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专题12 磁偏转模型中的关键几何条件
目录
一．磁偏转的基本规律.................................................................................................................................................1
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形................................................................................1
类型(一) 直线边界的磁场..................................................................................................................................1
类型(二) 平行直线边界的磁场..........................................................................................................................2
类型(三) 三角形边界的磁场..............................................................................................................................2
类型(四) 矩形边界的磁场..................................................................................................................................2
类型(五) 圆形边界的磁场..................................................................................................................................3
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景..............................................................................................3
一．磁偏转的基本规律
1．带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力：
(1)向心力公式：qvB＝。
(2)半径公式：r＝。
(3)周期公式：T＝。
2．对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒：
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v 等的改变，往往造成轨道半径和运动
周期的改变。
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形
类型(一) 直线边界的磁场
1．粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性：
(1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆
弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
类型(二) 平行直线边界的磁场
1．粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d 所示。
3．各图中粒子在磁场中的运动时间：
(1)图a 中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝。
(2)图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝。
(3)图c 中粒子在磁场中运动的时间
。
(4)图d 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。
类型(三) 三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC 区域内有匀强磁场，
某正粒子垂直于AB 方向从D 点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：
(1)粒子能从AB 边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC 边射出的临界轨迹如图乙所示。
类型(四) 矩形边界的磁场
带电粒子在矩形边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。
类型(五) 圆形边界的磁场
带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点：
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出
磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心)，如图甲所示。
(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径
夹角一定也为θ，如图乙所示。
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景
1 带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度
下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v 垂
直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
2 磁场方向不确定形成多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不
