45.数学归纳法的原理与应用
一．基本原理
1、数学归纳法适用的范围：关于正整数
的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则
n
可以考虑使用数学归纳法进行证明
2.第一数学归纳法：通过假设
成立，再结合其它条件去证
成立即可。证明
n
k
1
n
k
的步骤如下：
（1）归纳验证：验证
（
是满足条件的最小整数）时，命题成立
0
n
n
0n
（2）归纳假设：假设
成立，证明当
时，命题也成立
0,
n
k k
n n
N
1
n
k
（3）归纳结论：得到结论：
时，命题均成立
0,
n
n n
N
3.第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设
命题成立时，可用
n
k
的条件只有
，而不能默认其它
的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法
n
k
n
k
的补充，将归纳假设扩充为假设
，命题均成立，然后证明
命题成立。可使
n
k
1
n
k
用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证
（
是满足条件的最小整数）时，命题成立
0
n
n
0n
（2）归纳假设：假设
成立，证明当
时，命题也成立
0,
n
k k
n n
N
1
n
k
（3）归纳结论：得到结论：
时，命题均成立
0,
n
n n
N
二．典例分析
例1．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列
满足如下三个性质，则称
为
na
na
数列：
p
①
，且
；
1
0
a
p
2
0
a
p
②
；
4
1
4 ,
1,2,
n
n
a
a
n
(
)
③
，
．
,
1
m n
m
n
m
n
a
a
a
p a
a
p
,
1,2,
m n
（1）如果数列
的前4 项为2，-2，-2，-1，那么
是否可能为
数列？说明理由；
na
na
2
（2）若数列
是
数列，求
；
na
0
5a
（3）设数列
的前
项和为
.是否存在
数列
，使得
恒成立？如果存
na
n
n
S
p
na
10
n
S
S
在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
解析：因为
所以
，因为
所以
1
2
2,
2,
2,
p
a
a
1
2
1
2
2,
1
3
a
a
p
a
a
p
3
2,
a
所以数列
，不可能是
数列.
3
1
2
1
2
2,
2 1
a
a
a
a
a
na
2
(2)性质①
，由性质③
，因此
或
，
或
1
2
0,
0
a
a
2
,
1
m
m
m
a
a
a
3
1
a
a
3
1
1
a
a
4
0
a
，
4
1
a
若
，由性质②可知
，即
或
，矛盾；若
，由
4
0
a
3
4
a
a
1
0
a
1
1
0
a
4
3
1
1,
1
a
a
a
有
，矛盾.因此只能是
.又因为
或
，所以
3
4
a
a
1
1
1
a
4
3
1
1,
a
a
a
4
1
3
a
a
a
4
1
3
1
a
a
a
或
.若
，则
，不满
1
1
2
a
1
0
a
1
1
2
a
2
1 1
1
1
1
1
1
1
0,
0 1
2 ,2
1
1,2
a
a
a
a
a
a
a
a
足
，舍去. 当
，则
前四项为:0，0，0，1，
2
0
a
1
0
a
na
下面用数学归纳法证明
：
4
4
4
(
1,2,3),
1
n i
n
a
n i
a
n
n
N
当
时，经验证命题成立，假设当
时命题成立，
0
n
(
0)
n
k k
当
时：
1
n
k
若
，则
，利用性质③：
1
i
4
5
4
1
1
4
5
k
k
j
k
j
a
a
a
，此时可得：
；
*
4
5
,1
4
4
{ ,
1}
j
k
j
a
a
j
N
j
k
k k
∣
4
5
1
k
a
k
否则，若
，取
可得：
，而由性质②可得：
，与
4
5
k
a
k
0
k
5
0
a
5
1
4
1,2
a
a
a
5
0
a
矛盾.同理可得：
，有
；
*
4
6
,1
4
5
{ ,
1}
j
k
j
a
a
j
N
j
k
k k
∣
4
6
1
k
a
k
，有
；
*
4
8
,2
4
6
{
1,
2}
j
k
j
a
a
j
N
j
k
k
k
∣
4
8
2
k
a
k
，又因为
，有
*
4
7
,1
4
6
{
1}
j
k
j
a
a
j
N
j
k
k
∣
4
7
4
8
k
k
a
a
4
7
1.
k
a
k
即当
时命题成立，证毕.综上可得：
，
.
