83.新概念背景下的距离问题与应用

83.新概念背景下的距离问题与应用 
一．基本原理 
★1.欧几里得距离：也称为欧氏距离，是最常见的距离度量方式.在二维平面中，两点
之间的欧几里得距离
. 




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y




2
2
2
1
2
1
( , )
d A B
x
x
y
y




在
维空间中，两点
和
之间的欧几里得距离为 
n


1
2
,
,
,
n
X
x x
x




1
2
,
,
,
n
Y
y y
y


. 


2
1
(
, )
n
i
i
i
d X Y
y
x




★2.曼哈顿距离：在二维平面上，两点
之间的曼哈顿距离 




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
.在
维
空
间
中
，
两
点
和
2
1
2
1
( , )
d A B
x
x
y
y




n


1
2
,
,
,
n
X
x x
x


之间的曼哈顿距离为
，它表示在网格状的空间


1
2
,
,
,
n
Y
y y
y


1
(
, )
n
i
i
i
d X Y
y
x




中，从一点到另一点的最短路径长度，不允许斜向移动. 
★3.切比雪夫距离：二维平面上，两点
之间的切比雪夫距离 




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
.在
维空间中，两点
和


2
1
2
1
( , )
max
,
d A B
x
x
y
y



n


1
2
,
,
,
n
X
x x
x


之间的切比雪夫距离为
. 


1
2
,
,
,
n
Y
y y
y




1
(
, )
max
i n
i
i
d X Y
y
x



★4. 闵可夫斯基距离：它是欧几里得距离，曼哈顿距离等的一般化形式. 
对于
维空间中的两点
和
，闵可夫斯基距离定义为
n


1
2
,
,
,
n
X
x x
x




1
2
,
,
,
n
Y
y y
y


，其中
.当
时，就是曼哈顿距离；当
时，就是
1
1
(
, )
n
p
p
i
i
i
d X Y
y
x










1
p 
1
p 
2
p 
欧几里得距离；当
时，就是切比雪夫距离. 
p 
★5.豪斯多夫距离 
设
和
是度量空间
中的两个非空子集，豪斯多夫距离
定义为： 
A
B
(
, )
X d
( , )
H
d
A B
 
 


( , )
max supinf
( , ),supinf
( , )
H
b B
a A
a A
b B
d
A B
d a b
d a b





通俗地说，豪斯多夫距离是从集合
中的点到集合
中的点的距离的上确界与从集合
中
A
B
B
的点到集合
中的点的距离的上确界两者中的较大值. 
A
★6.其他泛函距离 
对平面直角坐标系中两个点
和
，记


1
1
1
,
P x y


2
2
2
,
P x
y
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
max
,
1
1
t
x
x
y
y
PP
x
x
y
y

















，称
为点
与点
之间的“
距离”，其中
表示
中较大者． 
1
2 t
PP
1P
2P
t 


max
,p q
,p q
二．典例分析 
例1．已知实数
满足
，则
的最小值为_______. 
,x y
2
2
4
x
y






2
2
2
2
2
1
1
x
y
x
y





解析：因为
，所以
 
2
2
4
x
y


2
2
2
2
2
2
2
2
2 (
1)
4(
1)
4
8
3
3
4
x
y
x
y
x
y
x
x
y











，则
2
2
2
2
8
16
(
4)
x
y
x
x
y







，相当于圆
上的任一








2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4
1
x
y
x
y
x
y
x
y











2
2
4
x
y


点
到点
与
的距离之和，如图， 


,
P x y


4,0
A


0,1
B
 
因为
，当
在线段
与圆的交点
处时，
即为所求，所以所求最小
PA
PB
AB


P
AB
0P
AB
值为
.故答案为：
. 
2
2
4
1
17
AB 


17
例2．已知实数
，且函数
，则函数
0,
a
b

R


2
2
2
2
( , )
(
2 )
4 ln
2
f a b
a
b
a
b
b





( , )
f a b
的最小值为___________． 
解析：由题意得
，设
，
， 
2
2
2
2
( , )
(
2 )
(2ln
2
)
2
f a b
a
b
a
b
b