确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为
a；若B 垂直纸面向外，其轨迹为b。
3 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也
可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
4 运动的周期性形成多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【典例1】如图所示，在0≤x≤7d 的区域内存在垂直xOy 平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一带
电粒子从坐标原点O 与x 轴正方向成θ= 53°垂直磁场射入，从磁场右边界上点P（7d，d）离开。已知粒子
的质量为m，带电量为q，重力不计，取sin53°= 0.8，cos53°=0.6.下列说法正确的是（ ）
A．该带电粒子带正电
B．粒子的发射速度大小为
C．粒子从P 点射出时的速度方向与x 轴正方向的夹角为37°
D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BC
【详解】A．根据粒子轨迹的方向结合左手定则知，带电粒子带负电，故A 错误；
B．根据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，做入射速度的垂线，连接OP 作中垂线，两线相交与
A 点，A 点即为轨迹的圆心，设OP 与x 轴夹角为α，由几何关系有
，
所以得到
由牛顿第二定律得
得
故B 正确；
C．根据以上分析知
故
设粒子射出磁场的速度与x 轴正向夹角为β，速度的偏转角与粒子运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何
关系可知出射速度方向与x 轴的夹角为37°，故C 正确；
D．由于
故粒子在磁场中不能完成半个圆周运动，运动时间不能达到
，若改变粒子的入射方向，在磁场中
运动时间半个周期对应的粒子的入射速度方向是沿着y 轴正方向进入磁场的粒子，此时粒子在磁场中运动
的时间
，故D 错误。
故选BC。
【典例2】如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直
纸面向里。一个质量为m、电荷量为q 的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界
QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R=
知，粒子的入射速度v0越大，R 越大，当粒子的径迹
和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如
图a 所示（此时圆心为O 点），根据几何关系有
R1cos45°＋d=R1
且
R1=
联立解得
v0=
若粒子带负电，其运动轨迹如图b 所示（此时圆心为O′点），根据几何关系有
R2＋R2cos45°=d
且
R2=
联立解得
v0=
故选BC。
【典例3】长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为
l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线
以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v 满足
＜v＜
【答案】AB
【详解】若带电粒子刚好打在极板右边缘，有
又因
解得
若粒子刚好打在极板左边缘时，有
解得
欲使粒子不打在极板上，使粒子的速度
或者
。
故选AB。
【典例4】如图所示，相距为
、足够长的直线边界
、
之间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大
小为
。磁场左边界上
点处有一个粒子源，
直线垂直于边界。某一时刻粒子源向磁场内沿纸面发射
出大量质量为
、电荷量为
的粒子（此后不再发射粒子），所有粒子的速率相同，方向与左边界的夹
角分布在
范围内。已知沿
方向发射的粒子甲刚好从磁场边界上
点离开磁场。不计粒子的重力，
到
的距离为
。求：
（1）匀强磁场的方向及粒子在磁场中做圆周运动的半径
；
（2）粒子甲出磁场时还在磁场中的粒子到
点的最近和最远距离（可用根式表示）
（3）从粒子甲出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间。
【答案】（1）方向垂直纸面向外，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）由粒子偏转方向及左手定则知：磁场方向垂直纸面向外，粒子甲的轨迹如图甲，由几何关
系得
解得
（2）依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到
点距离相同，仍在磁场中的粒子应位于以
点为圆心、
为半径的弧
上，如图乙所示，则恰经过
边界上
点的粒子离
点最近，由几何关系知
恰经过
边界上
点的粒子离
点最远
由几何关系知
解得
（3）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为
，则有：
则
粒子甲在磁场中运动的时间
在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图丙所示。
由几何关系可知，粒子轨迹对应的圆心角为
，在磁场中运动时间为
则从甲粒子出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间：
解得
一、单选题
1．矩形
区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，
长l，
长
。质量为m、电荷量为q 的带电粒
子，从A 点以速度
沿
方向射入磁场，最终从
边离开磁场。不计粒子重力，则匀强磁场的磁感应
强度大小范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】若带电粒子从B 点离开磁场，则粒子做圆周运动的半径为
由牛顿第二定律得
解得
若粒子从C 点离开磁场，由几何关系得
由牛顿第二定律得
解得
综上，匀强磁场的磁感应强度大小范围为
故选A。
2．如图所示，虚线ON 上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的带电粒子a、b 在纸面内以不同的
