第8 单元 数学广角——找次品
本单元以“找次品”这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式
探索解决问题的策略。同时，进一步理解随机事件，感受解决问题策略的多样性和优化思想，
培养观察、分析、逻辑推理的能力，并学习如何用直观的方式清晰、简洁、有条理地表示逻辑
推理过程。首先，教科书从最简单的问题（3 瓶钙片）入手，让学生讨论找次品的方法，通过用
天平直观演示，说明基本推理过程：如果天平平衡……如果天平不平衡……，引导学生用直
观方式记录找次品的思维过程，了解找次品的基本思路。
在此基础上，从8 个零件中找出1 个次品（重一些），探索找次品的一般方法。教科书通
过“直观图”示例引导，启发学生将推理的过程用直观、简洁的方式表示出来，并通过问题
给出探索的线索，帮助学生找出称的次数最少的方法，进行归纳、验证，概括出找次品的最优
方法。
本单元的教学重难点是理解并解决简单的“找次品”问题，充分经历“比较——猜测
——验证”的过程，归纳出“找次品”的最优策略，感知逻辑推理的数学思想方法。需要说
明的是，用天平找次品，并不是一定要通过天平称，而是利用天平平衡原理，通过逻辑推理确
定次品。
学生在本单元学习之前很少接触“找次品”问题，没有相关的学习与生活经验，而教科
书中的“次品”与日常生活中提到的“次品”有所不同。本单元的次品是指从外表看完全
相同的物品，其中重一些或轻一些的那一个就是“次品”。所以首先要让学生理解什么是
“次品”。
从知识层面上看，学生已经会进行初步的分析推理，能在观察、实验、猜想、验证等活动
中，进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。但是学生是第一次接触
用“直观图”表示推理的过程，学起来还是有难度。
1.让学生认真读题，充分理解“找次品”的意思，了解“正品”“次品”的含义。说理时，
引导学生尽量用规范的语言，例如“如果天平平衡……如果天平不平衡……”来表述，并理
解这是两种情况。在此基础上，让学生把推导的过程用直观图或流程图辅以文字说明记录下
来，这一点尤其重要。
2.让学生充分经历“比较——猜测——验证”的探究过程，理解找次品的最优策略。
“至少称几次能保证找出次品”是理解的难点，这里要让学生理解“能保证”是指每一种
可能的情况都要考虑，“至少”就是指在保证一定能找出次品的各种方法中称量次数最少
的那种方案。在找次品的过程中，允许学生借助直观学具推理，用直观图或流程图直接推理，
口头叙述。让学生多“说过程”，通过说体会到“尽可能将待测物品平均分成三份”的最优
策略，培养逻辑推理能力。
◎教学笔记
找次品
教学内容
▷
教科书P112~113 例1、例2 及“你知道吗？”，完成教科书P114“练习二十七”中第
1、2 题。
▷教学目标
1.初步理解找次品的含义，明确找次品的基本思路，探索找次品的一般方法。
2.通过比较、猜测、验证等活动，探索解决问题的策略，渗透优化思想，感受解决问题策
略的多样性，培养观察、分析、推理的能力。
3.经历解决实际生活中的简单问题的过程，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的
能力。
教学重点
▷
寻找用天平原理找次品的最优方案。
教学难点
▷
经历找次品的过程，掌握找次品的方法，体验最优方案的原理。
教学准备
▷
课件，天平，3 瓶未拆封的钙片，每名学生5 张扑克牌，若干张数字卡片，记录单。
教学过程
▷
一、创设现实情境，生成问题
教师出示3 瓶外观一样的钙片。
师：同学们，看看我手上有什么？它们是一样的吗？
【学情预设】从外观看，有的学生初步确定是一样的;也有的学生可能想到，仅仅从外观
看，还不能确定是否一样。
师：看来同学们不仅会观察，还有批判性思维，真棒！
师：老师手中这3 瓶钙片，看起来是一样的，但其实有一瓶少了一些。生活中常常有一些
看似完全相同的物品中混着一个质量不同的物品（重一点或轻一点），需要想办法把它找出
来，我们把这类问题称为找次品问题。（板书课题：找次品）