( ,2ln )
A a
a
2
(2 ,2
)
B
b
b
则点
在曲线
上，点
在抛物线
上，
的几何意义为
，
两点间距
A
2ln
y
x

B
2
2
x
y

( , )
f a b
A
B
离
与点
到
轴的距离
之和．设抛物线
的焦点为
，则由抛物线的定
|
|
AB
B
x
d
2
2
x
y

1
(0, )
2
F
义知
，所以
，所以
， 
1
|
|
2
BF
d


1
|
|
2
d
BF


1
1
( , )
2
2
f a b
AB
d
AB
BF
AF







问题转化为求曲线
上的点到点
 的距离的最小值，设曲线
上的点
，
2ln
y
x

F
2ln
y
x

0
0
(
A x
到点
的距离最小，则
与曲线在点
处的切线垂直， 
0
2ln
)
x
1
(0, )
2
F
0
A F
0A
即
，所以
，作出函数
与函数
的图象，如
0
0
0
1
2ln
2
2
1
0
x
x
x




2
0
0
1
1
ln
4
4
x
x


ln
y
x

2
1
1
4
4
y
x


图所示： 
 
由图象知，两函数图象只有一个交点
，所以方程
的解为
，则
(1,0)
2
0
0
1
1
ln
4
4
x
x


0
1
x 
． 
0(1,0)
A
所以
，所以函数
的最小值为
． 
2
2
0
1
5
(1 0)
(0
)
2
2
AF
A F






( , )
f a b
5
1
2

故答案为：
． 
5
1
2

例3．闵氏距离（
）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设
Minkowski distance
点
、
坐标分别为
，
，则闵氏距离
A
B


1
1
,
x
y


2
2
,
x
y
.若点
、
分别在
和
的图像上，





1
1
2
1
2
,
N*
p
p
p
p
D
A B
x
x
y
y
p





A
B
ex
y 
1
y
x


则
的最小值为（    ） 


,
p
D
A B
A．
 B．
 
C．
 D．
 
12
p
2 p
1 p
e
p
e
解析：由题意得，设
，因为点A、B 分别在函数
和
的图
1
1
2
2
( ,e ), (
,
1)
x
A x
B x x 
ex
y 
1
y
x


象上，所以
， 
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
( , )
(
e
1 )
(
)
(e
1)
(
e
1)
p
p
p
p
p
x
x
x
p
D
A B
x
x
x
x
x
x
x













当且仅当
时等号成立.设
，
，则
1
1
2
2
(
)(e
1)
0
x
x
x
x




( )
e
1
x
g x
x



( )
e
1
x
h x
x



，令
，
，所以函数
在
上单调递
( )
1 ex
h x 

( )
0
0
h x
x




( )
0
0
h x
x




( )
h x
(
,0)

增，在
上单调递减，所以
，即
，所以
(0,
)

max
( )
(0)
2
h x
h


( )
2
h x 
， 
( )
( )
( )
2
g x
h x
h x



即
，所以
的最小值为
.故选：A. 
1
( , )
2 p
p
D
A B 
( , )
p
D
A B
1
2 p
例4．在平面直角坐标系中，定义
为两点
，




1
2
1
2
,
max
,
d A B
x
x
y
y





1
1
,
A x y
的“切比雪夫距离”，又设点
及直线上任意一点
，称
的最小值为点


2
2
,
B x
y
P
l
Q


,
d P Q
P
到直线的“切比雪夫距离”，记作
，则下列命题中正确的是（    ） 
l


,
d P l
A．
，
，则
 
1
2, 6
M 






4 , 1
3
N 









7
,
6
d M N 
B．
为坐标原点，动点
满足
，则
的轨迹为圆 
O
R


,
1
d O R 
R
C．对任意三点
、
、
，都有
 
A
B
C






,
,
,
d C A
d C B
d A B


D．已知点
和直线：
，则
 


1,3
P
l
2
1
0
x
y




4
,
3
d P l 
解析：对于选项A：若
，
，则
， 
1
2, 6
M 






4 , 1
3
N 









4
2 1
7
2
,
1
3
3 6
6










因为
，所以
，故A 正确； 
2
7
3
6



7
,
6
d M N 
对于选项B：设
，若
，则
，且等号至少有一个成立， 


,
R x y


,
1
d O R 
1
1
x
y





可得
的轨迹如图所示，为正方形，故B 错误； 
R
 
对于选项C：设
，则
1
1
2
2
3
3
( ,
), (
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
C x
y




