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2026 武汉市初中毕业生学业考试
数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1. 现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根
据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A 不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B 不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C 不符合题意；
D．是轴对称图形，故D 符合题意．
2. 袋中只有
个红球和个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 两个球都是黑球
B. 两个球中必有一个红球
C. 两个球都是红球
D. 两个球中一个是红球一个是黑球
【答案】A
【解析】
【分析】在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件，据此判断即可．
【详解】解：袋中有
个红球、个黑球，一次摸出
个球，
∵黑球仅有个，
∴两个球都是黑球是不可能事件．
3. 下图所示的几何体是由一个球和一个长方体组成，它的主视图是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：从正面看，该几何体上部是球，下部是长方体． 球的主视图是圆，长方体的主视图是长方
形． 且圆位于长方形的上方． 观察选项，D 选项图形符合题意．
4. “十四五”期间，我国每年城镇新增就业稳定在
万人以上，就业形势总体稳定．将数据
万用科
学记数法表示是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：1200 万
．
5. 下列计算结果为
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A 选项：
，不符合题意．
B 选项：
，符合题意．
C 选项：
，不符合题意．
D 选项：
，不符合题意．
故选：B．
6. 如图，将
绕点
逆时针旋转
得到
，若点
在边
上，则
的大小是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【答案】C
【解析】
【分析】由
绕点A 逆时针旋转
得
，知
，
，故
，根据三角形内角和定理可说明
．
【详解】解：如图，设
与
交于点
，
由旋转可知，
，
，
，
在
中，
，
在
中，
，
，
．
7. 乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有
个入口，他
们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】使用画树状图法计算概率即可．
【详解】解：设字母A、B、C 分别表示三个入口，
画树状图如下：
共有
种等可能的结果，其中两人刚好从同一个入口进站的情况有
种，
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∴两人刚好从同一个入口进站的概率为
．
8. 随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨
先在充电站给汽车充
电，然后驾车前往相距
的工厂．汽车显示的可用里程数
（单位：
）与时间（单位：h）之间
的关系如图所示．他到达工厂的时间是（ ）
A. 上午
B. 上午
C. 上午
D. 上午
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象信息，先求出汽车的行驶速度，再求出行驶所需时间，最后求出总时长，即可求解．
【详解】解：由图象可知，当
时充电结束，此时可用里程为
，随后开始行驶，当
时，
，
汽车行驶速度为
（
），
工厂相距
，
行驶所需时间为
（h），
到达工厂时经过的总时间为
（h），
出发时间为早晨
，
到达时间为上午
．
9. 如图，
内接于
，
，
，
，则
的直径是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
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【解析】
【分析】过点C 作
于点D，连接
并延长交
于点E，连接
，解直角三角形
求出
和
，继而求出
，从而用勾股定理求出
，再在直角三角形
中利用
求出
即可．
【详解】解：过点C 作
于点D，连接
并延长交
于点E，连接
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是直径，
∴
，
∴
，
解得：
，即
的直径是
．
10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程
为例，赵爽的《勾股圆方
图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为
的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面
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积为
的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为
，则该方程的正数解为
．小
美尝试用此方法解关于
的方程
，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为
，
则方程
的正数解是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】仿照题中方法，构造一个面积为
的正方形，向外构造四个面积为
的矩形，得出四个小正方形
的边长为
，根据大正方形的面积为
得出大正方形的边长为
，进而求出方程
的正数
解即可．
【详解】解：如图2，先构造一个面积为
的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为
的
矩形，
∴四个小正方形的边长为
，
∵大正方形的面积为
，
∴大正方形的边长为
，
∴方程
的正数解是
．
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11. 科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．氢原子中的原子核与电子各带1 个
电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是
，则电子所带电荷用数表示是_________．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵ 原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷，且原子核所带电荷用数表示为
，
∴ 表示电子所带电荷的数是与
意义相反的数，即
．
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12. 反比例函数
（
为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的
的值是_________．
【答案】1（答案不唯一，
即可）
【解析】
【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出
的取值范围，任取范围内一
个值即可．
【详解】解：
反比例函数
的图象位于第二、第四象限，
，解得
，
只要取小于
的任意实数都符合条件，例如．
13. 已知
，
，代数式
的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出
的值，再利用平方差公式解答即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
，
∴
．
14. 如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小
组用无人机测量龟山电视塔
的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面
的
处，测得龟山电视塔顶端
的仰角为
，底端
的俯角为
，则龟山电视塔的高度约是_________
（结果取整数，参考数据：
，
，
）．
【答案】
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【解析】
【分析】过点
作
，垂足为
，根据题意可得：
，然后在
中，利用
锐角三角函数的定义求出
的长，再在
中，利用锐角三角函数的定义求出
的长，最后进行计
算即可解答．
【详解】解：如图：过点
作
，垂足为
，
∴
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
，
龟山电视塔的高度约为
．
15. 如图，
、
分别是矩形
边
、
上的点，连接
．将四边形
沿
翻折得到四
边形
，边
经过点
．若
，
，
，则
的长是_________，
的长是
_________．
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【答案】 ①.
