高一数学｜函数的最大（小）值

同学们好，今天分享函数的最大值与最小值这一节板书。

一、基本概念
设y等于f(x)，定义域是D。

1. 最大值：对定义域内任意x，f(x)小于等于M；定义域内存在x0，使得f(x0)等于M，M就是最大值。几何意义：函数图像最高点的纵坐标。

2. 最小值：对定义域内任意x，f(x)大于等于m；定义域内存在x0，使得f(x0)等于m，m就是最小值。几何意义：函数图像最低点的纵坐标。

二、单调性和最值的关系
如果f(x)在闭区间[a,b]上单调：
单调递增：最小值是f(a)，最大值是f(b)
单调递减：最小值是f(b)，最大值是f(a)
⚠️注意：开区间上的函数，不一定有最值。

三、经典题型

1. 分段函数，画图找最值；带绝对值的函数，先写成分段形式再画图分析。

2. 利用单调性证明，再求区间上的最值。

3. 恒成立、能成立转化（重难点）
m大于等于f(x)恒成立 ⇔ m大于等于f(x)的最大值
m小于等于f(x)恒成立 ⇔ m小于等于f(x)的最小值
m大于等于f(x)能成立 ⇔ m大于等于f(x)的最小值
m小于等于f(x)能成立 ⇔ m小于等于f(x)的最大值

四、实际应用题思路
①列出分段函数解析式
②分段分别求最值
③对比每一段结果，选出最终的最大值或者最小值

这一块是高一高频考点，很多同学卡在恒成立的转化上，一定要分清恒成立和能成立的区别！

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