1
3
1
3
3
2
3
2
( ,
)
( ,
)
max
,
max
,
d A C
d C B
x
x
y
y
x
x
y
y







1
3
3
2
1
2
x
x
x
x
x
x






， 
同理可得
，所以
1
2
( ,
)
( , )
d A C
d C B
y
y



，故C 正确；凌晨讲数学 


1
2
1
2
( ,
)
( ,
)
max
,
( ,
)
d A C
d C B
x
x
y
y
d A B





对于选项D：设
为直线
上一点，则
， 
( ,2
1)
Q x
x 
: 2
1
0
l
x
y




( ,
)
max
3 , 2
2
d P Q
x
x



当
，即
时，则
，可知当
时，取得最小值
； 
3
2
2
x
x



5
1
3
x


( ,
)
3
d P Q
x


5
3
x 
4
3
当
，即
或
，则
，无最小值；综上可得：
3
2
2
x
x



5
3
x 
1
x 
4
( ,
)
2
2
3
d P Q
x



，故D 正确；故选：ACD. 
4
( , )
3
d P l 
例5.（江苏省苏北七市州2025 届高三一模）．在平面直角坐标系
中，设
，
xOy


1
1
,
A x y
，定义：
．若
，且
，则下列结论正确的


2
2
,
B x
y


1
1
2
1
2
n
n
n
n
AB
x
x
y
y




*
,
N
s t 
s
t

是（    ） 
A．若
关于x 轴对称，则
 
,
A B
s
t
AB
AB

B．若
关于直线
对称，则
 
,
A B
y
x

s
t
AB
AB

C．若
，则
 
2
s
s
OA
OB

2
t
t
OA
OB

D．若
，
，则
 


1
s
P
M
AM




1
t
Q
M
AM


P
Q

解析：对于A，因为
关于x 轴对称，且
，
， 所以
，而
,
A B


1
1
,
A x y


2
2
,
B x
y


1
1
,
B x
y

，得到


1
1
2
1
2
n
n
n
n
AB
x
x
y
y




，同理




1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
(
)
( 2
)
2
s
s
s
s
s
s
s
s
AB
x
x
y
y
y
y
y
y








，即此时满足
，故A




1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
(
)
( 2
)
2
t
t
t
t
t
t
t
t
AB
x
x
y
y
y
y
y
y








s
t
AB
AB

正确， 
对于B，因为
关于直线
对称，且
，
，所以
，则
,
A B
y
x



1
1
,
A x y


2
2
,
B x
y


1
1
,
B y x
， 




1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
s
s
s
s
s
s
s
AB
x
x
y
y
x
x
x
x








，构造
，由指数函数性质得




1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
t
t
t
t
t
t
t
AB
x
x
y
y
x
x
x
x








