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艺体生专项训练6 回归分析与独立性检验
建议用时：40 分钟
参考公式：
经验回归方程
，其中
公式①
．公式②
相关系数
．
一、多选题
1．已知某AI 软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI 写作软件，现将该软件上
市后的月份
以及每个月获得的利润
（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根
据表中数据，得到经验回归方程
，则（ ）
月份
1
2
3
4
5
利润
5
8
10
12
15
A．
B．可以估计每增加1 个月份，月利润提高
2.8 万元
C．可以估计10 月份的利润为26.8 万元
D．5 月份利润的残差为0.4 万元
【答案】AC
【分析】由回归方程过样本中心点即可求解
判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分
析求解判断BCD.
【详解】依题意
，
，
将
代入
中，解得
，故A 正确；
可以估计每增加1 个月份，月利润提高2.4 万元，故B 错误；
将
代入
中，得到
，故C 正确；
将
代入
中，得到
，则所求残差为
，故D 错误.
故选：AC.
2．某科技公司统计了一款APP，最近5 个月的下载量如表所示，若y 与x 线性相关，且经
验回归方程为
，则（ ）
月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y
（万次）
5
4.5
4
3.5
2.5
A．y 与x 负相关
B．
C．预测第6 个月的下载量约为2.1 万次
D．残差绝对值的最大值为0.5
【答案】ABC
【分析】利用回归方程斜率值判断A；求出样本中心点，进而求出
判断B；求出预测值
判断C；求出各残差判断D.
【详解】对于A，由
，得变量
与
负相关，A 正确；
对于B，
，
，
，则
，解得
，B 正确；
对于C，当
时，
，预测第6 个月的下载量约为2.1 万次，C 正确；
对于D，当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，因此残差绝对值的最大值为0.2，D 错
误.
故选：ABC
3．下列说法正确的有（ ）
A．在经验回归方程
中，当解释变量x 每增加1 时，响应变量y 平均减
少2.3
B．在经验回归方程
中，相对于样本点
的残差为
C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D．若两个变量的决定系数
越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好
【答案】BC
【分析】A 选项，解释变量x 每增加1 时，响应变量y 平均减少0.85，A 错误；B 选项，根
据残差的定义得到B 正确；C 选项，根据残差图的意义得到C 正确；D 选项，由决定系数
的定义可知D 错误.
【详解】对于A，因为
，
当解释变量x 每增加1 时，响应变量y 平均减少0.85，故A 错误；
对于B，因为
，
，
所以相对于样本点
的残差为
，故B 正确；
对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故
C 正确；
对于D，由决定系数
的意义可知，
越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果
越好，故D 错误.
故选：BC
4．某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人
的120 位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄
周平均使用时间
超过4 小时
不超过4 小时
总计
不超过40 岁
54
b
72
40 岁以上
c
d
总计
72
120
附：
，
．
（1）当
时，没有充分的证据判断变量A，B 有关联，可以认为变量A，B 是没有
关联的；
（2）当
时，有90%的把握判断变量A，B 有关联；
（3）当
时，有99%的把握判断变量A，B 有关联；
（4）当
时，有99.9%的把握判断变量A，B 有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4 小时的概
率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4 小时
与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4 小时与
年龄有关
【答案】BD
【分析】先补全列联表的未知数值，再通过样本频率验证概率类选项，利用独立性检验的
卡方公式计算统计量，结合临界值判断变量关联程度.
【详解】不超过40 岁且周平均使用时间不超过4 小时的
；
40 岁以上且周平均使用时间超过4 小时的
；
40 岁以上的总计为
，
故40 岁以上且周平均使用时间不超过4 小时的
.
选项A：
，A 错误；
选项B：周平均使用时间超过4 小时的样本数为72，
总样本数120，概率为
，B 正确；
年龄
周平均使用时间
超过4 小时
不超过4 小时
总计
不超过40 岁
54
18
72
40 岁以上
18
30
48
总计
72
48
120
，
因
，
故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4 小时与年龄
有关.
所以C 选项错误，D 选项正确.
故选：BD
二、解答题
5．炎炎夏日，空调已经成为越来越多家庭的必备电器之一.为研究不同性别对空调“最佳
舒适温度”是否要超过
的认同差异，某家电公司随机对280 名空调用户进行了调查，
其中女性用户占调查总人数的一半，该调查数据中只有
的女性用户认为空调“最佳舒适
温度”低于
，且女性用户中认为空调“最佳舒适温度”低于
的人数恰与男性用
户中认为空调“最佳舒适温度”不低于
的人数相等.
