初中数学之函数题中的图像问题

初中数学之函数

专题01 函数图象信息题型的展开与拓展

函数的性质是由观察函数图象，进而总结出来的一般规律，这些规律在特定的环境中是“放之四海而皆准”的，同样的道理，根据这些性质，亦可推测出函数的图象大致形状，也就是函数图象与性质之间是彼此依存，相辅相成的.

这就要求同学们在学习的过程中，除了掌握函数的一般规律外，还要弄清楚这些规律存在的前提条件，掌握其一一对应的关系，才能在“茫茫题海”中游刃有余.

一、基础知识概述

1. 一次函数

（1）正比例函数

表达式：y=kx（k≠0）

（2）一次函数

表达式：y=kx+b（kb≠0）

2. 二次函数

一般式：，（a≠0）

性质：，>0时，函数与x轴有两个公共点；=0时，函数与x轴有一个公共点；<0时，函数与x轴有无公共点.

函数与y轴交点坐标（0，c）；

对称轴为：，

ab>0时，对称轴在y轴左侧；ab<0时，对称轴在y轴左侧；b=0时，对称轴为y轴；

（1）a>0时，图象开口朝上

（2）a<0时，图象开口朝下

几个常见的式子：x=1时，y=a+b+c；x=2时，y=4a+2b+c；x=－1时，y=a－b+c.

·二次函数平移规律

3. 反比例函数

表达式：，

二、典型例题讲解

1. （2019·湖北鄂州中考）在同一平面直角坐标系中，函数与(k为常数，且k≠ 0)的图象大致是（）

A.              B.              C.          D.

【答案】C.

【解析】解：当k<0时，一次函数过第二、三、四象限，反比例函数过第二、四象限；

当k>0时，一次函数过第一、二、四象限，反比例函数过第一、三象限；

通过观察图象，可知C符合题意，

故答案为：C.

2. （2019·四川攀枝花中考）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（）

【答案】C.

【解析】解：令，得：，∵a≠0，∴此方程无解，即二次函数与一次函数无公共点，

选项A，二次函数中a>0，b<0；一次函数中b>0，a>0，所以A选项错误；

选项B，二次函数与一次函数有公共点，所以B选项错误；

选项C，二次函数中a>0，b<0；一次函数中b<0，a>0，且二次函数与一次函数没有公共点，所以C选项正确；

选项D，二次函数中未经过原点，所以D选项错误；

综上，答案为：C.

3. （2019·浙江台州中考）

已知某函数的图象C与函数的图象关于直线y=2对称，下列命题：

①图象C与函数的图象交于点；②点在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)是图象C上的任意两点，若x₁>x₂，则y₁>y₂. 其中，真命题是（）

A. ①②B. ①③④C. ②③④D. ①②③④

【答案】A.

【解析】解：设点（x，y）是函数C上一点，则点（x，y）关于直线y=2对称的点（x，4－y）在函数的图象上，

即4－y=，y=4－，

即函数C的解析式为：y=4－.

①联立及y=4－得：，

解得：，故①正确；

②对于y=4－，当x=时，y=－2，即点在图象C上，故②正确；

③对于y=4－，当x<0时，y>4，故④错误；

④对于y=4－，当x₁=3时，y₁=1；x₂=－1时，y₂=5，此时y₁<y₂，故④错误，

综上所述，①②正确，故答案为：A. 

4. （2019·青岛中考）

已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y=ax²－2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

【答案】C.

【解析】解：由反比例函数图象知，ab>0，即a>0,b>0；或a<0，b<0，

二次函数y=ax²－2x过点（0,0）.

∴选项A错误；

选项B中，二次函数开口朝上，∴a>0，b>0，则一次函数过一、二、三象限，故B错误；

选项C中，二次函数开口朝上，∴a>0，b>0，则一次函数过一、二、三象限，故C正确；

选项D中，二次函数开口朝下，∴a<0，∴二次函数的对称轴x=<0，位于y轴左侧，故D错误；

故答案为：C.

专题02 函数图象中的面积计算问题

几种常见面积的计算方法：

1. 三角形的一边在x轴上时，

S_△ABC=；

2. 三角形的一边在y轴上时，

S_△ABC=；

3. 割补法求解

（1）三角形一个顶点在原点处，

S_△ABO=；

S_△ABO=.

（2）割补法

S_△ABO=；

S_△ABO=.

（3）补法求面积

1. （2019·成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数和的图象交于点A，反比例函数的图象经过点A.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积. 

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵一次函数和的图象交于点A，

∴，解得：，

即A(－2,4)，

将点A(－2,4)代入中，得：k=－8，

故反比例函数的表达式为：；

（2）联立，得：

，

即B(－8,1).

过点B作BC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，

∴S_△OAD=S_△OBC，

∴S_△OAB=S_梯形ABCD，

=（BC+AD）×CD÷2

=（1+4）×6÷2=15.

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