【设计意图】利用学生熟悉的物品，通过外观一样而里面不一样，激发学生的思维，引导
学生用数学的眼光看问题。
二、经历探究过程，领会找次品的基本思路
1.认识天平。
教师出示实物天平，认识天平。
师：同学们，认识这个工具吗？你们会使用天平吗？如果天平平衡说明什么？
【学情预设】在此之前，学生已经接触过天平，认识了天平的组成部分。在这里教师应重
点引导学生理解，天平两边平衡说明两边的物体同样重，哪边的托盘向下，就说明那边的物
体稍重，反之则稍轻。
2.从3 瓶钙片中找次品，感悟找次品的基本思路。
课件出示教科书P112 例1。
2
【教学提示】
可以让学生用双手演示天平，表演重的一端向下。教师喊“右边重”“左边重”“一样
重”等口令，学生演示。
◎教学笔记
（1）交流找次品的想法。
师：运用天平，怎样才能很快地找出哪一瓶是次品呢？谁来说说你的想法？
【学情预设】此时学生可能会想到用手掂一掂、倒出来数一数等方法。学生也可能会提出
这些方法的不妥之处，用手掂并不准确，而倒出来数又不卫生。如果学生未能想到这些，教师
要引导学生分析这些方法的不合理性。
师：你们还有别的方法吗？
【学情预设】有的学生可能会说用有砝码的天平一瓶一瓶去称，2 次可找到，也有的学生
可能会说用没砝码的天平来称，1 次可找到。
师：大家觉得这种方法怎么样？
师：那要怎么称？称几次就能找出次品呢？
师：谁明白他的意思？能上来再演示一下吗？
学生上讲台边说边演示。
师：你们的想法真好！因为天平有两个托盘，次品的位置只有两个托盘上和天平外三个
地方，用天平称一次就能确定次品在什么位置。
【设计意图】让学生借助已有的生活经验去寻找找次品的方法，进而引出用天平称的方
法，这样的设计既顺应了学生的思维，又调动了学生的积极性。
（2）用直观的方式表达推理过程。
师：同学们的推理过程很清晰，我们可以用直观图将这个过程表示出来。
师：为了能清楚地表述，我们分别用数字卡片1、2、3 代表这3 瓶钙片。
师：先把1、2 放在天平的两边，会有几种情况呢？
【学情预设】学生会说有两种情况，平衡或不平衡；也有学生可能会说有三种情况：第一
种平衡，第二种左边轻一些，第三种右边轻一些。此时教师引导学生归纳，不管哪边轻一些，
都是不平衡。
师：这两种情况，我们可以这样表示。[板书：
]
师：如果平衡，能得到什么结论？如果不平衡，又能得到什么结论？
学生小组内交流后派代表发言。
结合学生的发言，教师完善板书：
师：同桌之间互相说说这个推理过程。
（3）梳理过程。
课件呈现推理过程，学生跟着一起说。
师：用天平称，需要称几次才能找到次品？（称1 次就能找到次品。）
【设计意图】由简单的数据开始，让学生经历分析推理的过程，并掌握基本的思路和表达
方法。
3.自主探索从5
瓶钙片中找到次品，
理解“至少”“保
证”的含义。
（1）学生自主
尝试。
3
【教学提示】
从3 瓶钙片中找出一瓶次品，相对比较简单，但其中的推理和表示方法很重要。所以一
定要让每名同学都说清楚推理过程，掌握一定的表达方法。
◎教学笔记
师：如果5 瓶钙片中有一瓶是次品(次品轻一些)，用天平称，至少称几次能保证找到次品？
请同学们独立思考，用手中的扑克牌摆一摆，并将找次品的过程清楚地表示出来。完成
的同学与同桌交流一下找的方法。
师：能边说边将你找次品的过程在黑板上表示出来吗？
【学情预设】有了前面从3 瓶中找次品的经验，学生会用直观图的形式来表示。学生会想
出多种找到次品的方法，并将从5 瓶钙片中找次品的过程展示出来：5(1,1,1,1,1)；5(1,1,1,2)；
5(2,2,1)；5(1,1,3)。但是由于要考虑到多种可能，有的学生可能会考虑不全面。
预设1：分成3 份。（2，2，1）
称2 次
预设2：分成3 份。（1，1，3）
称2 次
预设3：分成5 份再称。（1，1，1，1，1）
预设4：分成4 份再称。（1，1，1，2）
（2）理解“至少”“保证”。
师：这里有的时候1 次就能找出次品，为什么至少要称2 次呢？
【学情预设】学生会说，1 次是运气比较好，不能保证找出次品。
师：同学们用不同的方法找出了5 瓶钙片中的次品，老师看见这些方法的不同主要是因