速率从O 点沿垂直于ON 的方向射入磁场，最后分别从M 点、N 点离开磁场。已知M 点为ON 的中点，不
计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．两粒子均带正电
B．洛伦兹力对b 粒子做的功多
C．b 粒子的速率是a 粒子的两倍
D．b 粒子在磁场中运动的时间是a 粒子的两倍
【答案】C
【详解】A．由左手定则可知，两粒子均带负电，选项A 错误；
B．洛伦兹力对两粒子均不做功，选项B 错误；
C．两粒子均在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
整理得
由题意
，因此b 粒子的速率是a 粒子的两倍，选项C 正确；
D．粒子在磁场中运动的时间为
结合题图可知两粒子在磁场中运动的时间相同，选项D 错误。
故选C。
3．如图所示，这是一个半径为R 的圆柱形绝缘容器的截面，容器内部存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小为B，截面的A 处开有一个可容纳微小带电粒子进入的小孔，一个不计重力的带电粒子平行
截面从A 孔以正对圆心的速度进入容器，粒子质量为m，电荷量为q，粒子与容器壁的碰撞视作弹性碰撞，
以下v 的取值不能使粒子从A 孔再次出来的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】ACD．粒子正对圆心进入圆形磁场，必然沿着半径方向垂直碰撞容器壁，如图所示
进入点和碰撞点与圆心
的连线均与速度方向垂直，由几何关系可知
进入点连成的三角形和
碰撞
点连成的三角形全等，故粒子在碰撞点速度方向与半径共线。由图可知
要让粒子从
点出射，必须满足
由洛伦兹力充当向心力
可得
联立可得
当
时，有
当
时，有
当
时，有
，故ACD 正确；
B．B 选项n 没有对应的正整数，故B 不可能。
本题选不能从A 孔再次射出的，故选B。
4．在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，
真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和4a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其
横截面如图所示。一速率为v 的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为m，电荷量为e，忽略重
力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】氘核在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为
即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令氘核运动轨迹最大的半径为
，为了使氘核的运动被
限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示
A 点为氘核做圆周运动的圆心，氘核从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定
则可得，
，
为直角三角形，则由几何关系可得
解得
解得磁场的磁感应强度最小值
故选A。
5．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点。一个带正电的
粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射
出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒
子重力不计。下列说法中正确的是（ ）
A．若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t0
B．若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为t0
C．若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为
D．若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为
【答案】B
【详解】A．由带正电的粒子从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间
刚好从c 点射
出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期
。当粒子沿纸面以与Od 成30°角的方向射入正
方形内时，如图所示，作出从ab 边射出的临界轨迹①。由图可知，当轨迹①与ab 相切时为带电粒子从ab
边射出的临界值，根据几何关系
则该带电粒子从ab 边射出经历的时间一定不大于
，故A 错误；
B．作出从
边射出的临界轨迹②。由图可知，当轨迹②与
相切时为带电粒子从
边射出的临界值，
根据几何关系
则该带电粒子从
边射出经历的时间一定不大于
，故B 正确；
C．作出从cd 边射出的临界轨迹③。由带电粒子运动轨迹的对称性可知，该带电粒子从cd 边射出经历的时
间一定是
，故C 错误；
D．作出从
边射出的临界轨迹④。由图可知，当轨迹④与
相切时为带电粒子从
边射出的临界值，
根据几何关系
则该带电粒子从
边射出经历的时间一定不大于
，故D 错误。
故选B。
6．如图所示，O 点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON 为
圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A 点沿AO 方向和从B 点
沿BO 方向射入磁场，并均从N 点射出磁场，若a 粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知
，下
列说法正确的是（ ）
A．a 粒子做圆周运动的半径为R
B．b 粒子的速率为
C．粒子的比荷为
D．a、b 两粒子在磁场中的运动时间之比为1 2∶
【答案】C
【详解】作出a、b 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
AC．根据几何知识可得
粒子a 在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有
联立解得
，故A 错误，C 正确；
B．粒子b 在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有
