初中数学解题技巧精讲

第一章数与式

第一节实数的分类与概念辨析

1.实数的分类

技巧点拨：

（1）有理数包括整数和分数，任何有理数都能写成两个整数之比的形式。

（2）无理数是无限不循环小数，常见三类：①π类，如π、2π、π−3；②开方开不尽的数，如√2、∛5；③构造型，如0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次增加）。

（3）带根号的数不一定是无理数，如√9=3、∛8=2都是有理数，判断前必须先化简。

（4）实数与数轴上的点一一对应，这是数形结合的出发点。

例1在−3.14，√4，π/3，22/7，∛(−8)，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），√5中，无理数的个数是（）

解：−3.14是有限小数，属有理数；√4=2，是有理数；π/3是无理数；22/7是分数，属有理数；∛(−8)=−2，是有理数；0.1010010001…是无限不循环小数，属无理数；√5开方开不尽，属无理数。故无理数有π/3、0.1010010001…、√5，共3个。

2.相反数、倒数与绝对值

技巧点拨：

（1）a的相反数是−a，和为0；a的倒数是1/a（a≠0），积为1。

（2）|a|表示数轴上a对应的点到原点的距离，恒有|a|≥0。

（3）去绝对值的关键是判断绝对值内式子的正负：正数直接去，负数加负号。

（4）若|a|=|b|，则a=b或a=−b，这是分类讨论的常见入口。

例2已知|a|=3，|b|=5，且a<b，求a+b的值。

解：由|a|=3得a=3或a=−3；由|b|=5得b=5或b=−5。

因a<b，需分类讨论：

①a=3，b=5，满足3<5，此时a+b=8；

②a=3，b=−5，不满足3<−5，舍去；

③a=−3，b=5，满足−3<5，此时a+b=2；

④a=−3，b=−5，不满足−3<−5，舍去。

综上，a+b的值为8或2。

第二节实数的运算技巧

1.运算顺序与符号

技巧点拨：

（1）顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。

（2）负数的偶次幂为正，奇次幂为负，先定符号再算绝对值。

（3）(−1)ⁿ的规律：n为偶数得1，n为奇数得−1，常用于规律题。

2.简便运算三招

技巧点拨：

（1）凑整法：把互为相反数或能凑成整十整百的数先结合。

（2）分配律逆用：ab+ac=a(b+c)，如99×25+25=25×(99+1)=2500。

（3）裂项法：1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)，用于分数连加。

例3计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2019×2020)。

解：因为1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)，所以

原式=(1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+…+(1/2019−1/2020)

=1−1/2020=2019/2020。

点评：裂项后中间项全部抵消，只剩首尾，这是“裂项相消”的标准套路。

例4计算−1⁴+(−2)³÷4−|−3|×(−1)²⁰²⁰。

解：−1⁴=−1（底数是1，不是−1）；(−2)³=−8，(−8)÷4=−2；(−1)²⁰²⁰=1，|−3|=3。

原式=−1+(−2)−3×1=−1−2−3=−6。

点评：−1⁴与(−1)⁴结果不同，前者先算幂再取负，后者底数是−1。这是最常见的失分点。

第三节科学记数法与近似数

技巧点拨：

（1）科学记数法：N=a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n为整数。

（2）大数n为正，等于整数位数减1；小数n为负，其绝对值等于小数点后第一个非零数字前零的个数（含小数点前那个0）。

（3）有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字。

（4）精确到哪一位，要看末位数字实际所在的数位。

例5 0.000305用科学记数法表示为（）

解：0.000305=3.05×10⁻⁴。小数点后第一个非零数字3前面有4个0，故n=−4。

例6 2.35×10⁴精确到哪一位？有几个有效数字？

解：2.35×10⁴=23500，末位5在百位，故精确到百位；有效数字为2、3、5，共3个。

点评：带科学记数法的数，要先还原成原数再判断精确度，不能直接看小数位数。

第四节平方根、算术平方根与立方根

技巧点拨：

（1）正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（2）算术平方根√a具有双重非负性：a≥0且√a≥0。