1
n
k
1
0
a
5
4 1 1
1
a
a
(3)令
，由性质③可知：
n
n
b
a
p
*
,
,
m n
m n
m n
N
b
a
p
，
,
1
m
n
m
n
a
p
a
p a
p
a
p
,
1
m
n
m
n
b
b b
b
由于
，
1
1
2
2
4
1
4
1
4
4
0,
0,
n
n
n
n
b
a
p
b
a
p
b
a
p
a
p
b
因此数列
为
数列.由（2）可知:若
；
nb
0
4
4
4
,
(
1,2,3),
1
n i
n
n
N a
n
p i
a
n
p
，
，
11
1
11
4
0
2 3
2
0
a
S
S
a
p
9
10
10
4 2 2
(2
)
0
S
S
a
a
p
因此
，此时
，
，满足题意.
2
p
1
2
10
,
,
,
0
a a
a
0
11
ja
j
例2．（2015 年湖北省高考题）已知数列
的各项均为正数，
，
{
}
na
1
(1
)
(
)
n
n
n
b
n
a
n
n
N
e 为自然对数的底数．
（1）求函数
的单调区间，并比较
与e 的大小；
( )
1
ex
f x
x
1
(1
)n
n
（2）计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出证明；
1
1
b
a
1 2
1
2
b b
a a
1 2
3
1
2
3
b b b
a a a
1 2
1
2
n
n
b b
b
a a
a
（3）令
，数列
，
的前
项和分别记为
,
,证明：
．
1
1
2
(
)n
n
n
c
a a
a
{
}
na
{ }
nc
n
n
S
nT
e
n
n
T
S
解析：（1）
的定义域为
，
．当
，即
时，
单
( )
f x
(
,
)
( )
1
ex
f
x
( )
0
f
x
0
x
( )
f x
调递增；当
，即
时，
单调递减．故
的单调递增区间为
，单
( )
0
f
x
0
x
( )
f x
( )
f x
(
,0)
调递减区间为
．当
时，
，即
．令
，得
(0,
)
0
x
( )
(0)
0
f x
f
1
ex
x
1
x
n
1
1
1
en
n
，即
．①
1
(1
)
e
n
n
（2）
；
；
1
1
1
1
1 (1
)
1 1
2
1
b
a
2
2
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2 2(1
)
(2
1)
3
2
b b
b
b
a a
a
a
．由此推测：
．②
2
3
3
3
1 2
3
3
1 2
1
2
3
1
2
3
1
3
3(1
)
(3
1)
4
3
b b b
b
b b
a a a
a a
a
1 2
1
2
(
1)n
n
n
b b
b
n
a a
a
下面用数学归纳法证明②．当
时，左边
右边
，②成立．
1
n
2
假
设
当
时
，
②成
立
，
即
．
当
时
，
n
k
1 2
1
2
(
1)k
k
k
b b
b
k
a a
a
1
n
k
，
由
归
纳
假
设
可
得
1
1
1
1
(
1)(1
)
1
k
k
k
b
k
a
k
．
1
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1
1
2
1
1
(
1) (
1)(1
)
(
2)
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b b
b b
b b
b
b
k
k
k
a a
a a
a a
a
a
k
所以当
时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．
1
n
k
（3）由
的定义，②，算术-几何平均不等式，
的定义及①得
nc
nb
1
2
3
n
n
T
c
c
c
c
1
1
1
1
3
1
2
1
1
2
1
2
3
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)n
n
a
a a
a a a
a a
a
1
1
1
1
3
1
2
1 2
3
1 2
1
1 2
(
)
(
)
( )
(
)
2
3
4
1
n
n
b b b
b b
b
b
b b
n
1
2
3
1
2
1
1
2
1 2
2
3
3
4
(
1)
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
n n
1
2
1
1
1
1
1
1
1
[
]
[
]
1 2
2
3
(
1)
2
3
3
4
(
1)
(
1)
n
b
b
b
n n
n n
n n
1
2
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
1
2
1
1
n
b
b
b
n
n
n
n
，即
1
2
1
2
nb
b
b
n
1
2
1
2
1
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
1
2
n
n
a
a
a
n
1
2
e
e
e
n
a
a
a
e
n
S
．
e
n
n
T
S
例3.（2014 年安徽省高考真题）设实数
，整数
0
c
1,
p
n
N
（1）证明：当
且
时，
1
x
0
x
1
1
p
x
px
（2）数列
满足
，求证：
na
1
1
1
1
1
,
p
p
n
n
n
p
c
a
c
a
a
a
p
p
1
1
p
n
n
a
a
c
解析：（1）用数学归纳法证明：当
时，
，原不等式
2
p
2
2
1
1
2
1
2
x
x
x
x
成立，假设
时，不等式成立，即
，则
时，
2,
p
k k
k
N
1
1
k
x
kx
1
p
k
，
所
以
1
2
1
1
1
1
1
1
1
k
k
x
x
x
x
kx
k
x
kx
1
1
k
x
时，不等式成立，
时，
.
