高中数学必修一·第16讲：指数函数

指数函数描述以固定底数为基础的指数变化，能帮助我们比较大小、分析函数图象，也能刻画增长与减少过程。

核心概念

标准形式是 y 等于 a 的 x 次方：底数 a 是大于零且不等于一的常数，x 是自变量，定义域为全体实数。

底数必须大于零，才能保证任意实数次方有意义；底数不能等于一，否则函数恒为一。标准形式中，指数位置只有自变量，前面的系数为一。

图象与性质

指数函数的值始终大于零，定义域是全体实数，图象经过横坐标为零、纵坐标为一的定点，且不与横轴相交。

• 底数大于一：函数递增；自变量为正时，函数值大于一；自变量为负时，函数值在零与一之间。
• 底数大于零、小于一：函数递减；自变量为正时，函数值在零与一之间；自变量为负时，函数值大于一。

记住：底数决定增减方向。底数越过一，增减方向也随之改变。

解题思路

比较指数式时，优先化成相同底数，再利用单调性比较指数。解同底指数不等式时，底数大于一，不等号方向不变；底数在零与一之间，不等号方向要反转。

分析复合指数函数的单调性，可以先看指数部分怎样变化，再看外层指数函数是递增还是递减：两层同向时整体递增，方向相反时整体递减。

求定义域、值域或最值时，先检查根式、分式等限制。若用换元，别忘了写出新变量的范围；指数式通常只能取正值。

易错提醒

带系数的指数式、指数中含常数的式子，以及指数式再加常数，都不属于标准形式的指数函数，尽管它们可能与指数函数图象有关。

比较图象对应的底数时，横坐标为正和为负的两侧，图象高低关系不同，不能混为一谈。

现实中的固定增长或减少，也可用指数模型表示：增长时每期乘以“1加增长率”，减少时每期乘以“1减减少率”，再乘初始值。🌱

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