（3）重要公式：(√a)²=a（a≥0）；√(a²)=|a|={a（a≥0）；−a（a<0）}。

（4）任何数都有立方根，且正数的立方根为正，负数的立方根为负。

例7已知√(x−2)+|y+3|=0，求x+y的值。

解：√(x−2)≥0，|y+3|≥0，两个非负数之和为0，则每一个都为0。

所以x−2=0，y+3=0，得x=2，y=−3，故x+y=−1。

点评：“几个非负数之和为0，则它们同时为0”是初中阶段使用频率极高的结论，常见的非负形式有|a|、a²、√a。

例8化简√((3−π)²)+|4−π|。

解：因为3−π<0，所以√((3−π)²)=|3−π|=π−3；

又4−π>0，所以|4−π|=4−π。

原式=(π−3)+(4−π)=1。

第五节整式的运算技巧

技巧点拨：

（1）幂的运算法则：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ；(ab)ⁿ=aⁿbⁿ。

（2）a⁰=1（a≠0）；a⁻ⁿ=1/aⁿ（a≠0）。

（3）同类项：字母相同且相同字母的指数也相同，与系数无关。合并时只把系数相加减。

（4）去括号法则：括号前是“−”，去括号后括号内各项都变号。

例9计算(−2a²b)³÷(4a³b²)·a。

解：(−2a²b)³=−8a⁶b³；

原式=−8a⁶b³÷4a³b²·a=−2a³b·a=−2a⁴b。

点评：同级运算从左到右，千万不要先算后面的乘法。

例10已知aᵐ=3，aⁿ=5，求a^(2m+n)的值。

解：a^(2m+n)=a^(2m)·aⁿ=(aᵐ)²·aⁿ=3²×5=45。

点评：把目标式“拆”成已知式的乘积或幂，是幂的运算中的通法。

第六节乘法公式与恒等变形

技巧点拨：

（1）平方差公式：(a+b)(a−b)=a²−b²。

（2）完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²。

（3）常用变形：

①a²+b²=(a+b)²−2ab=(a−b)²+2ab；

②(a+b)²−(a−b)²=4ab；

③(a+b)²+(a−b)²=2(a²+b²)；

④(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca。

（4）三项完全平方的变形：a²+b²+c²−ab−bc−ca=½[(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²]≥0。

例11已知a+b=5，ab=3，求a²+b²与(a−b)²的值。

解：a²+b²=(a+b)²−2ab=25−6=19；

(a−b)²=a²+b²−2ab=19−6=13。

例12已知x+1/x=4，求x²+1/x²的值。

解：x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14。

点评：把x与1/x看成一个整体，是“整体思想”的典型应用。

第七节因式分解技巧

技巧点拨：口诀——“一提二套三分组，分解到底再检查”。

（1）提公因式：系数取最大公约数，字母取最低次幂。

（2）套公式：平方差a²−b²=(a+b)(a−b)；完全平方a²±2ab+b²=(a±b)²。

（3）分组分解：把多项式适当分组，组内提公因式或套公式，组间再提。

（4）十字相乘法：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

（5）检验：分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。

例13分解因式：3x³−12x。

解：原式=3x(x²−4)=3x(x+2)(x−2)。

点评：提公因式后括号内还能用平方差公式，必须继续分解。

例14分解因式：x²−4x−12。

解：找两个数，积为−12，和为−4，即−6与2。

原式=(x−6)(x+2)。

例15分解因式：a²−b²+2a+1。

解：原式=(a²+2a+1)−b²=(a+1)²−b²=(a+1+b)(a+1−b)。

点评：三项一组配成完全平方，再用平方差，是分组分解的常用套路。

第八节分式的运算技巧

技巧点拨：

（1）分式有意义：分母不为0；分式值为0：分子为0且分母不为0。

（2）约分：分子分母同时除以公因式；通分：找最简公分母。

（3）分式加减：同分母分母不变分子相加减；异分母先通分。

（4）化简求值题必须先化简，再代入，且代入的值不能使分母为0。

例16先化简，再求值：(1−1/(x+1))÷(x²−1)/(x²+2x+1)，其中x=3。

解：原式=(x/(x+1))÷[(x+1)(x−1)/(x+1)²]

