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专题07 功与功率 机车启动
模型一 功和功率的理解和计算
1．功的正、负的判断方法
2．恒力做功的计算方法
3．功率的理解与计算
(1)平均功率：＝.
(2)瞬时功率：P＝F·v·cos α.
【例题精讲】
1．如图所示，一物块沿固定斜面下滑，关于该过程，下列说法中正确的是（ ）
A．摩擦力做负功，重力做正功
B．摩擦力做正功，重力做负功
C．支持力做正功，摩擦力做负功
D．支持力做正功，重力做正功
2．如图甲所示，与水平面夹角θ＝37°的粗糙斜面上，放着可视为质点的A、B 两物块，质量分别为mA＝
1kg 和mB＝5kg。轻弹簧一端与物块A 相连，另一端与挡板相连。未施加拉力F 时，A、B 两物块恰好不
下滑。从t＝0 时刻开始，对B 施加一沿斜面向上的力F 使物块B 沿斜面向上做匀加速运动，力F 随时间
变化如图乙，已知两物块与斜面的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，g 取
10m/s2，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（ ）
A．乙图中F2＝95N
B．弹簧的劲度系数为25N/m
C．t＝0 到t＝0.2s 的过程中力F 做的功为1.09J
D．t＝0 到AB 分开的过程中，A 所受摩擦力做功为0.08J
3．放暑假了，开心同学拉着行李箱去旅游。开心沿某段平直路面匀速行走，设她对行李箱的拉力大小恒为
F，方向与水平面成θ 角，如图所示。若她行走了s 的路程，拉力F 对行李箱做的功为（ ）
A．Fscosθ
B．Fssinθ
C．Fstanθ
D．Fs
4．体育考试中有个项目是双手垫排球，双手以大小为v0的初速度竖直向上垫出一个质量为m 的排球，若排
球运动过程中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，排球运动的速度随时间变化的规律如图所示，t1
时刻排球到达最高点，再落回垫出点时的速度大小为v1，且落回垫出点前排球已经做匀速运动，重力加
速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．排球上升过程中的加速度逐渐减小，下降过程中的加速度逐渐增大
B．在0﹣t1时间内，排球上升的高度小于v0t1
2
C．排球垫出瞬间的加速度大小为(1+ v1
v0
)g
D．排球在整个运动过程中空气阻力做功为0
5．两个相互垂直的共点力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动一段位移。如果F1＝4N，F2＝3N，F1对
物体做功16J，F2对物体做功9J，则F1和F2的合力大小以及这两个力的合力对物体做功分别为（ ）
A．7N，7J
B．7N，25J
C．5N，25J
D．5N，❑√337 J
（多选）6．如图甲，质量0.5kg 的小物块从右侧滑上匀速转动的水平传送带，其位移与时间的变化关系如
图乙所示。图线的0 至3s 段为抛物线，3s 至4.5s 段为直线，下列正确的是（ ）
A．传送带沿顺时针方向转动
B．传送带速度大小为4m/s
C．物块刚滑上传送带时的速度大小为4m/s
D．整个过程中摩擦力对物块所做功的平均功率大小约为0.34W
（多选）7．如图所示，轻杆的一端固定在通过O 点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O 点在竖直
平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A 点为最高点、C 点为最低点，B 点与O 点等高，下列说法
正确的是（ ）
A．小球经过A 点时，杆对其作用力一定竖直向下
B．小球经过B 点时，杆对其作用力不可能沿BO 方向
C．从C 点到A 点的过程，杆对小球的作用力做正功
D．从A 点到C 点的过程，重力对小球的功率增大
模型二 机车启动的两种模型
1．模型一：以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt 图像和vt 图像如图所示．
2．模型二：以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt 图像和vt 图像如图所示．
【例题精讲】
1．分别用v、a、F、P 表示机车运动的速度、加速度、牵引力和功率，则下列四个物理量与时间的图像，能
