n
n
S
n
n
+
+
=
=
+
，
2
3,
2
1,
N
4
6,
2
n
n
n
k
b
k
n
n
k
*
-
=
-
ì
=
Î
í
+
=
î
，
当n 为偶数时，
1
2(
1)
3
4
6
6
1
n
n
b
b
n
n
n
- +
=
-
- +
+
=
+ ，
2
13
(6
1)
3
7
2
2
2
2
n
n
n
T
n
n
+
+
=
×
=
+
，
当
5
n >
时，
2
2
3
7
1
(
)
(
4 )
(
1)
0
2
2
2
n
n
T
S
n
n
n
n
n n
-
=
+
-
+
=
-
>
，因此
n
n
T
S
>
，
当n 为奇数时，
2
2
1
1
3
7
3
5
(
1)
(
1)
[4(
1)
6]
5
2
2
2
2
n
n
n
T
T
b
n
n
n
n
n
+
+
=
-
=
+
+
+
-
+
+
=
+
- ，
当
5
n >
时，
2
2
3
5
1
(
5)
(
4 )
(
2)(
5)
0
2
2
2
n
n
T
S
n
n
n
n
n
n
-
=
+
-
-
+
=
+
-
>
，因此
n
n
T
S
>
，
所以当
5
n >
时，
n
n
T
S
>
.
方法2：由（1）知，
2
(5
2
3)
4
2
n
n
n
S
n
n
+
+
=
=
+
，
2
3,
2
1,
N
4
6,
2
n
n
n
k
b
k
n
n
k
*
-
=
-
ì
=
Î
í
+
=
î
，
当n 为偶数时，
2
1
3
1
2
4
1
2(
1)
3
14
4
6
3
7
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
n
n
-
- +
-
-
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
×
+
×
=
+
L
L
，
当
5
n >
时，
2
2
3
7
1
(
)
(
4 )
(
1)
0
2
2
2
n
n
T
S
n
n
n
n
n n
-
=
+
-
+
=
-
>
，因此
n
n
T
S
>
，
当n 为奇数时，若
3
n ³
，则
1
3
2
4
1
1
2
3
1
14
4(
1)
6
1
(
)
(
)
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b -
- +
-
+
+
-
+
-
=
+
+
+
+
+
+
+
=
×
+
×
L
L
2
3
5
5
2
2
n
n
=
+
- ，显然
1
1
1
T
b
=
= - 满足上式，因此当n 为奇数时，
2
3
5
5
2
2
nT
n
n
=
+
-
，
当
5
n >
时，
2
2
3
5
1
(
5)
(
4 )
(
2)(
5)
0
2
2
2
n
n
T
S
n
n
n
n
n
n
-
=
+
-
-
+
=
+
-
>
，因此
n
n
T
S
>
，
所以当
5
n >
时，
n
n
T
S
>
.
3．【答案】(1)
1
na
n
=
-
(2)
1
2
2
2
n
nT
n æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
【详解】（1）因为2
n
n
S
na
=
，
当
1
n = 时，
1
1
2a
a
=
，即
1
0
a =
；
当
3
n =
时，
3
3
2 1
3
a
a
+
=
，即
3
2
a =
，
当
2
n ³
时，
1
1
2
1
n
n
S
n
a
-
-
=
-
，所以
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
S
S
a
na
n
a
-
-
-
=
=
-
-
，
化简得：
1
2
1
n
n
n
a
n
a -
-
=
-
，当
3
n ³
时，
1
3
1
1
2
2
n
n
a
a
a
n
n
-
=
=
=
=
-
-
L
，即
1
na
n
=
- ，
当
1,2
n =
时都满足上式，所以
*
1
N
n
a
n
n
=
-
Î
．
（2）因为
1
2
2
n
n
n
a
n
+ =
，所以
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
n
nT
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
2
3
1
1
1
1
1
1
1
2
(
1)
2
2
2
2
2
n
n
nT
n
n
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= ´
+ ´
+
+
-
´
+ ´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
两式相减得，
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
T
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
é
ù
æ
ö
´
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
+
-
è
=
-
ø
´
- ´
L
，
1
1
1
2
2
n
n
æ
öæ
ö
= -
+
ç
֍
÷
è
øè
ø
，即
1
2
2
2
n
nT
n æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
*
N
nÎ
．
4．【答案】(1)
1
2
n
n n
a
+
=
(2)见解析
【详解】（1）∵
1
1
a = ，∴
1
1
1
S
a
=
= ,∴
1
1
1
S
a = ,
又∵
n
n
S
a
ì
ü
í
ý
î
þ
是公差为1
3 的等差数列，
∴
1
2
1
1
3
3
n
n
S
n
n
a
+
= +
-
=
,∴
2
3
n
n
n
a
S
+
=
,
∴当
2
n ³
时，
1
1
1
3
n
n
n
a
S
-
-
+
=
，
∴
1
1
2
1
3
3
n
n
n
n
n
n
a
n
a
a
S
S
-
-
+
+
=
-
