106.回归分析与独立性检验

106.线性回归分析与独立性检验 
一．基本原理 
一．相关性检验 
1.相关系数：
 







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











2.相关系数r 的性质 
（1）当r>0 时，称成对样本数据正相关；当r<0 时，成对样本数据负相关；当r＝0 时，
成对样本数据间没有线性相关关系． 
（2）样本相关系数r 的取值范围为[－1，1]． 
当|r|越接近1 时，成对样本数据的线性相关程度越强； 
当|r|越接近0 时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 
二．线性回归与最小二乘法 
1 回归直线方程过样本点的中心
，是回归直线方程最常用的一个特征 
( , )
x y
2 我们将
称为
关于
的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


Y
x
图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的
叫做
ˆ ˆ
,b a
b，a 的最小二乘估计，其中
 





1
1
2
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
.
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nx y
b
x
x
x
nx
a
y
bx
























3 残差的概念 
对于响应变量
，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的
称为预测
Y
ˆy
值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断
模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分
析． 
4 刻画回归效果的方式 
（i）残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估
计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状
区域越窄，则说明拟合效果越好． 
（ii）残差平方和法：残差平方和
，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残


2
1
ˆ
n
i
i
i
y
y



差平方和越大，模型拟合效果越差． 
（iii）利用
刻画回归效果：决定系数
是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型
2
R
2
R
中，它代表解释变量客立预报变量的能力．
，
越大，即拟合效果越




2
2
1
2
1
ˆ
1
n
i
i
i
n
i
i
y
y
R
y
y







2
R
好，
越小，模型拟合效果越差． 
2
R
三．独立性检验 
1．2×2 列联表 
一般地，假设有两个分类变量X 和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2 列联
表为 
 
y1 
y2 
合计 
x1 
a 
b 
a＋b 
x2 
c 
d 
c＋d 
合计
a＋c 
b＋d 
a＋b＋c＋d 
 
2.独立性检验 
（1）
 统计量也可以用来作相关性的度量．
越小说明变量之间越独立，
越大说
2
K
2
K
2
K
明变量之间越相关 
. 
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d






忽略
的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值
，可以找到相应的正实
2
K

数
，使得
成立．我们称
为
的临界值，这个临界值就可作为判断
大
x
)
(
2
x
K
P

x

2
K
小的标准． 
（2）独立性检验 
基于小概率值α 的检验规则是： 
当
时，我们就推断H0 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超
x
K 
2
过α； 
当
时，我们没有充分证据推断H0 不成立 ，可以认为X 和Y 独立． 
x
K 
2
这种利用
的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为
独立性检验，读作“卡方
2
K
2
K
独立性检验”，简称独立性检验(test of  independence)． 
3.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 
（1）提出零假设H0：X 和Y 相互独立，并给出在问题中的解释； 
（2）根据抽样数据整理出2×2 列联表，计算
的值，并与临界值
比较； 
2
K
x
（3）根据检验规则得出推断结论； 
（4）在X 和Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X 和Y 间的影响
规律． 
二．典例分析 
例1.（2022 年全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计
一林区某种树木的总材积量，随机选取了10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积
（单位：
）和材积量（单位：
），得到如下数据： 
2
m
3
m
样本号 i
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
总和 
根部横截
面积
 
ix
0．0
4 
0．0
6 
0．0
4 
0．0
8 
0．0
8 
0．0
5 
0．0
5 
0．0
7 
0．0
7 
0．0
6 
0．6 
材积量
 
iy
0．2
5 
0．4
0 
0．2
2 
0．5
4 
0．5
1 
0．3
4 
0．3
6 
0．4
6 
0．4
2 
0．4
0 
3．9 
并计算得
，
，
． 
10
2
1
0.038
i
i
x



10
2
1
1.6158
i
i
y



10
1
0.2474
i
i
i
x y



（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； 
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）； 
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面
积总和为
．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该
186
2
m
林区这种树木的总材积量的估计值． 
附：相关系数
，
． 







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











1.896
1.377

 
解析：（1）样本中10 棵这种树木的根部横截面积的平均值
，样本中10 棵
0.6
0.06
10
x 

这种树木的材积量的平均值
 
3.9
0.39
10
y 

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为
，平均一棵的材积量为
2
0.06m
 
3
0.39m
（2）
 







10
10
i
i
i
i
i=1
i=1
10
10
10
10
2
2
2
2
2
2
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
i=1
10
10
10
x
x
y
y
x y
xy
r
x
x
y
y
x
x
y
y
























 
2
2
(0.038 10 0.06 )(1.6158 1
0.2474 10 0.06 0.39
0.0134
0.0134
0.97
0.01377
0.000
0 0
189
9
6
.3
)











则
 
0.97
r 
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为
，又已知树木的材积量与其根部横截
3
m
Y
面积近似成正比，可得
，解之得
．则该林区这种树木的总材积量
0.06
186
=
0.39
Y
3
=1209m
Y
估计为
 
3
1209m
例2（2022 年新高考1 卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习
惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100
例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100 人（称为对照组），得到如
下数据： 
 
不够良好 
良好 
病例组 
 
40
60 
对照组 
10 
90 
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ 
附：
， 
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d






解析：（1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异， 
则
，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患
2
2
200(40
90
60 10)
24
10.828
50 150 100 100
K









该疾病群体的卫生习惯有差异. 
例3．2023 年3 月5 日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效
投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、
调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013~2022
这十年的国内旅客人数作了初步处理，用
和
分别表示第年的年份代号和国内游客人
ix
iy
i
数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图． 
年份 
2013 
2014 
2015 
2016 
2017 
2018 
2019 
2020 
2021 
2022 
年份代码x 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
国内游客数y 
3262 
3611 
3990 
4432 
5000 
5542 
6006 
2879 
3246 
2530 
 
