文档文本内容
专题13 功和功率
核心考点
考点梳理1 恒力做功的分析与计算.....................................................................................................................1
母题考点一 恒力做功的分析与计算....................................................................................................................2
考点梳理2 变力做功.............................................................................................................................................5
母题考点二 变力做功............................................................................................................................................6
考点梳理3 功率的分析与计算...........................................................................................................................10
母题考点三 功率的分析与计算..........................................................................................................................10
考点梳理4 机车启动问题...................................................................................................................................14
母题考点四 机车启动问题..................................................................................................................................15
考点梳理1 恒力做功的分析与计算
1．功
(1)定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体
做了功。
(2)必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移。
(3)物理意义：功是能量转化的量度。
(4)公式W＝Fl cos α
①α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体的位移。
②该公式只适用于恒力做功。
(5)功的正负
①当0≤α<π
2 时，W>0，这表示力对物体做正功。
②当π
2 <α≤π 时，W<0，这表示力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功。
③当α＝π
2 时，W＝0，这表示力对物体不做功。
(6)功是标量：只有大小，没有方向，但有正负，正负不表示方向，表示力的作用效果是动
力还是阻力。
2．判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据
适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断
常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求合力做的功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的
功。
方法三：利用动能定理W 合＝Ek2－Ek1，求合力做的功。
4．两个常用推论
(1)恒力做功等于力与物体在力的方向上位移的乘积，与运动路径无关。
(2)如图所示，物体由A 滑到D 克服摩擦力做的功W＝μmg·BD。
母题考点一 恒力做功的分析与计算
【母题1】（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于2024 年4 月30 日在东风
着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大
大减小，在减速过程中（ ）
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
【答案】A
【详解】AB．返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A 正确，B 错
误；
C．主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C 错误；
D．返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D 错误。
故选A。
【练1】（2025·安徽安庆·模拟预测）一辆玩具汽车在水平地面做直线运动，其速度
与时间
