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§9.3 成对数据的统计分析
课标要求 1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2×2 列联表，会运用这些方法解
决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析.
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关
系称为相关关系.
(2)相关关系的分类： 和 .
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们
就称这两个变量线性相关.
2.样本相关系数
(1)r=
n
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
∑
i=1
( xi- x)
2
√
n
∑
i=1
( yi- y)
2
.
(2)当r>0 时，称成对样本数据 ；当r<0 时，称成对样本数据 .
(3)|r|≤1；当|r|越接近1 时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当|r|越接近0 时，成对样本数
据的线性相关程度越 .
3.一元线性回归模型
(1)我们将y
^ =b
^x+a
^称为Y 关于x 的经验回归方程，
其中{
b
^
=
n
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
∑
i=1
( xi- x)
2
,
a
^
= .
(2)残差： 减去 所得的差称为残差.
4.列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X 和Y 的抽样数据的2×2 列联表：
X
Y
合计
Y=0
Y=1
X=0
a
b
a+b
X=1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
(2)计算统计量χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)，利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为
χ2独立性检验.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.( )
(2)经验回归直线y
^ =b
^x+a
^至少经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点.( )
(3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.( )
(4)事件X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越小.( )
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的值越接近于1
B.当r=1 时，两变量呈函数关系
C.当经验回归方程为y
^ =0.3-0.7x 时，变量x 和y 负相关
D.在经验回归方程y
^ =0.4+0.5x 中，当x 每增加1 个单位时，相应观测值y 增加0.5 个单位
3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为( )
A.男性喜欢参加体育活动
B.女性不喜欢参加体育活动
C.喜欢参加体育活动与性别有关
D.喜欢参加体育活动与性别无关
4.已知变量x 和y 的统计数据如表：
x
6
7
8
9
10
y
3.5
4
5
6
6.5
若由表中数据得到经验回归方程为y
^ =0.8x+a
^，则当x=10 时的残差为 (注：观测值减去预测值所得
的差称为残差).
1.经验回归直线过点(x，y).
2.求b
^时，常用公式b
^=
n
∑
i=1
xi yi-n x y
n
∑
i=1
xi
2-n x
2
.
3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
题型一 成对数据的相关性
例1 (1)(多选)(2025·绵阳模拟)下列说法正确的是( )
A.回归分析中，样本相关系数r 的取值范围为(-1，1)
B.回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽
度越窄表示拟合效果越好
C.回归分析中，决定系数R2越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好
D.两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值越接近于0
(2)已知变量x 与变量y 线性相关，x 与y 的样本相关系数为-0.8，且由观测数据算得样本平均数x=5，y
=6，则由该观测数据算得的经验回归方程可能是( )
A.y
^ =0.8x+2
B.y
^ =x+1
C.y
^ =-0.8x+9
D.y
^ =-x+11
思维升华 判定两个变量相关性的方法
(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个
变量负相关.
(2)样本相关系数：当r>0 时，正相关；当r<0 时，负相关；|r|越接近1，线性相关性越强.
(3)经验回归方程：当b
^>0 时，正相关；当b
^<0 时，负相关.
跟踪训练1 (多选)下列有关回归分析的结论中，正确的有( )
A.若经验回归方程为y
^ =5+2x，则变量y 与x 正相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过点(x，y)
C.决定系数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
D.若散点图中所有点都在直线y=0.93x-3.6 上，则样本相关系数r=0.93
题型二 回归模型
命题点1 一元线性回归模型
例2 (2024·新乡模拟)氮氧化物是一种常见的大气污染物，如图为我国2014 年至2022 年氮氧化物排放
量(单位：万吨)的折线图，其中年份代码1~9 分别对应年份2014~2022.
已知
9
∑
i=1
yi≈12 000，√
9
∑
i=1
( yi- y)
2≈1 100，√
9
∑
i=1
(ti-t )
2≈7.7，
9
∑
i=1
tiyi≈51 800.
(1)可否用一元线性回归模型拟合y 与t 的关系？请分别根据折线图和样本相关系数加以说明；
(2)若根据所给数据建立经验回归方程y
^ =-138t+2 025，可否用此方程来预测2025 年和2035 年我国的氮
氧化物排放量？请说明理由.
附：样本相关系数r＝
n
∑
i=1
ti yi-nt y
√
n
∑
i=1
(ti-t )
2 n
∑
i=1
( yi- y)
2
.
命题点2 非线性回归模型
例3 某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开
展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20 间大棚(每间一亩)进行试点，得
到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：吨/亩)，记
w=ln x.
参考数据：
20
∑
i=1
xi
20
∑
i=1
yi
20
∑
i=1
wi
20
∑
i=1
xi
2
20
∑
i=1
yi
2
20
∑
i=1
wi
2
20
∑
i=1
xiyi
20
∑
i=1
wiyi
290
102.4
52
4 870
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：y 关于x 的经验回归方程y
^
＝b
^x＋a
^中，b
^
＝
n
∑
i=1
xi yi-n x y
n
∑
i=1
xi
2-n x
2
，a
^
＝y －b
^
x.