②.
【解析】
【分析】作
于N，则四边形
是矩形，则可得
，
．根据矩形
的性质和折叠的性质可得
，
，根据勾股定理可得
，进而可得
．证
明
，根据相似三角形对应边成比例可求得
，
．再证明
，则可得
，则可得
，再根据勾股定理可得
．
【详解】解：设
与
的交点为M，
∵四边形
是矩形，且
，
，
∴
，
，
，
作
于N，则四边形
是矩形，
∴
，
，
根据折叠的性质可知
，
，
，
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
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∴
，
∴
，即
，
解得
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
16. 抛物线
（
、
、为常数，
）经过
，
两点．下列五个结论：①抛物
线不经过第三象限；②将抛物线向左平移
个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则
；③
；④若关于
的一元二次方程
有两个不相等的整数根，则满足条件的整数
的值只
有一个；⑤对于函数
，若
，则当
时，
随
的增大而增大．其中正确的是
_________（填写序号）．
【答案】①③④⑤
【解析】
【分析】先代入已知点得到系数关系
，
，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断
当
时，
，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与
轴的交点为
和
，故存在两种平移方案；对于③，由
与
即可判断；对于④，结合②的结论可得
是不等于1 的正整数，因此
；对于⑤，代入可得
，当
时，
，且
随
的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断．
【详解】解：∵抛物线
经过
，
，
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∴代入坐标得
，
，整理得
，
∴
对于①：当
时，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴抛物线不经过第三象限，故①正确；
对于②：将
代入
，得，
，
因式分解，得
，
解得
或
，
∴抛物线与
轴的交点为
和
，
∴向左平移
个单位后，交点变为
和
，
∵平移后过原点，
∴
或
，因此
不一定等于，故②错误；
对于③：∵
，
∴
，故③正确；
对于④：由②可得，方程
的根为
和
，
∵方程有两个不相等的整数根，且
为正整数，
∴
为不等于的正整数，即
为
的正因数，且
，
∴
，故④正确；
对于⑤：∵
，
∴
，
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∴
，
设
，
∴与
成二次函数关系，
∵
，
∴该抛物线开口向上，对称轴为直线
，
∴当
时，随
的增大而减小，
又∵当
时，
，
∴
，
∵
，
∴
与成反比例函数关系，
∵
，
∴
随的增大而减小，
又∵随
的增大而减小，
∴
随
的增大而增大，故⑤正确；
综上，正确的结论为①③④⑤．
三、解答题（共8 小题，共72 分）
17. 解不等式组
．
【答案】
【解析】
【详解】解：解不等式①，得
，
解不等式②，得
，
原不等式组的解集为
．
18. 如图，点
、
、
、
在一条直线上，
，
，
．
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（1）求证：
；
（2）连接
、
，添加一个条件，使四边形
是菱形（不需要说明理由）．
【答案】（1）证明：∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
；
（2）
【解析】
【分析】（1）因为
，所以
，再利用
证明
；
（2）由
可得
，则
，又因为
得四边形
是
平行四边形，又因为
，则
为菱形．
【小问1 详解】
略；
【小问2 详解】
解：
，理由如下：
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
∴
为菱形．
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19. 学校开展“阳光一小时”活动以来，学生的身体素质普遍得到提高，某校为了解九年级学生的“1 分钟
跳绳”成绩情况，随机抽取了
名学生进行测试，将测试的成绩分成四组，绘制成如下不完整的统计图表．
“1 分钟跳绳”成绩频数分布表
组别
次数
频数
A
B
24
C
32
D
16
“1 分钟跳绳”成绩扇形统计图
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）
的值是________，D 组对应扇形的圆心角大小是________；
（2）样本的中位数所在组别是________；
（3）估计该校九年级
名学生中“1 分钟跳绳”成绩不低于
次的人数．
【答案】（1）80；
（2）C 组 （3）720 人
【解析】
【分析】（1）用B 组的频数除以占比求解m 值，然后求出D 组的占比，再由
乘以占比求解圆心角；
（2）利用中位数的定义求解即可；
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（3）用样本估计总体的方法求解即可．
【小问1 详解】
解：
；
，
∴
的值是80；D 组对应扇形的圆心角大小是
；
【小问2 详解】
解：A 组的频数为
，共80 个数据，则中位数是第40、41 个数据的平均数，A、B 组
累计
个数据，C 组有32 个数据，那么第40、41 个数据在C 组，
∴样本的中位数所在组别是C 组；
【小问3 详解】
解：
（人）
答：该校九年级
名学生中“1 分钟跳绳”成绩不低于
次的人数为720 人．
20. 如图，
为
的直径，
为
上一点，过点
的直线和过点