=
-
,
整理得：
1
1
1
n
n
n
a
n
a -
-
=
+
,
即
1
1
1
n
n
a
n
a
n
-
+
=
- ,
∴
3
1
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
=
´
´
´¼´
´
1
3
4
1
1 1
2
2
1
2
n n
n
n
n
n
+
+
= ´
´
´¼´
´
=
-
-
，
显然对于
1
n = 也成立，
∴
na
的通项公式
1
2
n
n n
a
+
=
；
（2）
1
2
1
1
2
,
1
1
na
n n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø
∴
1
2
1
1
1
n
a
a
a
+
+
+
L
1
1
1
1
1
1
2
1
2 1
2
2
2
3
1
1
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
=
-
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
5．【答案】(1)
1,2 , 1,6 , 5,6
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）首先，我们设数列
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ 的公差为d ，则
0
d ¹
.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形
1
1
1,2,...,4
2
k
k
a
a
a
k
m
d
-
=
+
=
+
¢
，
得到新数列
1,2,...,4
2
ka
k k
m
=
=
+
¢
，然后对
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+
¢
¢
¢
进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设
1,2,...,4
2
ka
k k
m
=
=
+
，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1 小问相当于从1,2,3,4,5,6 中取出两个数i 和
j i
j
<
，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是1,2,3,4 ，或2,3,4,5，或3,4,5,6 .
所以所有可能的
,i j 就是
1,2 , 1,6 , 5,6 .
（2）由于从数列1,2,...,4
2
m +
中取出2 和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使
得每组成等差数列：
①
1,4,7,10 , 3,6,9,12 , 5,8,11,14 ，共3组；
②
15,16,17,18 , 19,20,21,22 ,..., 4
1,4 ,4
1,4
2
m
m
m
m
-
+
+
，共
3
m - 组.
（如果
3
0
m -
=
，则忽略②）
故数列1,2,...,4
2
m +
是
2,13 - 可分数列.
（3）定义集合
4
1
0,1,2,...,
1,5,9,13,...,4
1
A
k
k
m
m
=
+
=
=
+
，
4
2
0,1,2,...,
2,6,10,14,...,4
2
B
k
k
m
m
=
+
=
=
+
.
下面证明，对1
4
2
i
j
m
£ <
£
+
，如果下面两个命题同时成立，
则数列1,2,...,4
2
m +
一定是
,i j -可分数列：
命题1：
,
i
A j
B
Î
Î
或
,
i
B j
A
Î
Î
；
命题2：
3
j
i
- ¹
.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果
,
i
A j
B
Î
Î
，且
3
j
i
- ¹
.
此时设
1
4
1
i
k
=
+ ，
2
4
2
j
k
=
+
，
1
2
,
0,1,2,...,
k k
m
Î
.
则由i
j
<
可知
1
2
4
1
4
2
k
k
+ <
+
，即
2
1
1
4
k
k
-
> -
，故
2
1
k
k
³
.
此时，由于从数列1,2,...,4
2
m +
中取出
1
4
1
i
k
=
+ 和
2
4
2
j
k
=
+
后，
剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：
①
1
1
1
1
1,2,3,4 , 5,6,7,8 ,..., 4
3,4
2,4
1,4
k
k
k
k
-
-
-
，共
1k 组；
②
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
4
2,4
3,4
4,4
5 , 4
6,4
7,4
8,4
9 ,..., 4
2,4
1,4
,4
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
+
，共
2
1
k
k
-
组；
③
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3,4
4,4
5,4
6 , 4
7,4
8,4
9,4
10 ,..., 4
1,4 ,4
1,4
2
k
k
k
k
k
k
k
k
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
，共
2
m
k
-
组.
（如果某一部分的组数为0 ，则忽略之）
故此时数列1,2,...,4
2
m +
是
,i j -可分数列.
第二种情况：如果
,
i
B j
A
Î
Î
，且
3
j
i
- ¹
.
此时设
1
4
2
i
k
=
+
，
2
4
1
j
k
=
+ ，
1
2
,
0,1,2,...,
k k
m
Î
.
则由i
j
<
可知
1
2
4
2
4
1
k
k
+
<
+ ，即
2
1
1
4
k
k
-
>
，故
2
1
k
k
>
.