=x/(x+1)÷[(x−1)/(x+1)]=x/(x+1)·(x+1)/(x−1)=x/(x−1)。

当x=3时，原式=3/(3−1)=3/2。

点评：除法转乘法时，除式的分子分母要整体颠倒，切勿只颠倒分子。

第九节二次根式化简技巧

技巧点拨：

（1）最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数。

（2）√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。

（3）分母有理化：1/√a=√a/a；1/(√a+√b)=(√a−√b)/(a−b)。

（4）同类二次根式才能合并，先化简再判断。

例17计算√12−√(1/3)+√27。

解：√12=2√3；√(1/3)=√3/3；√27=3√3。

原式=2√3−√3/3+3√3=(2−1/3+3)√3=(14/3)√3。

例18计算(√5+√3)(√5−√3)−(√2+1)²。

解：第一个括号用平方差：5−3=2；

第二个用完全平方：2+2√2+1=3+2√2。

原式=2−(3+2√2)=−1−2√2。

第二章方程与不等式

第一节一元一次方程

技巧点拨：

（1）解一元一次方程五步：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

（2）去分母时每一项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项。

（3）移项要变号，这是最常见的失分点。

（4）含字母系数的方程ax=b，需讨论a≠0、a=0且b=0、a=0且b≠0三种情况。

例1解方程(2x−1)/3−(x+2)/2=1。

解：两边同乘6，得2(2x−1)−3(x+2)=6。

去括号：4x−2−3x−6=6。

移项合并：x=14。

点评：去分母后，分子是多项式的必须加括号，否则容易漏乘负号。

第二节二元一次方程组

技巧点拨：

（1）代入消元：适用于有一个方程系数为±1的情况。

（2）加减消元：适用于同一未知数系数成倍数的情况，先化为绝对值相等再加减。

（3）整体代入：当方程组中出现相同的“组合式”时，直接整体代入更快。

（4）解方程组后要检验，代入原方程验证。

例2解方程组{3x+2y=12；2x−y=1}。

解：由②得y=2x−1，代入①：

3x+2(2x−1)=12，即3x+4x−2=12，7x=14，x=2。

把x=2代入②得y=3。所以方程组的解为{x=2；y=3}。

例3已知{x+y=5；2x+2y−3z=1}，求z的值。

解：由①得x+y=5，整体代入②：2×5−3z=1，得3z=9，z=3。

点评：不急于求出每一个未知数，整体代入可以大幅减少运算量。

第三节一元二次方程的解法

技巧点拨：四种解法按“优先顺序”选择：

（1）直接开平方法：形如(x+m)²=n（n≥0）。

（2）因式分解法：能分解时最快，注意“ab=0⟺a=0或b=0”。

（3）配方法：二次项系数化为1，加上一次项系数一半的平方。

（4）公式法：x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)，适用于一切一元二次方程。

例4解方程x²−6x+5=0。

解：因式分解：(x−1)(x−5)=0，所以x₁=1，x₂=5。

例5解方程2x²−4x−1=0。

解：a=2，b=−4，c=−1，b²−4ac=16+8=24>0。

x=(4±2√6)/4=(2±√6)/2。

即x₁=(2+√6)/2，x₂=(2−√6)/2。

例6解方程(x−3)²=2(x−3)。

解：移项：(x−3)²−2(x−3)=0，提公因式：(x−3)(x−3−2)=0，

即(x−3)(x−5)=0，所以x₁=3，x₂=5。

点评：绝不能两边同除以(x−3)，那样会丢掉x=3这个根。

第四节根的判别式与韦达定理

技巧点拨：

（1）Δ=b²−4ac：Δ>0有两个不相等实根；Δ=0有两个相等实根；Δ<0无实根。

（2）韦达定理：x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a。

（3）常用变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂；1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)；