性别
最佳舒适温度
合计
男
女
合计
280
(1)在答题卡中完成列联表；
(2)根据小概率值
的独立性检验，分析空调“最佳舒适温度”是否超过
与性别
有关.
附：
【答案】(1)列联表见解析
(2)空调“最佳舒适温度”是否超过
与性别有关
【分析】（1）依题意，算出被调查的用户中女性用户人数，再分别算出其它数据；
（2）根据列联表中数据，计算
，对照临界值表得出结论．
【详解】（1）依题意可知，被调查的用户中女性用户共有
人，认为空调“最
佳舒适温度”低于
的女性用户有
人，
所以男性用户中认为空调“最佳舒适温度”不低于
的人数为60.
列联表如下：
性别
最佳舒适温度
合计
男
60
80
140
女
80
60
140
合计
140
140
280
（2）零假设为
：分类变量
与
相互独立，即空调“最佳舒适温度”是否超过
与
性别无关.
根据表中的数据，计算得到
.
因为
，
所以根据小概率值
的独立性检验，有充分证据推断
不成立，
因此可以认为空调“最佳舒适温度”是否超过
与性别有关.
6．近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取
了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示．
性别
男孩
女孩
喜欢豪车模型
340
160
不喜欢豪车模型
300
200
(1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取
10 人，再从这10 人中随机抽取3 人，求至少1 人是女孩的概率；
(2)根据
的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性．
附：
．
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)
(2)不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性
【分析】（1）根据对立事件的概率及古典概型求解；
（2）计算
，与对应临界值比较即可得出结论.
【详解】（1）抽取的10 人中，男孩有6 人，女孩有4 人，
故至少有1 人是女孩的概率为
．
（2）零假设：是否喜欢豪车模型与性别无关，
则
故不能拒绝零假设，即根据
的独立性检验，不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有
相关性．
7．为了考察某种药物A 对预防疾病B 的效果，进行了200 次动物试验，得到如下列联表：
药物A
疾病B
合
计
患病
未患病
服用
100
未服
用
40
60
100
合计
200
在服用药物A 的动物中，患病的频率为0.2.
(1)求x，y；
(2)依据小概率值
的独立性检验，是否认为服用药物A 对预防疾病B 有效?
附：
，
.
0.1
0.05
0.01
0.00
5
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
【答案】(1)
，
；
(2)能认为服用药物A 对预防疾病B 有效.
【分析】（1）根据频率得到方程，求出
，进而求出
；
（2）零假设，计算出卡方，与6.635 比较后得到结论.
【详解】（1）服用药物A 的动物中，患病的频率为0.2，
故
，解得
，
故
；
（2）能认为服用药物A 对预防疾病B 有效.理由如下：
零假设
：药物A 对预防疾病B 无效，
由列联表可得
，
根据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
即认为药物A 对预防疾病B 有效，该推断犯错误的概率不超过
，
依据小概率值
的独立性检验，能认为服用药物A 对预防疾病B 有效.
8．7 月1 日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》在中国内地电影院线正式下
映，结束了自今年1 月29 日以来153 天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终
斩获154.4 亿元票房，总观影人次3.24 亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第
二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了《哪吒2》上映前15 天累计票房到达
（单
位：亿元）与所用时间
（单位：天）的数据：
累计票房
2
0
40
60
8
0
100
用时
4
7
9
1
0
15
(1)利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程
度；
(2)求
关于
的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测153 天时的累计票房，判断这
种预测方法是否合理．
参考公式：经验回归方程
，其中
．
相关系数
．
参考数据：
．
【答案】(1)
两个变量具有很强的相关程度
(2)
，预测153 天时的累计票房为1151.56 亿元，该预测方法不合理
【分析】（1）先计算
，代入相关系数公式计算即可；
（2）先计算
，进而得经验回归方程，令
，代入回归方程即可求解.
