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限时预测01（A 组+B 组+C 组）
参考答案
15．（13 分）
【解析】
（1）因为
成等差数列，所以
，又
，所以
． （3 分）
设
，则
，则
． （6 分）
（2）由（1）得
，
则
外接圆的半径
， （9 分）
则
，则
，
，
则
的取值范围为
． （13 分）
16．（15 分）
【解析】（1）在
（平均每天使用手机时间1 小时以下）条件下，近视的频率为
，
用频率估计概率，得
， （4 分）
在
（平均每天使用手机时间1 小时及以上）条件下，近视的频率为
，
用频率估计概率，得
， （6 分）
使用手机时间少于1 小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1 小时及以上的学生近视概率约为
0.65，两者有较大差异.
因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高. （8 分）
（2）由题意
，
，
，
，
， （10 分）
则
， （13 分）
由于
，所以有
的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. （15 分）
17．（15 分）
【解析】（1）翻折前，在图1 中，因为四边形
为正方形，所以
，
，
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，且
，
因为
，所以
， （3 分）
翻折后，在图2 中，
，
，
所以二面角
的平面角为
， （5 分）
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
当
时，即
，且
，则
，
所以三棱柱
的体积为
. （7 分）
（2）因为
平面
，以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，
过点
且垂直于平面
的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
， （9 分）
设点
，其中
，由题意可知
，则
，故
，
，
，
因为
，则
，解得
， （11 分）
则点
，
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，则
， （13 分）
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
因此直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
. （15 分）
18.（17 分）
【解析】（1）由题知
，解得
， （3 分）
所以
的方程为
. （5 分）
（2）（i）因为
，又
，由对称性知
，
又
，所以
， （7 分）
由
，消
并整理得到
，解得
或
，
当
时，
，所以
，
则
，所以直线
的方程为
，即
. （9 分）
（ii）设
，
，则
，
又
，则
，解得
，
，
因为
在椭圆上，则
，即
，
又
，则
， （11 分）
易知
，化简得
，则
，
又因为
，
又
，则
，解得
，
， （13 分）
因为
在椭圆上，则
，即
，
又
，则
，
易知
，化简得
，得到
，
故
. （15 分）
19.（17 分）
【解析】(1)由题，当
时，
，
，
所以
，
所以
，
，
，
所以
. （4 分）
(2)解：因为
，
所以方程
，即为
，
因为方程
恰好表示6 个不同的椭圆，
所以，对于正整数
，
构成的集合有且仅有三个不同的元素， （6 分）
此时从三个不同元素中选两个排序，表示焦点在
轴上的椭圆，有
个不同的椭圆.
所以，当
时，
构成的集合为
，有一个元素，不满足；
当
时，
构成的集合为
，有两个元素，不满足；
当
时，
构成的集合为
，有两个元素，不满足；
当
时，
构成的集合为
，有3 个元素，满足；
当
时，
构成的集合为
，有3 个元素，满足；
当
时，
构成的集合至少有4 个元素，例如，
时构成的集合为
，不
满足；
综上，
或
. （10 分）
(3)证明：因为
，
所以，两边同时求导得：
，
等式两边同乘以
得：
①，
因为
，
所以，对于①式，令
，得
， （12 分）
对①式两边再求导得：
，
等式两边同乘以
得：
②，
因为
，
所以，对于②式，令
，得
，
所以
， （14 分）
因为
为正整数，
所以，当
时，
，满足
；
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；
综上，对于任意正整数
，
. （17 分）
15．（13 分）
【解析】（1）由题意
.
因为
是等差数列，所以公差
.
所以
. （3 分）
满足
，符合题设条件，
所以
的通项公式为
. （6 分）
（2）因为
，
所以
， （9 分）
由
及
可知
，则
，所以
， （12 分）
所以
是等比数列. （13 分）
16.（15 分）
【解析】（1）由题意可知
是边长为2 的正三角形，
在
中，由余弦定理可得
， （2 分）
所以
，
所以
为直角三角形，且
，
所以
，
同理可得
，
因为
平面
，
，
所以直线
平面ABC； （6 分）
（2）取
中点
，连接
，则
，
又
，所以
，
由（1）可知直线
平面
，
，
以
为原点，分别以射线
，
为
，
轴的正半轴，建立空间坐标系，如图所示：
则
，
，
所以
， （8 分）
设平面
的法向量为
，
则有
，
令
，可得
， （10 分）
又因为
，
所以
， （13 分）
所以AC 与平面
所成角的正弦值为
. （15 分）
17.（15 分）
【解析】（1）依题意有
，解得
， （3 分）
故椭圆
的方程为
． （5 分）
（2）（i）由（1）得
，设
（
），
为
中点，故
，
直线
过原点和
，斜率
， （7 分）
已知
过
，故
，
所以
，即
，
代入椭圆方程
，整理得
，
解得
（舍去，对应
，点
在
轴上）或
，得
， （9 分）
故点
的坐标为
，又点
的坐标为
，
所以
， （10 分）
（ii）由（1）得
，设
（
），
由（i）直线
方程为
，取
可得
， （12 分）
所以直线
与
交点为
，
因为
的斜率
，直线
的斜率
， （13 分）
所以
，
由
在椭圆上得
， （14 分）
所以
，
所以
. （15 分）
18.（17 分）
【解析】（1）根据直方图可得，
，
由题知
，
，则
， （3 分）
等品的质量指标值不小于
，
即
（6 分）
（2）（ⅰ）指标值在
和
的总件数为
，
指标值在
的件数是
，
由题知，
可能的取值是
.