(x₁−x₂)²=(x₁+x₂)²−4x₁x₂；|x₁−x₂|=√Δ/|a|。

（4）使用韦达定理前必须先确认Δ≥0。

例7已知x₁、x₂是方程x²−3x−2=0的两根，求x₁²+x₂²与1/x₁+1/x₂的值。

解：由韦达定理：x₁+x₂=3，x₁x₂=−2。

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=9+4=13。

1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=3/(−2)=−3/2。

例8若关于x的方程x²−2x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

解：Δ=(−2)²−4k=4−4k>0，得k<1。

第五节分式方程

技巧点拨：

（1）解法：去分母（两边同乘最简公分母）化为整式方程，解出后必须验根。

（2）增根：使最简公分母为0的根，必须舍去。

（3）已知有增根求字母值：增根一定是使分母为0的x值。

（4）无解包含两种情况：化为的整式方程无解；整式方程的解全是增根。

例9解方程1/(x−2)=3/x。

解：两边同乘x(x−2)：x=3(x−2)，

x=3x−6，2x=6，x=3。

检验：x=3时，x(x−2)=3≠0，所以x=3是原方程的根。

例10若关于x的分式方程(x+a)/(x−1)=1有增根，求a的值。

解：去分母：x+a=x−1，整理得a=−1。

增根为x=1（使分母为0）。但当a=−1时方程恒等，需进一步分析：

原方程(x−1)/(x−1)=1在x≠1时恒成立，无解且无增根。

点评：此题说明“去分母后不含x的方程”要单独讨论，不能机械套用。

第六节一元一次不等式（组）

技巧点拨：

（1）不等式两边同乘（除以）同一个负数，不等号方向必须改变。

（2）数轴表示：实心点表示“≥、≤”，空心圈表示“>、<”。

（3）解集的四种口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了。

（4）求整数解时，先在数轴上画出解集，再逐个找出整数点。

例11解不等式组{2x−1>3；x−2≤1}，并求其整数解。

解：由①得2x>4，x>2；由②得x≤3。

所以解集为2<x≤3，整数解为x=3。

例12若关于x的不等式(a−1)x>a−1的解集为x<1，求a的取值范围。

解：不等号方向改变，说明两边同除以的a−1<0，

所以a<1。

第七节列方程解应用题的技巧

技巧点拨：

（1）审、设、列、解、验、答六步，关键是找等量关系。

（2）常见模型：

①行程问题：路程=速度×时间；相遇：s₁+s₂=s；追及：s₁−s₂=s。

②工程问题：工作总量设为1，工作效率=1/时间。

③利润问题：利润=售价−进价，利润率=利润/进价×100%。

④增长率问题：a(1+x)²=b。

⑤数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字。

（3）检验包括两层：是否是方程的解；是否符合实际意义。

例13某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率相同，求该百分率。

解：设每次降价的百分率为x。

由题意：200(1−x)²=128，

(1−x)²=0.64，1−x=±0.8，

x=0.2或x=1.8（不合题意，舍去）。

答：每次降价的百分率为20%。

例14一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需30天完成。两队合作需多少天完成？

解：设合作需x天完成，把工作总量看作1。

甲的工作效率为1/20，乙为1/30，

(1/20+1/30)x=1，即(1/12)x=1，x=12。

答：两队合作需12天完成。

第三章函数

第一节平面直角坐标系与点的坐标

技巧点拨：

（1）各象限符号：一象限(+,+)，二象限(−,+)，三象限(−,−)，四象限(+,−)。

（2）x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0。

（3）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数；

关于原点对称：横纵坐标都互为相反数。

（4）点到x轴距离=|纵坐标|；到y轴距离=|横坐标|；到原点距离=√(x²+y²)。

（5）平行于x轴的直线上的点纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点横坐标相同。

例1点P(2a−1，a+3)在y轴上，求P点坐标。

解：在y轴上，横坐标为0，即2a−1=0，a=1/2。

此时a+3=7/2，所以P(0，7/2)。

第二节一次函数

技巧点拨：

（1）解析式：y=kx+b（k≠0）。k>0时y随x增大而增大；k<0时y随x增大而减小。

（2）b是直线与y轴交点的纵坐标，即过点(0,b)。

（3）求解析式用待定系数法：设y=kx+b，代入两个已知点，解方程组求k、b。