( )
2x
f x 
在
上单调递增，
，因为
，且
，所以
，得到
( )
f x
R
s
t
AB
AB

*
,
N
s t 
s
t

1
1
s
t

1
1
( )
( )
f
f
s
t

， 
则
，得到
，即
，则
，故B 正确， 
1
1
2
2
s
t

1
1
1
2
1
2
2
2
s
t
x
x
x
x



s
t
AB
AB

s
t
AB
AB

对于C，由题意得
，
，因为
，所以


1
1
1
s
s
s
s
OA
x
y




1
2
2
s
s
s
s
OB
x
y


2
s
s
OA
OB

，得到
，令




1
1
1
1
2
2
2
s
s
s
s
s
s
x
y
x
y





1
1
2
2
2
2
2
2
2
s
s
s
s
s
s
s
x
y
x
y
x
y





，符合题意，此时
， 
1
2
1
1
2
s
x
x
y
y






1
1
1
1
1
2
2
2
2
2 2
t
t
t
t
t
t
t
t
OA








而
，则
，由已知得
，则
，故C 错
1
1
1
2
2
t
t
s
s
t
OB










1
1
1
2
2
2 2
s
s
t
OB




1
1
2
2
s
t

2
t
t
OB
OA

误， 
对于D，设
，
，则
，则
( , )
M x y
P

0
0
(
,
)
A x
y


1
0
0
1
s
s
s
s
AM
x
x
y
y





，同理可得
，得到
，
0
0
1
s
s
x
x
y
y






1
0
0
||
||
1
t
t
t
t
AM
x
x
y
y





0
0
1
t
t
x
x
y
y




而
， 


0
0
,
0,1
s
s
x
x
y
y



得到
，则
，即此时满足题意，则
0
0
0
0
1
s
s
t
t
x
x
y
y
x
x
y
y








( , )
M x y
P

，得到
，故D 正确.凌晨讲数学 
( , )
Q x y
P

P
Q

故选：ABD 
例6．在平面直角坐标系中，若定义两点
和
之间的“ 距离”为


1
1
1
,
A x y


2
2
2
,
A
x
y
t
，其中
表示
中的较大者，则点
与
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
max
,
1
1
t
x
x
y
y
A A
x
x
y
y

















max{ , }
p q
,p q
1(0,0)
A
点
之间的“ 距离”为_________.若平面内点
和点
之间的“ 距离”为
，
2(2,3)
A
t
( , )
A x y
0(1,1)
A
t
1
2
则
点的轨迹围成的封闭图形的面积为___________. 
A
解析：点
与点
之间的“t 距离”为 


1 0,0
A


2 2,3
A
；若平面内点
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
2 3
3
max
,
max
,
max
,
1
1
1
2 1 3
3 4
4
t
x
x
y
y
A A
x
x
y
y


































和点
之间的“t 距离”为
，则
， 


,
A x y


0 1,1
A
1
2
0
1
1
1
max
,
1
1 1
1
2
t
x
y
AA
x
y


















不妨设
，解得
或
，此时
，即
， 
0
1
1
1
1
2
t
x
AA
x





0
x 
2
x 
1
1
1
1
2
y
y




0
2
y


由对称性可知，当
或
时，
，如图所示： 
0
y 
2
y 
0
2
x


 
 
 
，所以A 点的轨迹就是正方形
的四条线段，则A








0,0 ,
2,0 ,
2,2 ,
0,2
O
B
C
D
OBCD
点的轨迹围成的封闭图形的面积为
.故答案为：
；4. 
2 2
4


3
4
例7．在平面直角坐标系
中，过椭圆
外一动点
作
的两条切线
，且
xOy
2
2
:
1
2 

x
E
y
P
E
1
2
,l l
. 
1
2
l
l

（1）求动点
的轨迹
的方程； 
P
C
（2）对于给定非空点集
，若
中的每个点在
中都存在一个与它之间距离最小的
,
M N
M
N
点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为
.已知直线与曲线
相交于


,
d M N
l
C
两点，若
分别是线段
和曲线
上所有点构成的集合，
为曲线
上一点，当
,
A B
,
M N
AB
C
Q
C
的面积最大时，求
. 
QAB
A


,
d M N
参考公式，四元均值不等式
，当且仪当
1
2
3
4
4
1
2
3
4
1
2
3
4
,
,
,
0,
4
a
a
a
a
a a a a
a a a a





时取到等号. 
1
2
3
4
a
a
a
a



解析：（1）当
的斜率不存在或者为0 时，由题意可知点
的坐标为
或
1
2
,l l
P


2, 1

； 


2, 1


当切线的斜率存在且不为0 时，设过
作椭圆的切线的斜率为
，则切线



1
1
1
,
2
P x y
x 
k
的方程为
，将其与椭圆方程联立，并化简得



1
1
0
y
y
k x
x
k




由题意得凌晨讲数学，




2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
4
2
4
2
2
0
k
x
k kx
y
x
k x
kx y
y