1
p
k
2,
p
p
N
1
1
p
x
px
（2）用数学归纳法证明
，当
时，
，假设
，命题
1
p
na
c
1
n
1
1
p
a
c
1,
n
k k
k
N
成立，即
，则
时，
1
p
ka
c
1
n
k
1
1
1
p
k
k
k
p
c
a
a
a
p
p
1
1
1
1
1
p
k
k
p
k
k
a
p
c
c
a
a
p
p
p a
由（1）可得：
1
1
1
1
1
1
1
p
p
k
p
p
p
k
k
k
k
a
c
c
c
p
a
p a
p a
a
即
，
时，命题成立，
时，
1
1
p
p
k
k
p
p
k
k
a
c
a
c
a
a
1
1
p
ka
c
1
n
k
1,
n
n
N
1
p
na
c
下面证明：
，考虑
1
n
n
a
a
1
1
1
1
n
p
n
n
a
c
a
p a
1
1
0
p
p
n
n
p
n
c
a
c
a
c
a
，
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
1
1
p
n
n
a
a
c
例4.将数列
从首项开始从左到右依次排列，得到数组
，
，
，…，
，然后执行
na
1a
2a
3a
na
以下操作：将
移到
右侧，然后剔除
，再将
移到
右侧，然后剔除
，继续以上操
1a
na
2a
3a
1a
4a
作，即将最左边的数移到最右边，然后剔除新数组最左边的数，直到剩下最后一个数
．若令此操作为
，则
，且确定
的值可确定的值，如
(1
)
ia
i
n
( )
J n
( )
(1
)
J n
i
i
n
n
i
，
，
．
(1)
1
J
(2)
1
J
(5)
3
J
（1）证明：
；
*
(2 )
2 ( )
1
N
J
k
J k
k
（2）证明：
；
2
1(
N)
t
J
t
（3）若
，证明：
．
2
0,
N,0
2
m
m
n
r m
m
r
( )
2
1
J n
r
解析：（1）不妨令
，根据题意，把数列
，经过
次操作后，变成
,
N
ka
k k
1,2,3,
,2n
n
，即第项为
，所以
.
1,3,5,
,2
1
n
i
2
1
i
*
(2 )
2 ( )
1
N
J
k
J k
k
（2）当
时，
成立，假设
成立，即
，
1
t
12
2
1
J
J
1
k
t
1
2
2
1
k
t
J
J
当
时，可得
，综上可得，对于
，都有
k
t
1
1
2
2
2 2
2
2
1
1
k
t
t
t
J
J
J
J
N
t
.