表示机车以恒定功率启动的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．国家十三五规划中提出实施新能源汽车推广计划，提高电动车产业化水平。某款电动概念汽车在平直的
公路上由静止开始启动，在前5s 内做匀加速直线运动，5s 末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其
v﹣t 图像如图所示，已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到的阻力为车重的0.1 倍，g 取10m/s2，则下
列说法正确的是（ ）
A．汽车的额定功率为50kW
B．汽车的速度为12m/s 时，其加速度为1.5m/s2
C．汽车在前5s 内的牵引力为4×103N
D．汽车的最大速度为15m/s
3．某额定功率为P0的汽车以加速度a1匀加速启动，到额定功率后保持恒功率行驶至最大速度。已经汽车v
﹣t 图线如图①所示。若该汽车以加速度a2（a2＝2a1）匀加速启动，以相同的方式达到汽车最大速度，
若整个过程阻力不变，v﹣t 图线可能是下列中的（ ）
A．
B．
C．
D．
4．司机驾驶汽车在平直的公路上匀速行驶，当正前方出现某一固定倾角的缓坡时，需爬坡至坡顶。假设汽
车所受路面及空气带来的阻力保持恒定，且汽车始终以额定功率行驶。关于汽车在爬坡前后速度v 与时
间t 的图像，描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，细绳的下端系着一支圆珠笔，细绳的上端固定在公交车的水平扶手杆上。公交车以额定功率
从静止状态加速至最大速度vm的过程中，公交车所受的阻力大小不变。当车速为vm
2
时，细绳偏离竖直
方向的夹角为30°。当车速为vm
4
时，细绳偏离竖直方向的夹角为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
（多选）6．“飞行魔毯”安装了n 架相同的无人机，一次飞行中，“飞行魔毯”从静止开始保持额定功率
竖直向上起飞，经过时间t0上升高度h 时达到最大速度。已知每架无人机的额定功率均为P，“飞行魔
毯”加上飞行员的总质量为m，“飞行魔毯”竖直上升过程中所受的空气阻力恒为f，重力加速度为g。
下列说法正确的是（ ）
A．“飞行魔毯”从静止至速度达到最大的过程中，空气阻力做的功为fh
B．“飞行魔毯”的最大速度vm=
nP
mg+ f
C．“飞行魔毯”从静止至速度达到最大的过程中，加速度逐渐减小
D．“飞行魔毯”从静止至速度达到最大的过程中加速度先增大后减小
（多选）7．为提高电动自行车的安全性能，最新的《电动自行车安全技术规范》规定，电动自行车最高设
计车速不超过25km/h。假设某人驾驶如图所示的电动自行车由静止开始做匀加速直线运动，经过25s 速
度达到5m/s，电机恰好达到额定功率。已知人（包括头盔）、车的总质量为100kg，行驶过程中受到的
阻力恒为人、车总重力的2
25
，重力加速度g 取10m/s2。则（ ）
A．匀加速运动过程中，电动自行车的加速度大小为0.5m/s2
B．匀加速运动过程中，电动自行车的牵引力大小为100N
C．电动自行车的额定功率为400W
D．此电动自行车以额定功率行驶时不会超过规定车速
6．分别用v、a、F、P 表示机车运动的速度、加速度、牵引力和功率，则下列四个物理量与时间的图像，能
表示机车以恒定功率启动的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．国家十三五规划中提出实施新能源汽车推广计划，提高电动车产业化水平。某款电动概念汽车在平直的
公路上由静止开始启动，在前5s 内做匀加速直线运动，5s 末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其
v﹣t 图像如图所示，已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到的阻力为车重的0.1 倍，g 取10m/s2，则下
列说法正确的是（ ）
A．汽车的额定功率为50kW
B．汽车的速度为12m/s 时，其加速度为1.5m/s2
C．汽车在前5s 内的牵引力为4×103N
D．汽车的最大速度为15m/s
8．某额定功率为P0的汽车以加速度a1匀加速启动，到额定功率后保持恒功率行驶至最大速度。已经汽车v
﹣t 图线如图①所示。若该汽车以加速度a2（a2＝2a1）匀加速启动，以相同的方式达到汽车最大速度，