（1）2020 年~2022 年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩
余样本数据
（
，2，3，…，7）建立国内游客人数
关于年份代号
的一元线性


,
i
i
x y
1
i 
y
x
回归模型； 
（2）2023 年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023 年国内旅游人数约4550 百万人次，
假若2024 年∼2027 年能延续2013 年∼2019 年的增长势头，请结合以上信息预测2027 年国
内游客人数． 
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，





1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x








 


ˆ
a
y
bx


参考数据：
，
 
7
1
31843
i
i
y






7
1
4
4549
13104
i
i
i
x
y





解析：（1）由题可得
，
1 (1
2
3
4
5
6
7)
4
7
x 






， 


7
2
1
4
9
4 1 0 1
4
9
28
i
i
x









，所以
， 
7
1
1
454
31843
7
9
7
i
i
y
y










7
1
7
2
1
4
4549
13104
ˆ
468
28
4
i
i
i
i
i
x
y
b
x










， 
4549
468 4
2677
a 



所以根据样本数据
（
，2，3，…，7）建立一元线性回归模型为


,
i
i
x y
1
i 

468
2677
y
x


； 
（2）由
可知，年份每增加1 年国内旅游人数将增加468 百万人次， 

468
2677
y
x


所以预测2027 年国内游客人数为
百万人次. 
468 4
4550
6422



三．习题演练 
1．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5
组数据，作如图所示的散点图．若去掉
后，下列说法正确的是（    ） 


10,2
D
 
A．相关系数r 变小 
B．决定系数
变小 
2
R
C．残差平方和变大 
D．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强 
解析：从图中可以看出
较其他点，偏离直线远，故去掉
后，回归效果更


10,2
D


10,2
D
好， 
对于A，相关系数
越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉
后，相关系数r
r


10,2
D
变大，故A 错误； 
对于B，决定系数
越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉
后，决定系数
2
R


10,2
D
2
R
变大，故B 错误； 
对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉
后，残差平方和变小，


10,2
D
故C 错误； 
对于D，若去掉
后，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，且是正相关，故D


10,2
D
正确．故选：D． 
2．为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5 组样本数据(见下表)： 
x 
1 
2 
3 
4 
5 
y 
0.5 
0.8 
1 
1.2 
1.5 
假设经验回归方程为
，则（    ） 
ˆ
ˆ
0.28
y
bx


A．
 
ˆ
0.24
b 
B．当
时，y 的预测值为2.2 
8
x 
C．样本数据y 的40%分位数为0.8 
D．去掉样本点
后，x 与y 的样本相关系数r 不变 


3,1
解析：对于A 选项：线性回归方程
必过点
，
，
，解得
ˆ
ˆ
0.28
y
bx




,x y
3
x 
1
y 
ˆ
0.24
b 
，所以选项A 正确； 
对于B 选项：当
时，
可以的出y 的预测值为2.2,所以B 选项正确； 
8
x 
ˆ
0.24
0.28
y
x


对于C 选项：从小到大排列共有5 个数据，则
是整数，则第40 百分位数为
5 40%
2
i 

从小到大排列的第3 个数据， 
即第40 百分位数为3，所以C 选项错误； 
对于D 选项：因为相关系数为
, 







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











5 组样本数据的相关系数为： 
， 




















5
1
5
5
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
0.5
1
0.2
0 0 1 0.2
2 0.5
4 1 0 1
4
0.5
0.2
0
0.2
0.5
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y

























去掉样本中心点
后相关系数为


3,1
， 




















4
1
4
4
2
2
2
2
2
2
1
1
2
0.5
1
0.2
1 0.2
2 0.5
4 1 1
4
0.5
0.2
0.2
0.5
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y























 所以相关系数r 不变,所以D 选项正确；故选：ABD. 
3.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利
用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带
货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023 年8 月
使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计． 
年月 
2023 年8
月 
2023 年9
月 
2023 年10
月 
2023 年11
月 
2023 年12
月 
2024 年1
月 
月份编号
 
x
1 
2 
3 
4 
5 
6 
销售金额y
／万元 
15.4 
25.4 
35.4 
85.4 
155.4 
195.4 
若
与
的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： 
y
x
（1）试求变量
与
的样本相关系数（结果精确到0.01）； 
y
x
r
（2）试求
关于
的经验回归方程，并据此预测2024 年2 月份该公司的销售金额． 
y
x
附：经验回归方程
，其中
，
， 
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a







1
1
2
2
2
1
1
ˆ
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
x
x
x
nx















ˆ
ˆa
y
bx


样本相关系数
； 







1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
r
x
x
y
y
x
nx
y
ny





















参考数据：
，
． 
6
1
2463.4
i
i
i
x y





6
2
1
20 70
i
i
y
y




解析：（1）
， 
1
2
3
4
5
6
7
15.4
25.4
35.4
85.4 155.4 195.4
,
85.4
6
2
6
x
y












， 
6
2
2
1
49
6
1
4
9 16
25
36
6
17.5
4
i
i
x
x










所以
. 
1
2
2
2
2
1
1
6
6
6
7
6
2463.4
6
85.4
670
2
0.96
20 35
17.5
20 70
6
6
i
i
i
i
i
i
i
x y
xy
r
x
x
y
y

















（2）由题意
， 
1
2
2
1
6
6
7
6
2463.4
6
85.4
2
ˆ
38.3
17.5
6
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x











所以
， 

7
85.4
38.3
48.7
2
a 



所以
关于
的经验回归方程为
， 
y
x
38.3
48.7
y
x


所以预测2024 年2 月份该公司的销售金额为
万元. 
38.3 7
48.7
219.4
y 