为一开始分的份数不同。如果每次都画天平，很麻烦，我们可以这样简洁表示。
教师边说边板书：5(1,1,1,1,1)2 次；5(1,1,1,2)2 次；5(2,2,1)2 次；5(1,1,3)2 次。
师：整体观察，怎么分保证能找到次品称的次数最少？至少应称几次？
师：分的份数不同，但都是至少称2 次就能保证找到次品，谁能解释其中的道理？
【学情预设】面对这样的问题，可能有的学生在理解上会有些困难，教师要让学生说出自
己的想法，如果学生实在无法解释，教师要引导学生继续去感受和理解：当天平左右两边各
放1 瓶钙片时，无论分成5 份还是4 份，天平外都是3 瓶钙片，和5(1,1,3)这种情况是一样的，
次品的位置同样只有两个托盘和天平外三个地方。
【设计意图】呈现不同的解决策略，在多样的方法中找到共同的规律。加深对“至少”
“保证”的理解。通过不同方法的交流、对比，让学生感受到解决问题的方法的多样性，初步
感悟分成的份数与称的次数之间的关系。
4.探索从8 个零件中找次品，掌握找次品的最优策略。
课件出示教科书P112 例2。
4
【教学提示】
学生的方法有很多，教学时要照顾到不同的方法，特别是错误的方法，要引导学生分析，
错在哪里，为什么错，该如何更正。
◎教学笔记
师：同桌之间研究一下，看能不能也用刚才的符号或方法来解决，将探索情况填在记录
单上，如果实在有困难的话也可以摆一摆。
【学情预设】有了前面找次品的经验方法，学生会很自然地将之前的方法迁移过来，但不
排除还有部分学生存在困难，所以教师提醒学生实在有困难的话也可以摆一摆，尽可能让每
一位学生都能掌握基本的方法。
师：哪个组来说说你们研究的情况？
学生汇报，教师完善表格。
师：现在我们静下心来，静静地观察表格并回顾刚才的研究过程，你能发现什么？
师：从8 个零件中找1 个次品时很多同学都分成了3 份，但只有分成3 个、3 个和2 个时
才能在保证找出次品时称的次数最少，结合表格中的数据，谁能分析一下？
学生交流反馈。
教师根据学生反馈板书：8（1,1,1,1,1,1,1,1）4 次；8（2,2,2,2）3 次；8（3,3,2）2 次；8（4,4）3 次。
师：如果9 个零件中有1 个是次品(次品重一些)，至少称几次能保证找到次品？是怎么
称的？
学生思考，小组交流。
【设计意图】本环节是在学生动手操作的基础上，将学习的主动权继续交给学生，让学生
将自己的研究成果展示在同伴面前。在学生汇报的过程中，可能又会有不同的意见出现：对
于从8 个中找1 个次品时，很多同学都分成了3 份，但只有分成3 个、3 个和2 个时，保证找出
次品称的次数最少。这将会引发学生的二次研究，促使学生对研究成果不断进行修正。
5．验证发现。
师：用你发现的方法算一算，要找出10 个、11 个零件中的1 个次品(次品重一些)，看看是
不是平均分成3 份保证找出次品的次数也是最少的。
学生独立验证并交流。
师小结：经过研究、验证，我们发现：尽可能平均分成3 份找次品，保证找到次品称的次
数最少，不能平均分成3 份的，要使其中2 份的数量相等，另一份多1 或少1。
师：回头想想，我们是用了哪些方法得出了这样的结论？
【设计意图】学生只有在经历知识形成的过程中所掌握的知识和方法才是鲜活的、可迁
移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。所以在本环节教师需要引导学生进行数学学习方
法的小结，让学生感受到结论的得出依托于数学学习方法，也可以将这些学习方法渗透到学
生今后的数学学习中。
三、探索归纳，发现一般规律
1.归纳找次品的方法。
师：现在我们学会了用天平找次品，它的方法是怎样的？
【学情预设】找次品的方法：把这些物品分成3 份，能平均分的就平均分，不能平均分的
就使多的与少的相差1。
师：你在找次
品的过程中发现了
什么规律呢？
学生同桌讨论。
5
【教学提示】
发现规律有一定的难度，在此充分让学生表达，在表达中理顺思路。
◎教学笔记
【学情预设】学生可能会发现找次品时，从2～3 个物品中找次品，只需要1 次，从4～9
个物品中找次品，都需要2 次……
师：请同学们看教科书P113“你知道吗？”，你又可以知道什么？