（4）k的几何意义：|k|越大直线越陡；k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)。

（5）一次函数与x轴交点令y=0，与y轴交点令x=0。

例2已知一次函数图象经过点A(1,3)和B(−1,−1)，求其解析式。

解：设y=kx+b，代入两点：

{k+b=3；−k+b=−1}，两式相加得2b=2，b=1；

代入得k=2。所以y=2x+1。

例3直线y=−2x+4与坐标轴围成的三角形面积是多少？

解：令x=0，y=4，与y轴交于(0,4)；

令y=0，得x=2，与x轴交于(2,0)。

面积S=½×2×4=4。

第三节反比例函数

技巧点拨：

（1）解析式：y=k/x（k≠0），也可写成xy=k。

（2）图象是双曲线，k>0时位于一、三象限，k<0时位于二、四象限。

（3）k的几何意义：图象上任意一点向两坐标轴作垂线，所围矩形面积=|k|，三角形面积=|k|/2。

（4）双曲线关于原点对称，也关于直线y=x、y=−x对称。

（5）比较大小：同一支上利用增减性，不同支上直接比正负。

例4点A(2,3)在反比例函数y=k/x的图象上，求k，并判断点B(−1,−6)、C(3,2)是否在该图象上。

解：把A(2,3)代入得k=2×3=6，所以y=6/x。

检验B：xy=(−1)×(−6)=6，在图象上；

检验C：xy=3×2=6，在图象上。

点评：判断点是否在反比例函数图象上，只需看横纵坐标之积是否等于k。

第四节二次函数

技巧点拨：

（1）三种解析式：

①一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；

②顶点式：y=a(x−h)²+k，顶点为(h,k)；

③交点式：y=a(x−x₁)(x−x₂)。

（2）对称轴x=−b/(2a)，顶点坐标(−b/(2a)，(4ac−b²)/(4a))。

（3）a>0开口向上，有最小值；a<0开口向下，有最大值。

（4）增减性：以对称轴为界，a>0时“左减右增”，a<0时“左增右减”。

（5）求最值：先看自变量取值范围是否包含对称轴，包含则取顶点，不包含则取端点。

例5抛物线y=x²−4x+3的顶点坐标、对称轴、与x轴交点分别是什么？

解：配方：y=(x−2)²−1，顶点(2,−1)，对称轴x=2。

令y=0：x²−4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，交点为(1,0)、(3,0)。

例6已知抛物线经过A(0,3)、B(1,0)、C(3,0)，求其解析式。

解：由B、C是与x轴交点，设交点式y=a(x−1)(x−3)。

代入A(0,3)：3=a(0−1)(0−3)=3a，得a=1。

所以y=(x−1)(x−3)=x²−4x+3。

点评：已知与x轴两交点，用交点式最简便。

例7求y=−x²+2x+3在0≤x≤3上的最大值与最小值。

解：配方：y=−(x−1)²+4，对称轴x=1，顶点(1,4)。

因为1在[0,3]内，所以最大值在顶点处取得，为4。

比较端点：x=0时y=3；x=3时y=0。故最小值为0。

第五节函数与方程、不等式的关系

技巧点拨：

（1）函数图象与x轴交点的横坐标，就是对应方程的根。

（2）函数值大于0对应的x范围，就是图象在x轴上方部分的横坐标范围。

（3）两函数图象交点的坐标，就是两个解析式组成的方程组的解。

（4）比较两函数值大小：看谁在谁上方，上方的大。

例8直线y=x+1与抛物线y=x²−2x+1有几个交点？

解：联立：x+1=x²−2x+1，整理得x²−3x=0，

x(x−3)=0，x=0或x=3，有两个交点。

第四章三角形与全等

第一节相交线与平行线

技巧点拨：

（1）对顶角相等；邻补角互补。

（2）平行线判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。

（3）平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

（4）平行线间的拐点问题：过拐点作已知直线的平行线，是通法。

（5）平移的性质：对应线段平行且相等，对应点连线平行且相等。

例1如图，AB∥CD，∠B=40°，∠D=30°，求∠BED的度数（E为两平行线间一点）。

解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD。

因为EF∥AB，所以∠BEF=∠B=40°；

因为EF∥CD，所以∠FED=∠D=30°。

所以∠BED=40°+30°=70°。

点评：“过拐点作平行线”是解决平行线间角度问题的第一招。

第二节三角形的基本性质

技巧点拨：

（1）三角形内角和180°；外角等于不相邻两内角之和。

（2）三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（3）三角形具有稳定性；四边形不具有。

（4）三角形中的重要线段：中线、角平分线、高线、中位线。

（5）中位线定理：中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