的关系如图所示。已知玩具汽车的质量为2kg，受到的阻力始终为车重的0.1 倍，重力加速
度g 取
。则（ ）
A．汽车在
时间内加速度方向不变
B．汽车在2s 末的位移大小为4m
C．汽车在
时间内因刹车额外产生的制动力的大小为6N
D．汽车在
时间内克服阻力做的功为6J
【答案】D
【详解】A．由
图像可得，1s 时斜率由正值变为负值，所以1s 时汽车加速度开始反向，
故A 错误；
B．
图线围成的面积为汽车位移的大小。汽车在2s 末的位移大小为
，
故B 错误；
C．由图像可知
时间内加速度大小
由牛顿第二定律可得
解得汽车因刹车额外产生的制动力的大小
，故C 错误；
D．
时间内克服阻力做的功为
时间内克服阻力做的功为
时间内克服阻力做的功为
，故D 正确。
故选D。
【练2】（2025·河南·三模）雨滴从高空中由静止开始加速下落，随着速度增加，雨滴受到的
阻力逐渐增大，当阻力与其重力大小相等时，雨滴匀速下落。下列说法正确的是（ ）
A．雨滴加速下落过程中，其机械能不断增大
举一反三
B．雨滴匀速下落过程中，其机械能不变
C．雨滴从开始下落至落地的过程中，其机械能不断减小
D．雨滴加速下落的过程中，相同时间内，雨滴克服阻力做的功相等
【答案】C
【详解】A．雨滴加速下落时，重力势能转化为动能和克服阻力产生的内能。由于阻力做功，
机械能不断减少，故A 错误；
B．匀速下落时，动能不变，但重力势能随高度降低持续减少，机械能仍减小，故B 错误；
C．整个下落过程中，阻力始终做负功，机械能持续转化为内能，因此机械能不断减小，故C
正确；
D．加速阶段，速度增大导致阻力增大，且位移随时间非线性增加，克服阻力做的功
会逐渐增大，故D 错误。
故选C。
【练3】（2025·河北·模拟预测）如图所示，在倾角为
的斜面顶端A 点以初速度
和
垂
直斜面向上抛出质量相同的小球P 和Q，P 和Q 分别落在斜面上的M 点和N 点，不计空气阻
力，下列说法正确的是（ ）
A．P、Q 的加速度大小之比为
B．P、Q 运动时间之比为
C．P、Q 落点
D．P、Q 受重力做功之比为
【答案】BD
【详解】A．小球做斜抛运动，加速度均为重力加速度，则加速度之比为
，故A 错误；
B．小球做斜抛运动，沿斜面和垂直斜面分解运动，垂直斜面方向做匀变速直线运动，初速
度
，加速度为
，则有
解得运动时间
可知，时间与初速度大小成正比，则P、Q 运动时间之比为
，故B 正确；
C．小球沿斜面方向做匀加速直线运动，初速度为0，加速度为
，沿斜面位移
即位移之比等于时间的平方之比，结合上述可知，位移之比为
，故C 错误；
D．小球受重力做功
结合上述可知，重力做功之比为
，故D 正确。
故选BD。
考点梳理2 变力做功
“六法”求解变力做的功
方法
情境图
注释
微元法
质量为m 的木块在水平面内做
圆周运动
运动一周克服摩擦力做功
Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝
Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F 把物块从A 拉到B
绳子对物块做功
W＝F·
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平
面上运动的位移为x0
在F－x 图像中，图线与x 轴所围
“面积”的代数和就表示力F 在这段
位移内所做的功，且位于x 轴上方的
“面积”为正功，位于x 轴下方的
“面积”为负功。
平均
值法
外力推动物块缓慢压缩轻质弹
簧，使其向左移动Δx
力与位移为线性关系，力做功W＝Δx
＝Δx，可得出弹簧弹性势能表达式
为Ep＝k(Δx)2
动能
定理法
F 做功为WF，则有WF－mgl(1－cos
θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
用外力F 把小球从A 处缓慢拉
到B 处
利用
W＝P·t
计算
机车以恒定功率启动，牵引力
为变力
牵引力的功W＝P·t
母题考点二 变力做功
【母题2】（2023·广东·高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作
质点的货物从
圆弧滑道顶端
点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端
点时速度大小为
。已知货物质量为
，滑道高度
为
，且过
点的切线水平，重力加速度取
。关于货物从
点运动到
点的过程，下列说法正确的有（ ）
A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点时向心加速度大小为
D．经过
点时对轨道的压力大小为
【答案】BCD
【详解】A．重力做的功为
A 错误；
B．下滑过程据动能定理可得
代入数据解得，克服阻力做的功为
B 正确；
C．经过
点时向心加速度大小为
C 正确；
D．经过
点时，据牛顿第二定律可得
解得货物受到的支持力大小为
据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为
，D 正确。
故选BCD。
【练1】（2025·河南开封·模拟预测）如图，质量均为
的小物块
放在倾角为
、足够长的固定斜面上，
靠在固定的挡板
上，
与
用轻绳连接，
分别与劲
度系数为
的轻质弹簧两端相连。对
施加一个沿斜面向上的外力使
静止且弹簧
恰好无弹力，某时刻改变外力的大小，使
一起以大小为
的加速度从静止开始做
匀加速直线运动，当
刚要离开挡板时突然剪断轻绳，并锁定
。
、
、
与斜面间的
动摩擦因数均为0.5，取
，
，
。不计空气阻