【详解】（1）由题意有
，
则
所以两个变量具有很强的相关程度．
（2）由题意有
，
所求经验回归方程为
，
令
，得
，
预测153 天时的累计票房为1151.56 亿元，远超过实际票房，故该预测方法不合理．
9．近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021 年到
2024 年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份
2021
202
2
2023
2024
年份代号
1
2
3
4
销量
33
69
93
129
附：相关系数
；
回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
(1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量
与年份代号
的线性相关性强弱（
，则认为
与
的线性相关性较强，
，则认为
与
的线性相关性较
弱）；（精确到0.001）
(2)建立
关于
的线性回归方程，并预测该地2025 年的新能源汽车销量．
【答案】(1)
与
具有较强的线性相关关系
(2)
，
（千辆）
【分析】（1）根据题干所给数据算出
，
，
，代入
相关系数计算公式计算即可；
（2）根据（1）算出的结果进一步算出
，再根据线性回归方程经过
计算
，最后把
代入回归直线方程即可求解．
【详解】（1）已知
，
，则
，
，则
，
，
，所以
，
已知
，故
，
又
，代入相关系数公式，
可得
，
因为
，所以
与
具有较强的线性相关关系．
（2）根据
，
由（1）可知
，
，所以
，
由
，已知
，
，
，则
，
所以
关于
的线性回归方程为
，将
代入线性回归方程
（千辆）．
10．某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月
的销售额统计如下：
月份
销售额
万元
(1)根据表中数据建立月份
与销售额
的经验回归方程
；
(2)为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取
个月对销售情况进行分析，求抽到
的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
参考公式：
．参考数据：
，
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用最小二乘法可得回归方程；
（2）分别计算各月份销售额的预测值，再根据古典概型概率公式可得解.
【详解】（1）由已知
，
，
又
，
，
则
，
，
所以回归方程为
；
（2）当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
则这个月中残差为负的月份有
个，残差为非负的月份有
个，
则这个月中随机抽取
个月，抽到的月份数据含有残差为负的概率
.
11．台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车
公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5 年的年广告费
（单位：
百万元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示：
令
，数据经过初步处理得：
，
，
，
，
，
，
.现有①
和②
两种方案作为年销售量y 关于年
广告费x 的回归分析模型，其中a，b，m，n 均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y 关于x 的回归方
程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
附：①相关系数
，回归直线
中公式分别为
，
；
②参考数据：
，
，
，
【答案】(1)模型②的拟合程度更好
(2)13（百万辆）
【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪
一个模型拟合程度更好；
（2）先利用最小二乘法求出
关于
的回归方程，再令
，即可得解..
【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为
，
由题意可得：
，
，
所以
，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为
，
又由
，
，
得
，
所以
，即回归方程为
，
当
时，
，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
12．中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统
技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期
间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5 天调查情况数据如下:
宣传天数x
1
2
3
4
5
不了解的人数
120
100
90
80
70
(1)若对中国民间传统文化不了解的人数
与宣传天数
之间满足线性回归关系，求变量
关于变量
的经验回归方程
.
(2)从前5 天的调查表中随机抽取100 份调查表，整理得如下2×2 列联表:
性别
对中国民间传统文化了解的程度
合计
了解
不了解
男性
40
10
50
女性
30
20
50
合计
70
30
100
（i）依据小概率值
的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有
关联?
（ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7 份调查表，
再从这7 份调查表中任意抽取3 份，记X 为抽到的调查表来自女性调查表的份数，求X 的
分布列及期望.
附:回归方程
中斜率和截距的最小二乘法公式分别为
，
，
独立性检验常用小概率值和相应的临界值：
，
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
【答案】(1)
(2)（i）无关；（ii）分布列见解析，
.
【分析】（1）利用表中数据和最小二乘法公式计算求解即可；
（2）（i）根据表中数据计算
由独立性检验的方法判断即可求解；（ii）由题意可得
可能的取值为
，结合超几何分布分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望.
【详解】（1）由表中数据得
，
，
，
，
，
所以
，
，
所求回归直线方程为
.
（2）（i）零假设为
:是否了解中国民间传统文化与性别相互独立，
由表中数据可得
，
根据小概率值
的
独立性检验，没有充分的证据推断
不成立，
所以可以认为
成立，
因此，不能认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联.
（ii）由题意易知抽取的7 份调查表中，有4 份调查表来自男性调查表，有3 份调查表来自
女性调查表，
则
的所有可能取值为0，1，2，3，
,
，
,
，
的分布列为
0
1
2
3
所以
.