由几何知识可得
解得
故B 错误；
D．根据题意可知，a、b 粒子在磁场中的运动周期
两粒子在磁场中偏转的圆心角
，
则两粒子在磁场中运动的时间之比为
，故D 错误。
故选C。
7．（多选）如图所示，xoy 平面中x 轴上方存在着上边界为
的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁
感应强度大小为
。O 点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为，质量为
、电荷量为
的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度
应满足
C．若磁感应强度大小为
，所有粒子运动的区域面积为
D．若磁感应强度大小为
，粒子能从上边界射出的宽度为
【答案】AC
【详解】A．由题知，向
轴正向发射的粒子，根据左手定则，可知粒子在磁场偏转的最大圆心角为
，
故粒子在磁场运动的最长时间为
，故A 正确；
B．向
轴正向发射的粒子最容易从上边界飞出，当其恰好从上边界飞出时，根据几何关系，可得半径
根据洛伦兹力提供向心力
解得
故为使其从上边界飞出
应满足
，故B 错误；
C．若磁感应强度为
时，根据洛伦兹力提供向心力
解得半径
根据几何关系，可得所有粒子运动的区域面积为
，故C 正确；
D．若磁感应强度为
，根据洛伦兹力提供向心力
解得半径
可知向
轴正向发射的粒子从上边界最右侧飞出，其
轴坐标为
，当粒子轨迹和上边界相切时，其
轴坐标为
，故粒子能从上边界射出的宽度为
，故D 错误。
故选AC。
8．（多选）如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度
和
射入匀强磁场，两粒子的入射方向
与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A 点出发，同时到达B 点，则（ ）
A．a 粒子带正电，b 粒子带负电
B．两粒子的轨道半径之比
C．两粒子的速度大小之比
D．两粒子的质量之比
【答案】BD
【详解】A．由题意可知a 粒子顺时针偏转，b 粒子逆时针偏转，根据左手定则可知，a 粒子带负电，b 粒
子带正电，故A 错误；
B．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示
由图中几何关系可得
，
则有
，故B 正确；
D．由几何关系可知从A 运动到B，a 粒子转过的圆心角为
，b 粒子转过的圆心角为
，根据运动时
间相同可得粒子运动周期之比为
再根据洛伦兹力做向心力可得
所以，运动周期为
根据电荷量相等可得
，故D 正确；
C．根据
可得
结合
，
可得
，故C 错误。
故选BD。
9．如图所示，半径为R 的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷
为
的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A 点以
的速度垂直直径MN 射入磁场，恰好从N 点射出，
且
，下列选项正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N 点射出方向与竖直方向呈
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，一定从N 点射出
D．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
【答案】BC
【详解】A．粒子恰好从N 点射出，轨迹如下图所示，运动周期为
四边形AONP 的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为
，故A 错误；
B．粒子在磁场中速度偏转
，从N 点射出方向是与竖直方向呈
，故B 正确；
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON 为菱形，由
几何知识可知一定从N 点射出，故C 正确；
D．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则所加圆形磁场以AN 为直径时面积最小，最小面积为
，故D 错误。
故选BC。
10．（多选）如图所示为半径为
的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为
，方向垂直于
纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小在一定范围内的同种带电粒子。带电粒子质量为
，电荷量为
（
）。现粒子沿正对
中点且垂直于
方向射入磁场区域，发现带电粒子仅能从
之间的
圆弧飞出磁场（
），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，已知
，则
（ ）
A．从
点飞出的粒子，其轨迹半径为
B．从
点飞出的粒子，其轨迹半径为
C．粒子源发射粒子的最大速度为
D．在磁场中运动时间为
的粒子，其速度为
【答案】BD
【详解】AB．作出粒子从b 点飞出时的运动轨迹，如图所示
当粒子从b 点飞出时，设其轨道半径为r，对应的圆心为
，由几何关系可知
，
由正弦定理可得
解得
，故A 错误，B 正确；
C．因为从b 点出磁场的粒子轨迹半径最大，则从b 点出磁场的粒子速度最大，根据洛伦兹力提供向心力
则有
解得
结合上述结论
可得粒子源发射粒子的最大速度为
，故C 错误；
D．在磁场中运动的时间为
的粒子，则粒子轨迹对应圆心角为
，若要使粒子在磁场中运动的时间为
四分之一周期，设其半径为
，轨迹圆心为
，如图所示
设
，由几何关系可得
整理可得
解得
即
则粒子的圆周半径
则对应粒子的速度为
，故D 正确。
故选BD。
11．（多选）如图所示，由两个线段和一个半圆组成的边界CDEFG，E 为圆弧边界最低点，其余四个点与
圆心在同一直线上，边界及边界上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。C 处有一个
粒子源，能在纸面内发射速度方向与边界CD 成60°角的各种速率的带负电粒子，圆弧半径及CD 距离均为
R，粒子比荷为k。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速度越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．粒子若从E 点飞出磁场，则粒子在磁场中运动的时间最长