力，弹簧及轻绳均与斜面平行，弹簧始终处在弹性限度内。当力随位移均匀变化时，可用平
均力求做功。下列说法正确的是（ ）
A．
刚要离开挡板时，轻绳的拉力大小为
B．从
开始运动到
刚要离开挡板过程中，外力做功为
C．
运动到最高点时，弹簧的形变量为
D．
在第一次下滑过程中，其最大速度大小为
【答案】C
【详解】A．C 刚要离开挡板时，根据平衡条件，可得弹簧的拉力大小为
设绳中的拉力大小为
，对B，根据牛顿第二定律有
解得
，故A 错误；
B．C 刚要离开挡板时，根据胡克定律有
解得弹簧的伸长量
对AB 整体，根据牛顿第二定律有
可得
举一反三
力
做的功
，故B 错误；
C．绳断后瞬间，根据运动学公式有
代入数据解得B 的速度大小为
设B 运动到最高点时弹簧的伸长量为
，绳断后到B 达到最高点的过程中，根据动能定理有
·
解得
，故C 正确；
D．在第一次下滑过程中合力为零时速度最大，此时有
解得
根据动能定理有
解得
，故D 错误。
故选C。
【练2】（2025·山东·二模）如图所示，半径为
的四分之一光滑圆弧竖直固定，最低点
放
置一质量为
的物块，可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力
作用下由
运动到
，力
大小恒为
。对于该运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．力
做功大小为
B．力
做功大小为
C．力
的功率先增大后减小
D．克服重力做功的功率先增大后减小
【答案】B
【详解】AB．由于力F 方向始终沿圆弧切线，且大小恒为mg ，根据变力做功的计算方法，
这里可以用微元法。把圆弧分成很多小段，每一小段上力F 做的功
（
是每一小
段的弧长）
则力F 做功的大小
故A 错误，B 正确；
C．从A 到B 过程，F 始终大于重力沿切线方向的分力，所以物体一直在做加速运动，速度一
直在增大，根据
（F 与v 始终夹角为
）
可知F 的功率一直在增大，故C 错误；
D．设重力方向与速度方向夹角
，题图可知，对于该运动过程，
从
增大到
，则
克服重力做功的功率
可知
一直在增大，v 也在增大，故克服重力做功的功率一直增大，故D 错误。
故选B。
【练3】（2025·河北廊坊·一模）石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图
所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄
上施加方向总
与
垂直、大小为
的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知
点到转轴
的距离为
，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】F 与摩擦力一直是平衡力，F 克服摩擦力做功，因F 大小不变，方向不断变化，则
在微小的位移内可认为是恒力则微元功为
根据
可知摩擦力所做的功约为-18J。故选D。
考点梳理3 功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用P＝W
t 。
(2)利用P＝F·vcosα，其中v为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v 为某时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v 在力F 方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力。
母题考点三 功率的分析与计算
【母题3】（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全
部给电动机供电，刚好维持小车以速度v 匀速运动，此时电动机的效率为
。已知小车
的质量为m，运动过程中受到的阻力
（k 为常量），该光伏电池的光电转换效率为
，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意小车匀速运动，则有
小车的机械功率
由于电动机的效率为
，则有
光伏电池的光电转换效率为
，即
可得
故选A。
【练1】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，半径为
R，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．若
，则小物块做平抛运动直至落地
B．若
，则小物块紧贴着圆面下滑直至落地
C．无论按照什么轨迹，小物块落地时，重力的瞬时功率均相等
D．无论按照什么轨迹，小物块始终处于超重状态
【答案】A
【详解】A．在最高点，若物块只受重力，根据牛顿第二定律得
解得
若
，则小物块只受重力，做平抛运动直至落地，故A 正确；
B．若
，则小物块在最高点受到向下的重力和竖直向上的支持力，小物块紧贴着圆
面下滑，在下滑过程中，根据牛顿第二定律可得
随着物块下滑，θ 不断增大，cosθ 不断减小，v 增大，则FN减小，当FN减小到零时，物块做
斜下抛运动，不会一直沿着圆面下滑，故B 错误；
C．若物块做平抛运动，落地时重力的瞬时功率为
若物块先沿圆面下滑，再做斜下抛运动落到地面，由于竖直方向平均加速度小于重力加速度，
所以落地时重力的瞬时功率减小，故C 错误；
D．无论按照什么轨迹，小物块加速度向下或者加速度有向下的分量，所以小物块始终处于
失重状态，故D 错误。
故选A。
【练2】（2025·陕西西安·模拟预测）近年来为环保助力，我国电动汽车发展迅猛，如小米