【学情预设】教科书没有直接给出结论，但是根据给出的数据，学生一般能发现规律：只
要待测物品数量介于3n-1＋1～3n之间，则至少需要测n 次能保证找出次品。(板书)
【设计意图】结合具体的数据，让学生读一读教科书P113“你知道吗？”，发现找次品问
题中蕴含的规律，并通过展示、交流，自己发现规律、理解规律，并能在实际问题中应用规律。
2．运用规律，解决问题。
师：有20 个物品，其中有1 个次品(已知次品比正品重或轻)，要保证能找出次品至少需
要称几次？
【学情预设】因为33-1＋1＜20＜33，学生直接运用规律，发现只要称3 次就可以了。
师：要保证至少6 次能找出次品，待测物品可能是多少个？
【学情预设】这个问题是对前面发现的规律的逆运用，对于学生而言有难度。若学生无法
独立完成，就让学生小组讨论。有的可能说是244 个，有的可能说是729 个，引导学生讨论。
师：到底是多少个呢？
【学情预设】让学生讨论、辨析，发现244 个到729 个都有可能，最多是729 个，最少是
244 个。
【设计意图】通过具体的问题，加深学生对规律的理解。
四、实践应用，加深理解
1.课件出示教科书P114“练习二十七”第1 题。
学生独立解答后小组内交流。
2．课件出示教科书P114“练习二十七”第2 题。
学生独立完成，交流反馈。
【学情预设】在学生掌握了基本方法后，很多学生直接运用规律，不进行推理。
五、课堂小结
师：同学们，这节课就要结束了。你们今天学了些什么？
师：学了今天的知识能帮我们解决什么问题呢？
板书设计
▷
找次品
5(1，1，1，1，1) 2 次 8(1，1，1，1，1，1，1，1) 4 次
5(1，1，1，2) 2 次 8(2，2，2，2) 3 次
5(2，2，1) 2 次 8(3，3，2) 2 次
5(1，1，3) 2 次 8(4，4) 3 次
只要待测物品数量介于3n-1＋1～3n之间，则至少需要测n 次能保证找出次品。
教学反思
▷
教学设计中，考虑到学生通过操作过程总结出方法比较困难，而从3 瓶中找次品，称一
次就可以找到，从8 瓶中找次品的数据相对又比较大，所以增加了从5 瓶中找次品这个环节，
分解难点，在较小数据中理解思路，掌握方法。所以到后来找8 瓶中的次品时，直接填表格，
学生相对比较容易
接受。
6
【教学提示】
在教学时，教师要设计问题，引导学生进行推理。
◎教学笔记
另外，从3 瓶中找出1 瓶次品的问题，对于学生来说，得到结论不是很难。但是在表述时，
因为出现了“如果……”这个跟以前的单一性结论和过程有很大的区别的说法，所以学生
在理解上还是有一定难度，特别是后面的从5 瓶钙片中找出1 瓶次品时，学生很难表述清楚，
之后还需要加强学生的语言表达能力，帮他们理顺思路。
▷作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100 分》对应课时作业。
1.选一选。(将正确答案的序号填在括号里)
(1)有5 颗外观相同的玻璃球(分别编号①~⑤) ,其中
1 颗是次品,质量稍轻。根据图示可以推断出( )一定是
正品。
(2)寒露是二十四节气之一,寒露过后天气由凉转寒，一些地区这时有吃花糕的习俗。11
块花糕中有1 块质量较重,首次称量分成( ),能保证找到质量较重的那一块时称的次数
最少。
A.(2,2,7) B.(3,3,5) C.( 4,4,3) D.(5,6)
(3)状状和元元用天平分别从12 盒和27 盒鸡蛋卷中找出质量较轻的1 盒次品,他们保证
找出次品所需的最少称量次数相比,( )。
A.元元多些 B.同样多 C.状状多些 D.无法确定
(4)有5 个外观相同的纪念币,其中1 个是次品较轻,路路用一架没有砝码的天平称了两次,找
出了这个次品。下图可以表示路路称的过程与结果的是( )。
2.下面不同数量的物品中各有1 个次品(质量轻一些) ,要想保证找出次品且称的次数最
少,首次称量时下面物品要怎样分最好?(在□里写上物品的个数)
参考答案
1.( 1)D (2)C (3)B (4)B
2.(竖排)5 5 5 9 9 8 27 27 26 34 34 34
7
