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压轴计算题抢分练(四)
1.(2024·江西上饶模拟)如图甲所示，长为a 的平行板M、N 分别位于第一、第
二象限内，与坐标平面垂直并与y 轴平行，两板到y 轴的距离相等，两板的下端均
在x 轴上，两板上所加的电压随时间变化的规律如图乙所示(图乙中U0、T0均已知)
在第三、四象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。在y 轴上y＝a 的P 点沿y
轴负方向均匀地射出质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，每个粒子均能进入磁场
且从P 点射出到进入磁场所用的时间均为T0，从t＝0 时刻射出的粒子刚好从N 板
下边缘进入磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，磁场的磁感应强度大小
为，求：
(1)M、N 板间的距离为多少；
(2)能再次进入两板间的粒子数占总粒子数的比例为多少；
(3)若将M、N 极板上段截去一部分，使所有粒子从P 点射出后经电场、磁场偏
转后均不能再进入电场，则截去部分的长度至少为多少。
【答案】 (1) (2)33.33% (3)a
【解析】 (1)
两板
的距离
设
间
为d，从t＝0
刻射出的粒子
好从
时
刚
N 板的边缘
出，
飞
则d＝2××2
解得d＝。
(2)由于所有粒子穿
的
均
过电场
时间
为T0，所以所有粒子在
中运
沿平
电场
动时
行x
方向的速度
化量
零，即所有粒子
磁
，速度大小均
轴
变
为
进
场时
为v0＝
方向垂直于x
向下；粒子在磁
中运
，根据牛
第二定律
轴
场
动时
顿
qv0B＝m
解得r＝
所有粒子在磁
中均做半径
场
为r 的半
周运
，
圆
动
则2r＝d
在第一个周期内，
在
设
t
刻射入的粒子在离
时
N 板d
入磁
并恰好从
处进
场
M
板
入磁
。
＝
处进
场
则
×2×2－×t2×2
解得t＝。
根据
称性得，能再次
入两板
的粒子数占
粒子数的比例
对
进
间
总
为η＝×100%
＝33.33%。
(3)截去一段后，粒子
磁
的速度
设
进
场时
为v，速度与y
方向的
角
轴负
夹
为θ，则
v＝
粒子在磁
中做
周运
的半径
场
圆
动
r′＝＝
粒子
磁
和出磁
位置
的距离
进
场
场
间
s＝2r′cos θ＝＝d
截去一段后，若从t＝0
刻
入
的粒子
生的
移
时
进
电场
发
侧
为d，所有粒子均不
则
能再
入
。
进
电场
则d＝×t′2
解得t′＝T0
截去的板
则
长
L＝a－v0t′＝a。
2.(2024·广东广州三模)如图所示，两光滑平行圆弧导轨竖直放置，下端与两根
间距为L 的光滑平行水平导轨平滑连接，光滑水平导轨处在竖直向下的匀强磁场
之中，磁感应强度大小为B。在导轨上放置长度均为L、由同种金属材料制成的粗
细均匀的导体棒a、b、c，a 棒的质量为m，电阻为R0，b 棒的质量为m，c 棒的质量
为2m。已知初始时b 棒和c 棒间距为d，且均处于静止状态。现让a 棒从圆弧导轨
上离水平导轨高为h 处由静止释放，a 与b 发生碰撞后粘在一起，已知重力加速度
为g，导轨电阻不计，且导体棒运动过程中始终与导轨垂直。
(1)若要求a 棒与b 棒不发生碰撞，试求b 棒离磁场左边界的距离x 应满足的条
件；
(2)若b 棒离磁场左边界线的距离x0＝，b 棒与c 棒没有发生碰撞，试求c 棒在
全过程中产生的焦耳热。
【答案】 (1)x> (2)mgh
【解析】 (1)当
体棒
导
a 运
到磁
生感
，使
体棒
动
场时产
应电动势
导
b、c 在安培
力的作用下加速运
，因
体棒
动
为导
b、c 两端的电压U
是相等，所以安培力
总
为Fb
＝BL
Fc＝BL
根据牛
第二定律可得
体棒
顿
导
b 和
体棒
导
c 的加速度分别为ab＝
ac＝
体棒材料的密度
设导
为ρ0，
阻率
电
为ρ，则m＝ρ0LSb
Rb＝ρ＝R0
2m＝ρ0LSc
Rc＝ρ＝
解得＝1
可知
体棒
导
b、c
是相
静止的，体棒
总
对
导
a、b、c 构成的系
量守恒，金属
统动
设
棒a
入磁
的速度大小
进
场时
为v0，三者速度相等
的速度
时
为v1，根据
量守恒定
则
动
律有mv0＝(m＋m＋2m)v1
体棒
对导
a，根据
量定理有－
动
BLΔt1＝mv1－mv0
而q＝Δt1＝＝
体棒
对导
a，根据
能定理
动
mgh＝mv
解得Δx＝
若要使
体棒
导
a、b 不能
生碰撞，
体棒
发
导
a 开始运
与
体棒
动时
导
b 之
的距
间
离
足的条件是
应满
x>。
(2)因
体棒
为导
a 开始运
与
体棒
动时
导
b 之
的距离
间
x0＝<
所以
体棒
导
a、b 将
生碰撞，
体棒
发
设导
a 与
体棒
导
b 碰撞前瞬
的速度
间
为v2，
体棒
导
b、c 的速度大小均为v3，
根据
量守恒定律得
则
动
mv0＝mv2＋(m＋2m)v3
根据
量定理有－
动
BLΔt2＝mv2－mv0
而q＝Δt1＝＝
解得v2＝
v3＝
此
程根据能量守恒，系
生的
量
过
统产
总热
为Q 总1＝mv－mv－(m＋2m)v＝mgh
此
程
过
a 棒
源，
为电
bc 棒
用
器，
为
电
则c 棒
生的
量
产
热
为
Q1＝××Q 总1＝＝mgh
体棒
设导
a 与
体棒
导
b 碰撞粘在一起后瞬
的速度
间
为v4，
根据
量守恒定
则
动
律可得mv2＋mv3＝2mv4
解得v4＝
碰撞
程
失的能量
过
损
ΔE＝mv＋mv－·2mv
体棒
导
a、b 整体与
体棒
导
c 通
安培力
生作用，
体棒
过
发
设导
a、b、c 的最
共
终
同速度为v5，
根据
量守恒定律可得
则
动
2mv4＋2mv3＝4mv5
解得v5＝
此
程根据能量守恒，系
生的
量
过
统产
总热
为Q 总2＝·2mv＋·2mv－(m＋m＋
2m)v＋ΔE
整理可得Q 总2＝mgh
此
程
过
ab 棒
源，
为电
ab 棒的
阻
总电
为Rab＝＝，c 棒
用
器，
为
电
则c 棒
生的
产
热
量为Q2＝×Q 总2＝＝mgh，c 棒在全
程中
生的焦耳
过
产
热为Q＝Q1＋Q2＝mgh。
