文档文本内容
第 01 讲 随机抽样、统计图表
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................4
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................4
高频考点一：简单随机抽样....................................................................................4
高频考点二：分层随机抽样及其应用.....................................................................6
高频考点三：统计图表（扇形图、条形图）.........................................................7
高频考点四：统计图表（折线图）.......................................................................10
高频考点五：统计图表（频率分布直方图）.......................................................13
第一部分：基础知识
知识点一：简单随机抽样
(1)简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
知识点二：总体平均数与样本平均数知识点三：分层随机抽样
名称 定义
一般地，总体中有 个个体，它们的变量值分别为
总体均值（总体平均数）
, , , ，则称
为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的 个变量值中，不同的值共有 （
）个，不妨记为 , , , ，其中 出现
的频率 （ ）则总体均值还可以写成
加权平均数的形式
如果从总体中抽取一个容量为 的样本，它们的变
量值分别为 ， ， ，则称
样本均值（样本平均数）
为样本均值，又称
样本平均数.
说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值 去估计总体平均数 ；
（2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）；
（3）一般情况下，样本量越大，估计越准确.
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总
体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为
分层随机抽样，每一个子总体称为层.
（2）分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为 和 ，抽取的样本量
分 别 为 和 ， 第 1 层 和 第 2 层 的 样 本 平 均 数 分 别 为 ， ， 样 本 平 均 数 位 ， 则
.我们可以采用样本平均数 估计总体平均数
知识点四：统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
（3）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．
②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容
量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
③将数据分组．
④列频率分布表．计算各小组的频率，第 组的频率是.
⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它
反映了各组样本观测数据的疏密程度．
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，
单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：简单随机抽样
典型例题
例题1．（23-24高一下·天津南开·期末）利用简单随机抽样的方法，从n个个体（ ）中抽取13个个
体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能
性为（ ）．
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将
50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2
行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是 ．
例题3．（24-25高二·上海·随堂练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，要随机选取5
个个体，选取方法是从由Execl软件中的随机函数 制作的一个随机数表中由第1行第5列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．
7816 6572 0802 6314 0701 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
练透核心考点
1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班
作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·江苏常州·期末）为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔
子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子
共有10只，估计此草场内约有兔子 只.
3．（24-25高二·上海·课堂例题）某班有34位同学，座位号记为01、02、…、34，用如图的随机数表选取
5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座位号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数
字开始，由左到右依次选取两个数字，请依次写出选出的5位志愿者的座位号.
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
高频考点二：分层随机抽样及其应用
典型例题例题1．（多选）（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，
女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容
量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列
说法正确的是（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m， ， ；n，
， ．记样本平均数为 ，样本方差为 ， ．
A．男生样本容量为50 B．每个女生被抽到的概率
C．抽取的样本的均值为165 D．抽取的样本的方差为43
例题2．（24-25高二上·重庆·开学考试）某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班
50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访
谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是 ．
例题3．（23-24高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社
会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青
年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课
外阅读时间，将统计数据按照 ， ，… ， 组后绘制成如图所示的频率分布
直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(1)求 的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3)若样本数据在 与 内的方差分别为 ， ，计样本数据在 内的方差 .
练透核心考点
1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性
别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为 ，标准差为4.则样本中所有员工的体重的
标准差为 .
2．（24-25高三上·上海·开学考试）某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调
查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ．
类 中年教
老年教师 青年教师 合计
别 师
人
36 72 64 172
数
3．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）学校为了解学生身高(单位： 情况，采用分层随机抽样的方法
从 名学生（男女生人数之比为 ）中抽取了一个容量为 的样本.其中，男生平均身高为 ，方
差为 ，女生平均身高为 ，方差为 ，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 ．
高频考点三：统计图表（扇形图、条形图）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·期末）某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2
所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取 的户主作为样
本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A．400，32 B．400，36 C．480，32 D．480，36
例题2．（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）某个高级中学组织物理､化学学科能力竞赛，全校1000名学生都参加两科考试，考试后按学科分别评出一､二､三等奖和淘汰的这四个等级，现有某考场的两科考试数
据统计如下，其中物理科目成绩为二等奖的考生有12人.如果以这个考场考生的物理和化学成绩去估计全
校考生的物理和化学成绩分布，则以下说法正确的是（ ）
①该考场化学考试获得一等奖的有4人；
②全校物理考试获得二等奖的有240人；
③如果采用分层抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰78人.