举一反三
SU7 电动汽车。其铭牌信息显示：电动机额定功率
，汽车整备质量m=2170kg。
假设汽车在水平公路上行驶时所受阻力f 与车重的比值μ=0.2（g=10m/s2），汽车启动后先以
恒定加速度a=2m/s2加速，达到额定功率后再以恒定功率行驶，最终达到最高车速。下列说法
正确的是（ ）
A．汽车在匀加速阶段牵引力大小为4.34×103N
B．汽车达到额定功率时的速度大小约为23m/s
C．汽车以恒定功率行驶过程中，当速度为50m/s 时，加速度大小约为6m/s2
D．在此运动过程中发动机功率先随时间变化均匀增大，后保持不变
【答案】D
【详解】A．匀加速阶段牵引力由牛顿第二定律可得
解得
，故A 错误；
B．达到额定功率时的速度
，故B 错误；
C．恒定功率阶段速度为50m/s 时，牵引力
根据牛顿第二定律可得加速度
，故C 错误。
D．匀加速阶段功率
，与时间t 成正比（均匀增大）；达到额定功率后保持恒
定，故D 正确。
故选D。
【练3】（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，一光滑圆形轨道竖直放置，其上套有两个小
圆环甲和乙，轨道的最高点、最低点分别标记为A、D，最左端标记为C，最右端标记为B。
小圆环甲在轻微扰动下由A 处从静止开始向右运动，同时将小圆环乙由C 处从静止释放，则
（ ）
A．小圆环甲先到达B 点
B．小圆环乙先到达D 点
C．对于小圆环甲，从A 到B 的过程中重力的功率先增大后减小
D．对于小圆环乙，从C 到D 的过程中重力的功率一直增大
【答案】B
【详解】AB．根据机械能守恒定律可知，小环甲到B 速度大小与小环乙到达D 的速度大小相
等，整个运动过程的位移相等，对两环受力分析可知，小环甲沿竖直方向的加速度逐渐增大，
小环乙沿竖直方向的加速度逐渐减小，因此，小环甲做加速度逐渐增大的加速运动，小环乙
做加速度逐渐减小的加速运动，作出小环甲从A 到B 及小环乙从C 到D 的
图像如下
由图像可知，乙先到达D 点，故A 错误，B 正确；
CD．根据上述分析可知，甲竖直方向的分速度一直增大，根据
可知甲的重力功率逐渐增大，乙重力的功率开始为零，到达D 点时，重力的功率又为零，因
此乙从C 到D 的过程中，重力功率先增大后减小，故CD 错误。
故选B。
考点梳理4 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t 图像和v-t 图像
OA 段
过程分析
v↑⇒F＝P额
v ↓⇒
a＝
F −F阻
m
不变⇒F 不变
P＝
a＝F −F阻
m
↓
Fv↑直到P 额＝Fv1
运动性质
加速度减小的变加速
运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝v1
a
AB 段
过程分析
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝
P额
F阻
v↑⇒F＝P额
v ↓⇒a＝F −F阻
m
↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的变加速运动
BC 段
无
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝
P额
F阻
，以vm做
匀速直线运动
2．三个重要关系式
(1)最大运行速度：无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝
P额
F阻
。
(2)匀加速运动阶段的最大速度：机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后达到额定功
率，速度不是最大，即v＝P额
F <vm＝
P额
F阻
。
(3)功能关系：机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F 阻x＝
ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动或运行过程的位移、速度或时间。
母题考点四 机车启动问题
【母题4】（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为
和
，在某平直铁轨上
能达到的最大速度分别为
和
。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在
编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知两节动车分别有
当将它们编组后有
联立可得
故选D。
【练1】（2025·广东广州·模拟预测）一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动，其加速
度随时间变化的图像如图甲所示，机车牵引力F 和车速倒数
的关系图像如图乙所示，机车
前进过程中所受阻力大小恒定，
时刻机车达到额定功率，之后保持该功率不变，下列说
法正确的是（ ）
A．所受恒定阻力大小为
B．机车运动的额定功率为
C．机车匀加速运动的时间为30s
D．机车的质量为
【答案】D
【详解】A．由图乙可知，机车在BC 段功率恒定，当速度最大时，机车匀速行驶，机车所受
恒定阻力大小等于机车牵引力的大小，则有
，故A 错误；
B．由图乙可知，机车的最大速度为
，机车运动的额定功率
，故B 错误；
C．机车匀加速运动的末速度
，AB 段机车恒定加速启动，
举一反三
由甲图可知机车的加速度为
，机车匀加速运动的时间
，故C 错
误；