例2已知三角形的两边长为3和7，第三边长为偶数，求第三边长。

解：设第三边为x，则7−3<x<7+3，即4<x<10。

x为偶数，可取6、8。所以第三边长为6或8。

第三节全等三角形的判定与性质

技巧点拨：

（1）五种判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（仅直角三角形）。

（2）注意：SSA不能判定全等（除非是直角三角形中的HL）。

（3）全等性质：对应边相等、对应角相等、对应线段（中线、高、角平分线）相等、周长面积相等。

（4）书写规范：对应顶点写在同一位置，证明过程注明依据。

（5）证全等的目的通常是为了证线段相等或角相等。

例3如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证：BC=DC。

证明：在△ABC和△ADC中，

因为AB=AD（已知），∠BAC=∠DAC（已知），AC=AC（公共边），

所以△ABC≌△ADC（SAS）。

所以BC=DC（全等三角形的对应边相等）。

第四节全等三角形常用辅助线

技巧点拨：

（1）倍长中线法：延长中线一倍，构造全等三角形，用于证明线段不等关系或转移线段。

（2）截长补短法：证a=b+c时，在a上截取b，证剩下等于c；或延长b至b+c，证整体等于a。

（3）作双垂直：过点作已知直线的垂线，构造直角三角形。

（4）角平分线上的点向两边作垂线：得到相等线段。

（5）有中点想“三线合一”或中位线。

例4在△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD。

证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

因为AD是中线，所以BD=CD。

在△ADC和△EDB中，AD=ED，∠ADC=∠EDB（对顶角），DC=DB，

所以△ADC≌△EDB（SAS），所以AC=EB。

在△ABE中，AB+BE>AE=2AD，

所以AB+AC>2AD。

点评：倍长中线把分散的线段集中到一个三角形中，这是“转移线段”的经典手段。

第五节等腰三角形与等边三角形

技巧点拨：

（1）等腰三角形两腰相等、两底角相等（等边对等角）。

（2）判定：等角对等边。

（3）三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（4）等边三角形三个角都是60°，三边相等；判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（5）等腰三角形问题常需分类讨论：已知角是顶角还是底角，已知边是腰还是底。

例5等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个内角的度数。

解：分类讨论：

①若70°为顶角，则两底角为(180°−70°)÷2=55°，即另两角为55°、55°；

②若70°为底角，则另一底角为70°，顶角为180°−140°=40°，即另两角为70°、40°。

第六节直角三角形与勾股定理

技巧点拨：

（1）勾股定理：直角三角形中a²+b²=c²（c为斜边）。

（2）勾股定理逆定理：若a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形，c所对的角为直角。

（3）常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（5）30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（6）等腰直角三角形三边比为1∶1∶√2；含30°的直角三角形三边比为1∶√3∶2。

例6在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求AB及斜边上的高。

解：AB=√(6²+8²)=10。

设斜边上的高为h，由面积法：½×6×8=½×10×h，

得h=4.8。

点评：“面积法”是求斜边上的高的最快方法。

第七节线段垂直平分线与角平分线

技巧点拨：

（1）垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；反之，到两端点距离相等的点在垂直平分线上。

（2）角平分线上的点到角两边距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角平分线上。

（3）三角形的三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等。

（4）三角形的三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等。

例7在△ABC中，DE垂直平分AB，交AC于D。若AC=8，BC=5，求△BCD的周长。

解：因为DE垂直平分AB，所以AD=BD。

△BCD的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=8+5=13。