的切线互相垂直，垂足为
，
交
于点
，连接
．
（1）求证：
平分
；
（2）若
，
．求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接
，
∵
，
∴
，
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∵
是
的切线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
平分
；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接
，利用切线的性质，推出
，得到
，利用等边对等角得到
，进而得到
，即可；
（2）连接
，交
于点
，连接
，交
于点
，分割法求阴影部分面积即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：连接
，交
于点
，连接
，交
于点
，
∵
为直径，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
是
的中位线，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
．
21. 下图是由小正方形组成的
网格，每个小正方形的顶点叫作格点，
的顶点都是格点，仅用无
刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条．
（1）如图1，先在
上画点
，使
，再画点
关于点
的对称点
；
（2）如图2，
是边
与网格线的交点，先将
平移到
（
是点
的对应点），再在
上画点
，使
．
【答案】（1）如图：点D、点E 即为所求．
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（2）如图：
、点G 即为所求．
【解析】
【分析】（1）如图1，取格点F 使得
，
，连接
与
相交于点D；利用等腰直角
三角形可知
，即点D 即为所求；取格点H，使得
且
，利用相似三角形可知
，则点A、点E 关于点D 对称，即点E 即为所求；
（2）设每个小正方形边长为1，如图2，先将点A 向右平移
，再向上平移1 得到点F，连接
即为所
求；先作
的垂直平分线交
于H ，则
，即
，又
，则
，
，从而
，即点G 即为所求．
【小问1 详解】
解：理由，
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，即点D 即为所求；
如图：由作图过程以及网格可得：
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点A、点E 关于点D 对称，即点E 即为所求；
【小问2 详解】
解：理由，设每个小正方形边长为1，如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点B 向右平
移
，再向上平移1 得到点P，
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∴同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A 向右平移
，再向上平移1 得到点F，连接
即为所求；
∴
，
如图2：过D 作
垂直于格线，则四边形
是矩形，
，
，
，
由格点图知，
为
中点，
则由平行线分线段成比例定理可知
为
中点，
∴
，
，
同理
为
中点，
为
中点，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
，即
，
，
∵
，
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∴
是
的垂直平分线，且交
于H，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，即点G 即为所求．
22. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．
市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A 品)、滴胶花艺(记作B 品)．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A 品比一件B 品的成本高
元，用
元制作A 品的件数与用
元制作B 品的件数相
等．
信息2：当A 品售价为
元/件时，其销量为
件，售价每涨元，销量减少
件；B 品售价固定为
元
/件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A 品和B 品共
件．
成本核算：
（1）分别求制作一件A 品和一件B 品的成本．
模型建立：
（2）设销售A 品和B 品的总利润为
元，A 品售价为
元/件，求w 关于
的函数解析式(不要求写自变量
的取值范围)．
方案设计：
（3）若制作A 品和B 品的总成本不超过
元，且总利润最大，请设计A 品和B 品的数量分配方案．
【答案】（1）制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元
（2）
（3）制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大
【解析】
【分析】（1）设制作一件B 品的成本为
元，则制作一件A 品的成本为
元，根据“用
元制作A
品的件数与用
元制作B 品的件数相等”列出分式方程并求解即可；
（2）根据“当A 品售价为
元/件时，其销量为
件，售价每涨元，销量减少
件”求出A 品的销量，
再根据总销量300 件求出B 品的销量，从而利用利润公式求出w 关于
的函数解析式；
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（3）先利用不等式求出x 的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【小问1 详解】