，设
的斜率分别为
，则
是上式的两个根，且


2
2
2
1
1
1
1
Δ
2
2
1
0
x
k
x y k
y





1
2
,l l
1
2
,
k k
1
2
,
k k
，所以
，则
，又
，则
，即
1
2
k
k

1
2
x 
2
1
1
2
2
1
1
2
y
k k
x



1
2
1
k k 
2
1
2
1
1
1
2
y
x



， 


2
2
1
1
1
3
2
x
y
x



注意到
，
均满足方程，则动点
的轨迹
的方程为
； 


2, 1



2, 1


P
C
2
2
3
x
y


（2）过圆心
作直线
的垂线，垂足为
，设
，则
， 
O
AB
E


,
0, 3
OE
d d


2
2 3
AB
d


由题意
， 






2
3
1
1
3
3
2 3
(
3)
3
2
2
QAB
S
d
AB
d
d
d
d










A
又
， 







4
3
1
1 6 3
243
(
3)
3
3
3
3
3 3
3
3
3
4
16
d
d
d
d
d
d

















当且仅当
，即
时，等号成立，此时
，对于线段
3
3 3
3
d
d



3
2
d 

max
9 3
4
QAB
S

A
上的任何一个点
，曲线
上与
距离最近的点为射线
与圆的交点，距离的最小值
AB
T
C
T
OT
为
，又因为
，所以
，由题意得，
3
OT

OT
d

3
3
3
2
OT
d




. 


3
,
3
2
d M N
d



 
三．习题演练 
1．闵可夫斯基距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为
和


1
2
,
,
,
n
A
a a
a


，这两组数据间的闵氏距离定义为
，其中
表示阶


1
2
,
,
,
n
B
b b
b


1
1
( )
n
q
q
AB
k
k
k
d
q
a
b










q
数． 则下列说法正确的有（    ） 
A．若
，则
； 
(1,2,3,4),
(0,3,4,5)
A
B


(1)
4
AB
d

B．若
，其中
，则
； 
( ,
1),
(
1, )
A
a a
B
b
b




,a bR
(1)
2
(2)
AB
AB
d
d

C．若
，其中
，则
的最小值为
． 


,
,
( ,
1)
a
A
a e
B
b b



,a bR
(2)
AB
d
2
D．若
，其中
，则
； 
( , ),
( , )
A
a b B
c d


, , ,
a b c d R
(1)
(2)
AB
AB
d
d

3．（安徽省合肥市2024 届高三二模）在平面直角坐标系
中，定义
xOy
为
两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆


1
2
1
2
,
d A B
x
x
y
y








1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，点
在椭圆
上，
轴.点
满足
.若直线
2
2
:
1
2
x
C
y


,
,
P Q R
C
PQ
x

,
M N
,
2
RM
MP PN
NQ





与
的交点在
轴上，则
的最大值为________. 
MQ
NR
x


,
d R Q
在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点
和
，记
，称
为点
与点
之


1
1
1
,
P x y


2
2
2
,
P x
y
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
max
,
1
1
t
x
x
y
y
PP
x
x
y
y

















1
2 t
PP
1P
2P
间的“
距离”，其中
表示
中较大者． 
t 


max
,p q
,p q
（1）计算点
和点
之间的“
距离”； 


1,2
P


2,4
Q
t 
（2）设
是平面中一定点，
．我们把平面上到点
的“
距离”为的所有点


0
0
0
,
P x
y
0
r 
0P
t 
r
构成的集合叫做以点
为圆心，以为半径的“
圆”．求以原点
为圆心，以
为半径的
0P
r
t 
O
1
2
“
圆”的面积； 
t 
（2）证明：对任意点
． 






1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
3
1
2
2
3
,
,
,
,
,
,
t
t
t
P x y
P
x
y
P x
y
PP
PP
P P


 
 
 
 