由于
3
j
i
- ¹
，故
2
1
4
1
4
2
3
k
k
+
-
+
¹
，从而
2
1
1
k
k
-
¹ ，这就意味着
2
1
2
k
k
-
³
.
此时，由于从数列1,2,...,4
2
m +
中取出
1
4
2
i
k
=
+
和
2
4
1
j
k
=
+ 后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部
分，共m 组，使得每组成等差数列：
①
1
1
1
1
1,2,3,4 , 5,6,7,8 ,..., 4
3,4
2,4
1,4
k
k
k
k
-
-
-
，共
1k 组；
②
1
1
2
1
2
1
2
4
1,3
1,2
2
1,
3
1
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
+
+
，
1
2
1
2
1
2
2
3
2,2
2
2,
3
2,4
2
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
+
+
，共2 组；
③全体
1
1
2
1
2
1
2
4
,3
,2
2
,
3
k
p
k
k
p
k
k
p k
k
p
+
+
+
+
+
+
+
，其中
2
1
3,4,...,
p
k
k
=
-
，共
2
1
2
k
k
-
-
组；
④
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3,4
4,4
5,4
6 , 4
7,4
8,4
9,4
10 ,..., 4
1,4 ,4
1,4
2
k
k
k
k
k
k
k
k
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
，共
2
m
k
-
组.
（如果某一部分的组数为0 ，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含
2
1
2
k
k
-
-
个行，4 个列
的数表以后，4 个列分别是下面这些数：
1
1
1
2
4
3,4
4,...,3
k
k
k
k
+
+
+
，
1
2
1
2
1
2
3
3,3
4,...,2
2
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
，
1
2
1
2
1
2
2
2
3,2
2
3,...,
3
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
，
1
2
1
2
2
3
3,
3
4,...,4
k
k
k
k
k
+
+
+
+
.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍
1
1
2
4
1,4
2,...,4
2
k
k
k
+
+
+
中除开五个
集合
1
1
4
1,4
2
k
k
+
+
，
1
2
1
2
3
1,3
2
k
k
k
k
+
+
+
+
，
1
2
1
2
2
2
1,2
2
2
k
k
k
k
+
+
+
+
，
1
2
1
2
3
1,
3
2
k
k
k
k
+
+
+
+
，
2
2
4
1,4
2
k
k
+
+
中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的
1
4
2
k +
和
2
4
1
k + 以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4
2
m +
是
,i j -可分数列.
至此，我们证明了：对1
4
2
i
j
m
£ <
£
+
，如果前述命题1 和命题2 同时成立，则数列1,2,...,4
2
m +
一
定是
,i j -可分数列.
然后我们来考虑这样的
,i j 的个数.
首先，由于A
B = Æ
I
，A 和B 各有
1
m + 个元素，故满足命题1 的
,i j 总共有
2
1
m +
个；
而如果
3
j
i
- = ，假设
,
i
A j
B
Î
Î
，则可设
1
4
1
i
k
=
+ ，
2
4
2
j
k
=
+
，代入得
2
1
4
2
4
1
3
k
k
+
-
+
=
.
但这导致
2
1
1
2
k
k
-
=
，矛盾，所以
,
i
B j
A
Î
Î
.
设
1
4
2
i
k
=
+
，
2
4
1
j
k
=
+ ，
1
2
,
0,1,2,...,
k k
m
Î
，则
2
1
4
1
4
2
3
k
k
+
-
+
=
，即
2
1
1
k
k
-
= .
所以可能的
1
2
,
k k
恰好就是
0,1 , 1,2 ,...,
1,
m
m
-
，对应的
,i j 分别是
2,5 , 6,9 ,..., 4
2,4
1
m
m
-
+
，总共m 个.
所以这
2
1
m +
个满足命题1 的
,i j 中，不满足命题2 的恰好有m 个.
这就得到同时满足命题1 和命题2 的
,i j 的个数为
2
1
m
m
+
-
.
当我们从1,2,...,4
2
m +
中一次任取两个数i 和
j i
j
<
时，总的选取方式的个数等于
4
2
4
1
2
1
4
1
2
m
m
m
m
+
+
=
+
+
.
而根据之前的结论，使得数列
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ 是
,i j -可分数列的
,i j 至少有
2
1
m
m
+
-
个.
所以数列
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ 是
,i j -可分数列的概率
m
P 一定满足
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
4
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
2
2 2
1
2
1
8
m
m
m
m
m
m
m
m
P
m
m
m
m
m
m
m
m
æ
ö
+
+
+
ç
÷
+
-
+
+
è
ø
³
=
>
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
.
这就证明了结论.