解：设制作一件B 品的成本为
元，则制作一件A 品的成本为
元，
由题意可知：
，
解得：
，
经检验：
是原方程的根，符合题意，
故
，
答：制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元；
【小问2 详解】
解：∵当A 品售价为
元/件时，其销量为
件，售价每涨元，销量减少
件，
∴A 品的销量为：
(件)，
∴B 品的销量为：
(件)，
∴
，
答：w 关于
的函数解析式为：
；
【小问3 详解】
解：∵制作A 品和B 品的总成本不超过
元，
∴
，
解得：
，
又∵
且
，即
，
∴
，
∵
，
，
∴当
时，w 随着x 的增大而减小，
∴当
时，
．
此时
，
，总成本等于1400 元，
答：制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大．
23. 将正方形
的边
绕点
逆时针旋转得到
，连接
交边
于点
，
平分
交
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于点
，连接
、
．
（1）如图1，求证：
是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明
）．
（2）如图2，连接
交
于点
，求证：
．
（3）如图3，点
在线段
上，
，连接
．若
，直接写出
的最小值．
【答案】（1）证明：∵
平分
，
∴
，
∵正方形
的边
绕点
逆时针旋转得到
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形．
（2）证明：由（1）证得
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
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∴
，
∴
，即
① ，
如图：过
作
于
， 则
，
∵
，
∴
，
∴
，即
② ，
∵
，
，
∴
，
∴
由①②两式得，
，即
．
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用正方形的性质证明
可得
，
，再证
明
，即可证明结论；
（2）由（1）证得
，
，证明
可得
，即
① ；如图：过
作
于
， 则
，证明
可得
，即
② ；利用等腰三角形的性质可得
，即
，最后结合①②即可证明结论；
（3）如图：取
中点
， 连接
． 即
，可证
得
；再说明
点在以
为 圆心，
为半径的圆上运动， 当
点运动到
上时， 即
、
、
三点共线时，
取得最小值
．
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【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解：如图：取
中点
， 连接
． 即
，由（1）可得
，
∵
，
∴
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
作
与
的垂直平分线交于点
，作
，连接
，
，
∴
点在以
圆心，
为半径的圆上运动，
当
点运动到
上时， 即
、
、
三点共线时，
取得最小值
．
如图：过
作
于
， 交
于
，在圆O 优弧
上取一点N，连接
，则四
边形
是圆O 的内接四边形，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
为等腰直角三角形，其中
，
∵四边形
为正方形，
∴
，
又
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
．
24. 抛物线
：
与
轴交于
、
两点（点
在点
左侧）．
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（1）求
、
两点的坐标．
（2）如图1，直线
交抛物线
于
、
两点，
的外心
在边
上，求
的值．
（3）如图2，抛物线
：
与抛物线
交于
、
两点，连接
．
是线段
上
一点，过点
作
轴的平行线分别交抛物线
、
于
、
两点，连接
、
、
、
．求
证：
与
的面积相等．
【答案】（1）
，
（2）
（3）证明：设直线
的解析式为
，点
的横坐标为，则
，
轴，
，
，
设
，
，
联立直线
与抛物线
得
，
整理得：
，
，
是直线与
的交点，
，
是该方程的两根，
，
同理，联立直线
与抛物线
得
，
整理得
，
，
也在抛物线
上，
，
也是该方程的两根，
，
，
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过点
作
于点
，则
是
和
的公共高，
，
，且
，
，
同理，过点
作
于点
，可得
，
，
，
．
【解析】
【分析】（1）求出
时对应点的坐标并结合点
在点
左侧即可求解；
（2）先利用外心在边上推出
是
中点，得到
点坐标；再根据
列方程求解，结合
取
舍即可；
（3）先设直线
解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出
；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等．
【小问1 详解】
解：当
时，
，
解得
，
，
∵点
在点
左侧，
∴
，
．
【小问2 详解】
解：如图，连接
，
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的外心
在
上，
，
为线段
的中点，
设
，
，则
，
是方程
的两根，
整理得
，
由韦达定理得
，
点
的横坐标为
，即
，
，
由勾股定理得
，
又
，
由求根公式，方程
的根为
，
，
，
，即
，
，
，
整理得
，
解得
或
，
，
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．
【小问3 详解】
略．