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子能从圆弧边界射出的最大速率为
【答案】CD
【详解】A．粒子速度越大，在F、G 之间射出，则时间不变，故A 错误；
BC．粒子在磁场中运动的时间最长时，轨迹圆弧所对应的圆心角最大，则弦切角最大，故射出点与C 点的
连线应与边界圆弧相切，而不是E 点，此时圆心角为180°，故运动时间为
，
故B 错误，C 正确；
D．粒子能从圆弧边界射出的最大速率时，应从F 点射出，几何关系可知
根据洛伦兹力提供向心力有
根据题意
联立解得
，故D 正确；
故选CD。
12．如图，在光滑绝缘水平桌面上建立平面直角坐标系
，其第一象限存在匀强磁场
，方向垂直桌面
向下。从
点垂直
轴滚入一个带电金属小球甲，随后沿着轨迹
离开磁场。现在轨迹
上的
点静止放
置另一金属小球乙，再次从
点垂直
轴以相同速度滚入带电金属小球甲。小球甲、乙均可视为质点，
二者发生碰撞并结合在一起后，若结合体（ ）
A．沿着轨迹
离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷
B．继续沿着轨迹
离开磁场，则小球乙不带电
C．继续沿着轨迹
离开磁场，则小球甲、乙带异种电荷
D．沿着轨迹离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷
【答案】AB
【详解】A．小球在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
解得
。可知二者发生碰撞并结合在一起后，由动量守恒，
不变，若沿着轨迹
离开磁场，则轨
道半径变小，所以结合体总电荷量变大，则小球甲、乙带同种电荷，故A 正确；
BC．有上述分析
，可知二者发生碰撞并结合在一起后，由动量守恒，
不变，若结合体继续沿着
轨迹
离开磁场，则轨道半径不变，所以结合体总电荷量不变，则小球乙不带电，故B 正确，C 错误；
D．有上述分析
，可知二者发生碰撞并结合在一起后，由动量守恒，
不变，若结合体继续沿着轨
迹离开磁场，则轨道半径变大，所以结合体总电荷量变小，则小球甲、乙带异种电荷，故D 错误。
故选AB。
13．如图所示，在
平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
的匀强磁场。一带
电粒子从
轴上的
点射入磁场，速度方向与
轴正方向的夹角
。粒子经过磁场偏转后在
点
（图中未画出）垂直穿过
轴。已知
，粒子电荷量为
，质量为
，重力不计。则（ ）
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．
与
点相距
【答案】AC
【详解】A．粒子向下偏转，应用左手定则可以得出粒子带负电荷，A 正确；
BC．粒子运动的轨迹如图
根据几何关系可知
，
粒子运动的轨道半径
洛伦兹力提供向心力
解得
，B 错误，C 正确；
D．
点与
点的距离
，D 错误。
故选AC。
14．如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O 为圆心，A、B、C 为圆形区域边界
上的三点，BC 为直径，
，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A 点沿AO 方向以
相同大小的速度垂直磁场射入，一个从B 点离开磁场，另一个从C 点离开磁场。粒子的重力及相互作用力
均不计，则下列说法正确的是（ ）
A．从B 点离开磁场的粒子带正电
B．正、负粒子的电荷量大小之比为
C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为
D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
【答案】CD
【详解】A．根据洛伦兹力的方向判断可知，从B 点离开的粒子带负电，从C 点离开的粒子带正电，故A
错误；
B．粒子在磁场中的轨迹如图所示
根据几何关系可知正电荷的运动半径
负电荷的运动半径为
在磁场中由洛伦兹力充当向心力，即
可知
，故B 错误；
C．周期公式为
所以正负电荷的运动周期之比
，故C 正确；
D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比
，故D 正确。
故选CD。
15．如图所示，在无限长的竖直边界
和
间，上、下部分分别充满方向垂直于平面
向外和向
里的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B，下部分区域的磁感应强度大小为2B。KL 为上、下磁
场的水平分界线，质量为m、带电荷量为
的粒子从NS 边界上与K 点相距为a 的P 点垂直于NS 边界射
入上方磁场区域，经KL 上的Q 点第一次进入下方磁场区域，Q 与K 点的距离为3a，不考虑粒子重力，
，
。
(1)求粒子射入时的速度大小
；
(2)粒子从P 点到Q 点的运动时间t；
(3)若粒子第二次穿过KL 时从L 点飞出磁场，求KL 的间距d。
【答案】(1)
(2)
(3)6a
【详解】（1）设粒子在KL 上方做圆周运动半径为R，由几何关系得
由牛顿第二定律可知
联立解得
，
（2）粒子在KL 上方区域运动的周期
结合半径公式得
粒子在KL 上方区域运动的时间
（3）由左手定则判断出粒子得运动轨迹如下图所示
，
联立得
16．一个重力不计的带电粒子以大小为的速度从坐标为（0，L）的
点，平行于
轴射入磁感应强度大
小为
、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从
轴上的
点射出磁场，射出磁场时的速度方向与
轴正方向的夹角为
，如图所示。
(1)判断粒子的电性并用尺规作图法画出粒子的运动轨迹；
(2)求粒子的比荷
；
(3)求粒子从
点运动到
点的时间。
【答案】(1)正电，
(2)
(3)
【详解】（1）画出粒子的运动轨迹如图所示
根据左手定则可知，粒子带正电。
（2）由几何知识得
解得
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
，
解得
（3）粒子做圆周运动的周期为
则粒子从a 运动到b 所用的时间为
17．如图甲所示平面直角坐标系xOy，射线OP 与
轴正方向的夹角为
。从
时开始，有与平面垂直，
大小恒为
，但方向周期性变化的磁场。
时，磁场方向垂直于xOy 平面向里，如图乙所示。
时，
一个重力不计，质量为
、电荷量为
的粒子从
点以速度
沿
轴正方向运动。已知粒子每次
运动到射线OP 上时，磁场恰好反向，不考虑磁场变化对粒子速度的影响。求：
(1)