若整个过程阻力不变，v﹣t 图线可能是下列中的（ ）
A．
B．
C．
D．
9．司机驾驶汽车在平直的公路上匀速行驶，当正前方出现某一固定倾角的缓坡时，需爬坡至坡顶。假设汽
车所受路面及空气带来的阻力保持恒定，且汽车始终以额定功率行驶。关于汽车在爬坡前后速度v 与时
间t 的图像，描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图所示，细绳的下端系着一支圆珠笔，细绳的上端固定在公交车的水平扶手杆上。公交车以额定功
率从静止状态加速至最大速度vm的过程中，公交车所受的阻力大小不变。当车速为vm
2
时，细绳偏离竖
直方向的夹角为30°。当车速为vm
4
时，细绳偏离竖直方向的夹角为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
课时精练
一．选择题（共8 小题）
1．质量m＝1kg 的物体，由离地面足够高的位置开始以v0＝10m/s 的速度做平抛运动，下列说法正确的是（
）
A．运动1s 内重力做的功为10J
B．运动1s 末重力的瞬时功率为100❑√2W
C．运动1s 内重力的平均功率为100W
D．运动2s 末重力的瞬时功率为200W
2．质量为m＝1.0kg 的物块静置于光滑水平地面上，物块静止时的位置为x 轴零点。现给物块施加一沿x 轴
正方向的水平力F，其大小随位置x 变化的关系如图所示，则物块运动到x＝3m 处时，F 的瞬时功率为（
）
A．2❑√3W
B．4 ❑√3W
C．6W
D．8 ❑√3W
3．在高中物理学习中关于单位制与矢量的说法中，正确的是（ ）
A．长度、时间、质量是国际单位制中的基本物理量
B．厘米、分钟、开尔文是国际单位制中的基本单位
C．位移、速度、电流都有大小和方向，它们都是矢量
D．某个力对物体做了﹣5J 的功，这里的“﹣”表示方向
4．如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨
迹如图乙所示，P、Q 为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由O 点削出，从O 到P 与从P 到Q
的时间比为4：5，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．该面片从O 到P 的速度变化率比P 到Q 的速度变化率大
B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长
C．该面片运动到P 点与Q 点时，重力做功的瞬时功率之比为4：9
D．从O 到P 与从P 到Q 过程，重力做功的平均功率之比为16：65
5．如图所示，家用小石磨的圆盘上放着一堆总质量为m 的黄豆。转动把手，使圆盘由静止开始绕中心加速
转动，黄豆堆与圆盘始终相对静止。转动一周时黄豆堆的速度大小变为v，黄豆堆视为质点，圆盘视为
水平面，黄豆堆与中心的距离为r，关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．黄豆堆所受合力做的功为1
2 mv
2
B．黄豆堆所受的摩擦力一定指向中心
C．黄豆堆的速度大小为v 时，黄豆堆所受的摩擦力一定小于m v
2
r
D．黄豆堆的速度大小为v 时，圆盘的角速度为vr
6．下列物理量均为矢量的是（ ）
A．速度的变化量、位移
B．加速度、时间
C．功、力
D．线速度、周期
7．下列关于功的说法，正确的是（ ）
A．如果作用力做正功，反作用力一定做负功
B．如果合外力不做功，物体一定做匀速直线运动
C．人托着一个物体沿水平方向匀速前进，人对物体做了功
D．功是标量，合力做的功等于各分力做的功的代数和，功的正、负表示外力对物体做正功或是物体克
服外力做功
8．图（a）为记载于《武经总要》的“扬尘车”，古代守城时用以借助风力抛撒石灰粉迷惑敌军。其原理可
简化为图（b）模型：石灰粉（质量较小）与沙石（质量较大）仅在水平恒定风力和重力的作用下，由同
一高度P 点由静止释放，石灰粉与沙石受到的风力大小相等。下列说法正确的是（ ）
A．石灰粉与沙石在空中做曲线运动
B．石灰粉落地点与P 点的水平距离小于沙石落地点与P 点的水平距离
C．石灰粉与沙石落地时重力的瞬时功率相等
D．石灰粉与沙石在空中运动的时间相等
二．多选题（共3 小题）
（多选）9．图甲为建筑工地常用的吊装设备—塔吊。某次吊运货物的过程中，起重小车从某位置开始沿水
平吊臂匀速远离塔体，同时吊臂绕塔体中心以角速度0.1rad/s 匀速转动，起重小车运动过程中离塔体中心