 
参考答案        
 
1. 解析：对于A：
，故A 正确． 
1
1 0
2
3
3
4
4
5
4
AB
d









对于B：
，
， 
1
2
1
AB
d
a
b




2
2
1
AB
d
a
b



所以
，故B 正确． 
(1)
2
(2)
AB
AB
d
d

对于C：构造函数
，
， 

ex
f x 

1
g x
x


则
的最小值即两曲线动点间的最小距离， 

2
AB
d
由
，得
，且
， 
0
0
(
)
e
1
x
f
x



0
0
x 

0
1
f

所以
斜率为1 的切线方程为
， 

ex
f x 
1
y
x


直线
到
的距离为
， 
1
y
x


1
y
x


2
所以两曲线动点间的最小距离为
，故C 正确． 
2
对于D：
，
， 
1
AB
d
a
c
b
d









2
2
2
AB
d
a
c
b
d




不妨设
，
，因为
，所以
， 
a
c
M


b
d
N


0,
0
M
N


2
0
MN 
所以
，所以
， 
2
2
2
2
2
M
N
MN
M
N




2
2
2
(
)
M
N
M
N



所以
，则
，故D 错误． 
2
2
M
N
M
N



(1)
(2)
AB
AB
d
d

故选：ABC 
2.解析：设
,由题意
，
； 




1
1
2
2
,
,
,
P x y
R x
y


1
1
,
Q x
y

1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
M








不妨设点
位于第一象限，由
可得
, 
P
2
PN
NQ



1
1
,
3
y
N x







设直线
与
的交点为
，则有
,
; 
MQ
NR


,0
T t
//
QT
MQ


//
RT
RN


， 


1
1
2
1
2
1
3
,
,
,
2
2
y
QT
t
y
M
x
x
y
x
Q














由
可得
，整理得
①； 
//
QT
MQ




1
2
1
2
1
1
3
2
2
y
t
y
x
y
x
x

















2
1
1
2
1
2
1
1
2
3
t
x
x
y
y
x y
y
y




， 


1
2
2
1
2
2
,
,
,
3
y
R
x
T
R
x
t
y
N
y
x















由
可得
，整理得
②； 
//
RT
RN






1
2
2
2
1
2
3
y
t
y
y
x
x
x











2
1
2
2
1
1
3
3
t
x
y
x
y
y
y



联立①②可得
，由题意
，所以
， 




1
2
1
1
2
2
1
2
x
x
y y
x
x
y



1
2
1
,
0
x
x
y


1
2
y
y

由椭圆的对称性可知
，
， 
1
2
x
x



1
2
1
2
1
1
,
2
2
d R Q
x
x
y
y
x
y






因为
，设
，
， 
2
2
1
1
1
2
x
y


1
1
2 cos
,
sin
x
y




π
0, 2







，其中
；所以当


1
1
,
2
2
2 2 cos
2sin
d R Q
x
y








2 3sin 



t an
2

时，
取到最大值
.故答案为：
 
π
2






,
d R Q
2 3
2 3
3.解析：（1）由定义知，
； 
1 2
2
4
1 2
2
|
|
max
,
max
,
1
1 2 1
2
4
2 3
3
t
PQ

























（2）设
是以原点
为圆心，以
为半径的-圆上任一点，则


,
P x y
O
1
2
t
． 
1
max
,
1
1
2
x
y
x
y












若
，则
； 
1
1
1
2
y
x
y
x




1
1
x
y





若
，则有
． 
1
1
1
2
x
y
x
y




1
1
y
x





由此可知，以原点
为圆心，以
为半径的“
圆”的图形如下所示： 
O
1
2
t 
则“
圆”的面积为
. 
t 
2 2
4


   
（3）考虑函数
． 



0
1
t
f t
t
t



因为
，所以
在
上单调递增． 

2
1
0
(1
)
f
t
t





f t


0, 

又
， 
1
3
1
2
2
3
x
x
x
x
x
x





于是
 
1
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x























， 
1
2
2
3
1
2
2
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x








同理，
． 
1
3
1
2
2
3
1
3
1
2
2
3
1
1
1
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y











不妨设
， 
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
y
y
x
x
y
y
x
x







则
 
1
3
1
2
2
3
1
3
1
3
1
2
2
3
1
1
1
t
x
x
x
x
x
x
PP
x
x
x
x
x
x












 
1
2
1
2
2
3
2
3
1
2
1
2
2
3
2
3
max
,
max
,
1
1
1
1
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y

