时间内，粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)图乙中
的值。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
时间内，由洛伦兹力提供向心力可得
解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为
（2）已知粒子每次运动到射线OP 上时，磁场恰好反向，粒子在磁场中运动轨迹如图所示
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
每段圆弧对应圆心角为
，对应的运动时间为
则磁场变化周期为
18．如图甲所示，平面内一有界（虚线）匀强磁场区域，磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里。
一比荷为
的带正电粒子（不计重力）从磁场区域边界上的
点以大小为
的速
度垂直边界进入磁场（取
）。
(1)求带电粒子在磁场中的运动时间
及离开磁场的位置到
点的距离；
(2)将磁场分成若干宽度均为
部分，相邻两磁场区域为真空，间距为
，如图乙所示，其余
条件不变。求带电粒子从原位置进入磁场后在磁场中的运动时间
及离开磁场的位置到
的距离
。
【答案】(1)
，
(2)
，
【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为
，根据洛伦兹力提供向心力
解得
粒子离开位置距
点
粒子做圆周运动的周期为
故粒子在磁场中的运动时间
（2）由于
，故带电粒子最低只能进入第二个磁场区，如图所示
它在磁场区运动的总时间仍为半个周期
设带电粒子经过第一个磁场区时速度偏向角为
，则有
所以它在无磁场区的路程
粒子离开位置距
点
19．如图所示，一个质量为
、电荷量为
的带电粒子从
轴正方向上的
点以速度沿与
轴成
角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直
轴射出第一象限。已知
，匀强磁场方向
垂直第一象限，不计带电粒子的重力。求：
(1)匀强磁场的方向，并画出粒子的轨迹；
(2)匀强磁场的磁感应强度
的大小；
(3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。
【答案】(1)垂直纸面向外，轨迹如图
(2)
(3)
【详解】（1）由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，轨迹如图
（2）由几何关系可知
由
可得
（3）带电粒子穿过第一象限转过的角度为
所用的时间
20．如图所示，半径为R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒
子从图中P 点以速度v 沿直径方向射入磁场，经磁场偏转
后从Q 点射出磁场。忽略粒子的重力，已
知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
(1)粒子的比荷；
(2)粒子在磁场中运动时间；
(3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P 点射入，仍从Q 点射出，则圆形磁场的最小面积
为？
【答案】(1)
(2)t =
(3)
【详解】（1）粒子轨迹如图
几何关系可知粒子轨迹圆半径
R
根据
联立解得
（2）
粒子在磁场中运动的时间为
T=
（3）当PQ 为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小，
几何关系可知PQ 长为
，
则最小面积为
21．如图所示，真空室内，边界
下方区域存在磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场（
上方无磁场），
是荧光屏（上下两面有粒子到达时均能发出荧光），
。在
处有一粒
子发射管（不计长度），能从两端分别沿管方向发射不同速率的粒子，一端发射正粒子，另一端发射负粒
子。发射的粒子经一段时间后打在荧光屏上。已知粒子的比荷绝对值均为
，不计
粒子重力，不计粒子间的相互作用。求：
(1)若垂直于
向上发射的正粒子在
处被吸收，求粒子速度大小；
(2)若垂直于
向上发射的正粒子最远到达
处，求
的长度；
(3)若将发射管在纸面内逆时针转过角（不确定，且
，其两端先后发射速率为
的正负各一个粒子，这两个粒子同时到达荧光屏上
处（图中未标出），求发射两个粒
子的最大时间间隔
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）轨迹如图甲所示，几何关系可知
又
解得粒子速度大小
（2）当轨迹和
相切时，在接收屏上位置最远，轨迹如图甲，此时
则
（3）可知上端发射正粒子，下端发射负粒子，才能使两个粒子均击中屏幕。且两粒子从发射到击中屏幕
的轨迹组合成一个整圆。
当
时，两粒子的轨迹长度之差为零，则发射两粒子的时间间隔为零。之后随
增大，时间差逐渐增
大。
，即
则可知当发射管旋转角度达到某值后，向左上发射的正粒子将飞出磁场区域，则不符合题意，设转动
后
正粒子刚好不飞出磁场区域，则其轨迹与
相切，如图乙，
由几何关系可知
此时初速度与
成
角，有
发射两个粒子的最大时间间隔
22．如图，
平面内有两个匀强磁场，y 轴左侧的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小为
，y 轴右侧
的磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为
，
和
大小未知。质量为m、电荷量为
的粒子，从x 轴上A 点
以速度
沿y 轴正方向射入磁场，恰好能垂直y 轴击中其上D 点
，若该粒子从O 点以速度
沿与x 轴正方向成
角射出，
，经过磁场偏转后能击中D 点，
不计粒子重力。
(1)求k 值大小；
(2)求粒子由O 运动到D 的时间可能值；
(3)若从x 正半轴上M 点以
沿某方向发射该粒子，也恰好垂直y 轴击中D 点，求M 距O 点的距离。
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，有
由题意
因
，则
，由几何关系
所以
（2）若粒子从y 轴左侧击中D 点，则有
其中
即
因
，即
解得
·
所以
，
（本题用反三角函数表示也给分，
）
粒子由O 到D 的时间为
（反三角函数答案为
）
若粒子从y 轴右侧击中D 点，则有
其中
即
因
，即
解得
所以
，
粒子由O 到D 的时间为
（3）设
的方向与x 轴正半轴的夹角为
，如图所示
则有
求得
，
M 距O 点的距离为