的距离r 和吊臂转过的角度θ 间关系如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．起重小车相对于吊臂的速度大小为0.5m/s
B．r＝12m 时，起重小车对地速度大小为
❑√5
2 m/ s
C．r＝12m 时，起重小车的向心加速度大小为0.12m/s2
D．运动过程中，合外力对起重小车做功的功率越来越大
（多选）10．如图，一质量为m 的汽车静止在水平地面上。因路况不同，汽车与AB 间和BC 间的动摩擦因
数分别为μ 和0.5μ。现让汽车从A 点以恒定的加速度启动，当运动到B 点时，汽车刚好达到额定功率，
此时的速度为v1。保持汽车的功率不变，又经过t 时间后，汽车在C 点达到最大速度v2。已知重力加速
度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．v1与v2之间满足v2＝2v1关系
B．汽车在A 点时的加速度为μg v2
2v1
−μg
C．汽车在BC 段的牵引力先变大后变小
D．BC 段的距离为μg v2t + v1
2−v2
2
μg
（多选）11．如图所示，水平地面上有一半径为5m 的半球形曲面，球心A 点正下方2m 的P 处有一喷泉沿
水平方向喷出水流，设水流垂直落到半球形曲面上，喷口横截面积为0.01m2，重力加速度g＝10m/s2，水
的密度为1.0×103kg/m3，sin53°＝0.8，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．水流初速度的大小为v＝3m/s
B．任意相等时间内水流的速度变化量一定相等
C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为1m
D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为1875
4
❑√10W
三．解答题（共5 小题）
12．如图所示，光滑斜面上的物块A 与水平面上的物块B 通过绕过固定在斜面顶端的定滑轮的轻绳相连，
斜面倾角为30°，物块A、B 的质量分别为mA＝1kg 和mB＝2kg，此时物块A、B 处于静止且B 与水平面
间摩擦力为最大静摩擦力。从t＝0 时刻开始对物块B 施加水平方向的作用力F，规定水平向右为F 的正
方向，F 随时间t 变化规律如图乙所示。物块B 与水平面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他摩擦均不
计，物块A、B 开始时均离滑轮足够远，重力加速度为g＝10m/s2。求：
（1）滑块B 与水平面间的动摩擦因数μ 大小；
（2）0∼1s 时间内物块A、B 之间绳子拉力大小；
（3）0∼4s 时间内外力F 做功大小。
13．如图所示，把一个质量m＝0.1kg 的小钢球（可视为质点）用细线悬挂起来，悬点O 距地面的高度h＝
1.45m，细线长L＝1m。将小球拉至细线与竖直方向成37°角的位置，由静止释放，忽略空气阻力，取重
力加速度g＝10m/s2，cos37°＝0.8。
（1）求小球运动到最低点时细线对小球拉力的大小F；
（2）若小球运动到最低点时细线断了，小球沿水平方向抛出，求：
a．小球做平抛运动水平位移的大小x；
b．小球落地时重力的瞬时功率P。
14．如图所示，细绳OC 挂着质量为2m 的木杆，等长细绳OA、OB 夹角为60°，一只质量为m 的小猫抓在
木杆上，小猫与绳子末端的距离为L。重力加速度为g，不计一切阻力，小猫视为质点。求：
（1）细绳OA 中的拉力T 大小；
（2）若某时刻杆与细绳末端脱离，小猫立即沿杆匀加速上爬，恰好抓住绳子末端。猫与杆分离时速度不
变，则：
①杆对猫竖直方向的作用力；
②小猫做的总功。
15．如图所示，从高H 处的A 点先后水平抛出两个小球1 和2，球1 刚好直接越过竖直挡板MN 落在水平地
面上的B 点，球2 与地面碰撞两次后，刚好越过竖直挡板MN 也落在B 点。球2 的质量为m，重力加速
度为g，假设球2 每次与地面的碰撞都是弹性碰撞，两球的空气阻力均可忽略，求
（1）球1 初速度v1和球2 的初速度v2之比：
（2）竖直挡板MN 的高度h；
（3）球2 刚要落到B 点时重力的功率。
16．工人师傅用如图所示滑轮组提升建筑材料，用500N 的拉力使建筑材料匀速直线上升了4m，用时20s。
不计绳重和摩擦，此过程机械效率为90%。求：
（1）拉力做的功；
（2）拉力的功率；
（3）该建筑材料的重力大小。