2
1
t
J
（3）若
时，结论显然成立，假设结论对
成立，现在考虑实数
，若为偶数，
0
m
1
m
m
r
则
，结论成立；若为奇数，则
1
2
2
2 (2
) 1
2(
1) 1
2
1
2
2
m
m
r
r
J
r
J
r
r
，经过
次操作变成
，再经过
次操
1,2,3,
,2m
r
2m
2
1,2
2,
2
,1,3,5,
,2
1
m
m
m
m
r
1
r
作，变成
，这里由有
个数，第位是
，所以
3,5,
,2
2,2
m
m
r
r
1
1
2
2
m
r
i
2
1
i
，所以，结论对于
成立，
1
1
2
1
(2
)
2 (2
) 1
2 (2
1) 1
2
1
2
r
m
m
r
J
r
J
r
m
综上可得，当
时，
成立．
2
0,
N,0
2
m
m
n
r m
m
r
( )
2
1
J n
r
例5．（2024 年河北唐山高三二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个
给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当
（
）时命题成立；2．假设
（
，且
）时命题成立，推导出在
0
n
n
0n N
n
k
k N
0
k
n
时命题也成立．用模取余运算：
表示“整数
除以整数
，所得余数为
1
n
k
mod
a
b
c
a
b
整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即
，整数是商．如
c
a
b r
c
r
，则
；再如
，则
．当
时，则称
整
7
3 2 1
7mod3
1
3
7 0
3
3mod7
3
mod
0
a
b
b
除
．现从序号分别为
，
，
，
，…，
的
个人中选出一名幸运者，为了增加
a
0a
1a
2a
3a
na
1
n
趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到
（
m
）时，此人退出圆环；直到最后剩1 个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下
2
m
标记为
．如
表示当只有1 个人时幸运者就是
；
表示当有
1,
f n
m
1,
0
f
m
0a
6,2
4
f
6 个人而
时幸运者是
；
表示当有6 个人而
时幸运者是
．
2
m
4a
6,3
0
f
3
m
0a
（1）求
；
10mod3
（2）当
时，
，求
；当
时，解释上述
1
n
1,
,
mod
1
f n
m
f n m
m
n
5,3
f
n
m
递推关系式的实际意义；
（3）由（2）推测当
（
）时，
的结果，并用数学归纳法证
1
2
1
2
k
k
n
k N
1,2
f n
明．
解析：（1）因为
，所以
．
10
3 3 1
10mod3
1
（2）因为
，且
，所以
，故
6,3
5,3
3 mod6
0
f
f
5,3
5
f
5,3
3
6
f
．
5,3
3
f
当
时，递推关系式的实际意义：当从
个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号
n
m
1
n
下标为
，而从
个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为
．
1,
f n
m
n
,
f n m
如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，
当然还要重新排序，由于退出来的是
，则原环的
就成了新环的
，
1
m
a
m
a
0a
也就是说原环的序号下标要比新环的大
，原环的
就成了新环的
．
m
na
n m
a
需要注意，新环序号
后面一直到
，如果下标加上
，就会超过
．
n m
a
1
na
m
n
如新环序号
对应的是原环中的
，…，新环序号
对应的是原环中的
．
1
n m
a
0a
1
na
2
m
a
也就是说，得用新环的序号下标加上
再减去
，才能在原环中找到对应的序号，
m
1
n
这就需要用模取余，即
．
1,
,
mod
1
f n
m
f n m
m
n
（3）由题设可知
，由（2）知：
1,2
0
f
；
2,2
1,2
2 mod 2
2mod 2
0
f
f
；
3,2
2,2
2 mod3
2mod3
2
f
f
；
4,2
3,2
2 mod 4
4mod 4
0
f
f
；
5,2
4,2
2 mod5
2mod 4
2
f
f
；
6,2
5,2
2 mod6
4mod6
4
f
f
；
7,2
6,2
2 mod7
6mod7
6
f
f
；
8,2
7,2
2 mod8
8mod8
0
f
f
由此推测，当
（
）时，
．下面用数学归
1
2
1
2
k
k
n
k N
1,2
2
1 mod 2k
f n
n
纳法证明：当
时，
，推测成立；
0
1 1
2
n
0
1,2
0
2 1mod 2
f
假设当
（
，
，且
）时推测成立，即
1
2k
n
t
k N
t N
0
2
k
t
．由（2）知
2
,2
2
2
mod 2
2
k
k
k
f
t
t
t
2
1,2
2
,2
2 mod 2
1
k
k
k
f
t
f
t
t
．
2
2 mod 2
1
k
t
t
（ⅰ）当
时，
；
0
2
1
k
t
2
1,2
2
2
2
2
1 mod 2
k
k
k
f
t
t
t
（ⅱ）当
时，
，此时
，即
2
1
k
t
2
1,2
0
k
f
t
1
2
1
2
k
k
t
．
1
1
1
2
,2
2 2
mod 2
k
k
k
f
故当
时，推测成立．综上所述，当
（
）时，
1
2
1
k
n
t
1
2
1
2
k
k
n
k N
．推测成
1,2
2
1 mod 2k
f n
n