，
， （8 分）
，
，
分布列为：
（10 分）
（ⅱ）设每箱产品的利润为
，其中有
件
等品，
由题知，
，
由（1）知，
等品的概率为
，
则
，于是
，
，
记
， （13 分）
则
，
则
递增， （15 分）
递减，
故当
时利润最大 （17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）当
时，
，则
，
，
令
，则
， （3 分）
所以
在
上单调递减，又
，
所以当
时，
，当
时，
，
即当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. （5 分）
（2）（ⅰ）由题可得
，
令
，则
， （7 分）
当
时，
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
又
，
，
当
时，
，此时函数
在
上无零点；
当
时，
，此时函数
上有且仅有一个零点.
（ii）当
时，
可化为
，即
，
令
，设函数
，
，
则
，
当
，即
时，函数
上单调递增，
所以
，即
且不恒为零，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
即不等式
在
上恒成立；
当
，即
时，在
上，函数
单调递减，
故
，即
，
所以函数
在区间
上单调递减，
故存在
使得
，不合题意；
综上，实数
的取值范围为
. （17 分）
15．（13 分）
【解析】（1）由题意，
， （2 分）
两式相除可得
，即
，解得
， （3 分）
故
，所以
； （5 分）
（2）因
， （7 分）
则
① （8 分）
所以
② （9 分）
则②
①得：
（11 分）
（12 分）
所以
. （13 分）
16.（15 分）
【解析】(1)双曲线
经过点
，得
， （2 分）
由渐近线方程为
，得
，
解得
，
， （4 分）
双曲线
的方程为
. （5 分）
(2)假设
是线段
的中点，设
，
则由
两式相减，可得
， （7 分）
因为
是线段
的中点，
， （8 分）
代入上式，可得
，即此时直线
的斜率为
， （9 分）
于是直线
的方程为
，即
. （10 分）
联立
，消元得
， （11 分）
，所以方程无实数解， （13 分）
即此时直线与双曲线无交点，
故
不能是线段
的中点. （15 分）
17.（15 分）
【解析】(1)交换1 次后，随机变量
的所有可能取值为0，1，2.
，
，
（3
分）
所以随机变量
的分布列为
0
1
2
随机变量
的期望
（6 分）
(2)设
表示交换
次后小明手中两张牌种类相同的概率，则
，
，
则经过3 次后，
. （7 分）
事件“至少有1 轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”的对立事件为“两轮结束后，小明手里的两张牌
种类不同”，其概率为
， （8 分）
所以事件
的概率为
. （9 分）
(3)设
表示交换
次后小明手中两张牌种类相同的概率，则
，
，
所以
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列， （11 分）
所以
，所以
. （13 分）
为了使游戏公平，小明获胜的概率应为
，所以
，解得
. （15 分）
18．（17 分）
【解析】(1)由题意，连接
，
则
（3 分）
. （5 分）
(2)过点
作
，垂足为
，连接
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，则
为直线AE 与平面PBC 所成角. （7 分）
因为
平面ABC，
平面ABC，所以
，
，
又
，则
，即
，
又
平面
，
平面
，则
，
，
因为
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，则
， （8 分）
又
，
，则
，即
为等腰直角三角形，
由（1）知，
，
则
， （9 分）
所以
，
则直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为
. （10 分）
(3)由（2）知，
，
，
，
以
为原点，以
所在直线为
轴，以与
垂直的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设
，
则
，
由于
四点共面，则存在实数
使得
， （12 分）
即
，解得
，
而
，即
，
当且仅当
，即
时等号成立， （13 分）
而
到平面
的距离为
，
又
，
则三棱锥
的体积最小时
，
此时
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
， （14 分）
而
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
， （15 分）
设平面FGH 与平面PBC 所成角为
，
则
， （16 分）
所以平面FGH 与平面PBC 所成角的余弦值为
． （17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）函数
定义域为
，
当
，且
时
，
当
，且
时
， （2 分）
所以不存在直线
使
恒成立或
恒成立，
故函数
在其定义域上不存在“临界线”； （4 分）
②
，由基本不等式得
，
即直线
满足
恒成立，
故直线
是函数
在其定义域上的“临界线”； （5 分）
③ 设
，则
，令
可得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以
，故
，
即
对任意
恒成立，
所以直线
为函数
在
上的“临界线”． （7 分）
（2）函数
的定义域为
，导函数
，
，又切线过点
，
所以切线方程
要证明直线
是函数
在
上的“临界线”， （8 分）
结合
可得只需证明
对
恒成立，
设
，
，
则
，设函数
，
可得
， （10 分）
当
时，
，
，故
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，即函数
在
上单调递增，
又
，所以当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，即
在
上恒成立，
所以
是函数
在
上的“临界线”． （12 分）
(3）因为直线
是函数
在定义域上的“临界线”，
又当
时，
，
，
所以对
，
不可能恒成立，
故对
，
恒成立，
所以当
且
时，，
成立， （13 分）
又当
，且
时，
，
与函数
相比较函数
呈爆炸性增长，故
，即
，
又
，所以
，且
，
故
，即
，
所以
是对
，
恒成立的必要条件， （14 分）
下面证明
是
，
恒成立的充分条件，
因为
，
所以当
时，
，
，此时
恒成立，
当
时，由
可得
，所以
，故
，
由（1）
，两边取对数可得
，所以
， （15 分）
所以
，由
可得
，
所以
，所以
，而
，
所以当
时
恒成立，
所以
是对
，
恒成立的充分条件，
综上
（17 分）