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
例题3．（23-24高一下·广东东莞·期末）为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随
机抽样方法从高一､高二､高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一､高二､高三年级
学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为（ ）
A．90 B．100 C．120 D．160
练透核心考点1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该
地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生
近视人数分别为
A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，20
2．（2024·河南新乡）某中学有高中生 人，初中生 人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解
学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取女生
人，则从初中生中抽取的男生人数是
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考
入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如图所示的饼图．现要从这些同学中抽出20人
进行进一步调查，已知甲为理学专业，乙为工学专业，则下列说法不正确的是（ ）
A．分层抽样比简单随机抽样更合理
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应抽取6人和4人
C．若按专业类型进行分层抽样，则甲被抽到的可能性比乙大
D．该问题中的样本容量为20高频考点四：统计图表（折线图）
典型例题
例题1．（24-25高二上·山西朔州·阶段练习）如图是一个病人在5月1日和5月2日48小时内的体温记录
折线图，根据此图，下列叙述不正确的是（ ）
A．每六小时为病人测量一次体温
B．病人在5月1日6 12时体温下降最快
C．病人在5月2日18时体温是
D．病人在5月1日18时至5月2日18时体温一直在下降
例题2．（2024·广西柳州）空气质量的指标 是反映空气质量状况的指数， 指数的值越小，表明空
气质量越好， 指数不超过50，空气质量为优， 指数大于50且不超过100，空气质量为良，
指数大于100，空气质量为污染，如图是某市2020年空气质量指标 的月折线图.下列关于该市2020年
空气质量的叙述中不一定正确的是（ ）
A．全年的平均 指数对应的空气质量等级为优或良.
B．每月都至少有一天空气质量为优.
C．空气质量为污染的天数最多的月份是2月份.
D．2月，8月，9月和12月均出现污染天气.例题3．（多选）（24-25高一上·全国·单元测试）某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额
（单位：万元）进行统计并得到如图所示的折线图．
下面关于两个门店营业额的分析中，正确的是（ ）
A．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而平均营业额约为32万元
B．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均数在 内
C．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势
D．乙门店在这9个月中的营业额的极差为25万元
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东滨州·期末）为了研究我市甲、乙两个 智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了
去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折
线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．甲店月营业额的平均值在 内
B．乙店月营业额总体呈上升趋势
C．7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少
D．乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差2．（2024·山东·模拟预测）固定资产投资是以货币形式表现的、企业在一定时期内完成的建造和购置固定
资产的工作量以及与此有关的费用．我国2022年9月—2023年9月固定资产投资（不含农户）环比增速
折线图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的极差为
B．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的平均数为正数
C．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的75%分位数为
D．2022年9月—12月我国固定资产投资（不含农户）环比增速的波动幅度比2023年4月—7月的波
动幅度大
3．（2024·四川·模拟预测）下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销
售量折线图（单位：杯），则下列选项错误的是（ ）
A．这8个月月销售量的极差是3258 B．这8个月月销售量的中位数是3194
C．这8个月中2月份的销量最低 D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份高频考点五：统计图表（频率分布直方图）
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘
制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间 的人数约为（ ）
A．200 B．220 C．240 D．260
例题2．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）从某中学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：
cm）绘制成频率分布直方图，若要从身高在 ， ， 三组内的学生中，用分层抽
样的方法选取32人参加一次活动．则从身高在 内的学生中选取的人数应为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
例题3．（24-25高三上·上海·阶段练习）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志
愿者的舒张压（单位：kPa）的分组区间为 ， .将其按从左到右的顺序分
别编号为第一组，第二组， ，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二
组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数是（ ）.A．8 B．12
C．16 D．18
练透核心考点
1．（23-24高一上·浙江衢州·期末）某中学举行的电脑知识竞赛，满分100分，80分以上为 优秀， 现将
高一两个班参赛学生的成绩整理后分成五组，绘制频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第
四、第五小组频率分别为0.30、0.05、0.10、0.05. 第二小组频数为40，则参赛的人数和成绩优秀的概率分
别为（ ）
A．100，0.15 B．100，0.30
C．80，0.15 D．80，0.30
2．（23-24高三上·天津·阶段练习）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数
据（单位： ）进行分组，区间为 ，将其按从左到右的顺序分别
编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三
组的频率之比为 ，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）A．48 B．5 C．54 D．60
3．（25-26高二上·上海·单元测试）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生
产该产品的数量．产品数量的分组区间为： 、 、 、 、 ，由此得到频
率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在 的人数是（ ）
A．5 B．8 C．13 D．17