(1)根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+dln x 哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x 的经验回归方
程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；
(3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14 小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方
程估计当光照时长为e2小时时(e 为自然对数的底数)，大棚蔬菜的亩产量.
思维升华 求经验回归方程的步骤
跟踪训练2 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数
y(个)和平均温度x(摄氏度)有关，现收集了以往某地的7 组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
参考数据(z＝ln y)：
7
∑
i=1
xi
2
7
∑
i=1
xiyi
7
∑
i=1
xizi
x
y
z
5 215
17 713
714
27
81.3
3.6
(1)根据散点图判断，y＝bx＋a 与y＝cedx(其中e＝2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产
卵数y(个)关于平均温度x(摄氏度)的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)由(1)的判断结果及表中数据，求出y 关于x 的经验回归方程.
附：y
^
＝b
^x＋a
^中，b
^
＝
n
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
∑
i=1
( xi- x)
2
＝
n
∑
i=1
xi yi-n x y
n
∑
i=1
xi
2-n x
2
，a
^
＝y －b
^
x.
题型三 列联表与独立性检验
例4 (2025·八省联考)为考察某种药物A 对预防疾病B 的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下
列联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
s
服用
150
70
220
合计
250
t
400
(1)求s，t；
(2)记未服用药物A 的动物患疾病B 的概率为p，给出p 的估计值；
(3)根据小概率值α=0.01 的独立性检验，能否认为药物A 对预防疾病B 有效？
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d ).
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
思维升华 独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2 列联表.
(2)根据公式χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )计算.
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.
跟踪训练3 (2025·绵阳诊断)近年来，随着深入贯彻新时代强军思想，越来越多的优秀青年学子献身国
防，投身军营，高考结束后，很多高考毕业生报考了军事类院校.从某地区学校的高三年级中随机抽取
了900 名学生，其中男生500 人，女生400 人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100
名.
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
女学生
合计
(2)根据小概率值α=0.10 的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意向与性别有关？
参考公式及数据：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
答案精析
落实主干知识
1.(2)正相关 负相关
2.(2)正相关 负相关 (3)强 弱
3.(1)y-b
^
x
(2)观测值 预测值
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.BC 3.D 4.-0.1
探究核心题型
例1 (1)BC [回归分析中，样本相关系数r 的取值范围为[-1，1]，故选项A 错误；
因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，
故选项B 正确；
因为决定系数R2越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，即模型的拟合效果越好，故选项C 正确；
两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值越接近于1，故D 错误.]
(2)D [因为x 与y 的样本相关系数为-0.8<0，可知x 与y 为负相关，故A，B 错误；
又因为经验回归直线过点(5，6)，对于y
^ =-0.8x+9，-0.8×5+9=5≠6，故C 错误；
对于y
^ =-x+11，-5+11=6，故D 正确.]
跟踪训练1 ABC [因为经验回归方程为y
^ =5+2x，可知2>0，所以变量y 与x 正相关，故A 正确；
由经验回归方程的性质可知，经验回归直线一定经过点(x，y)，故B 正确；
决定系数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故C 正确；
散点图中所有点都在直线y=0.93x-3.6 上，则|r|=1，且0.93>0，所以变量y 与x 正相关，即r>0，可知r=1，
故D 错误.]
例2 解 (1)从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系，
由题意知t=1
9×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5，
样本相关系数r＝
9
∑
i=1
ti yi-9t y
√
9
∑
i=1
(ti-t )
2 9
∑
i=1
( yi- y)
2
≈51 800-5×12 000
7.7×1 100
＝－8 200
8 470≈－0.97.
故可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.
(2)可以预测2025 年的氮氧化物排放量，但不可以预测2035 年的氮氧化物排放量.
理由如下：
①2025 年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模
型进行预测；
②2035 年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保
持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的.
例3 解 (1)根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y=c+dln x 更
适宜作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x 的经验回归方程类型.
(2)w=ln x，则y=c+dln x，
即y=c+dw，
y ＝
20
∑
i=1
yi
20
＝102.4
20
＝5.12，
w ＝
20
∑
i=1
wi
20
＝52
20
＝2.6，
d
^
＝
20
∑
i=1
wi yi-20w y
20
∑
i=1
wi
2-20w
2
＝272.1-20×2.6×5.12
137 -20×2.6
2
≈3.26，
c
^=y-d
^
w≈5.12-3.26×2.6≈-3.36，
所以y
^ =3.26w-3.36，
即y
^ =3.26ln x-3.36.
(3)当x=e2时，y
^ =3.26ln e2-3.36=3.16.
即大棚蔬菜亩产量约为3.16 吨.
跟踪训练2 解 (1)由散点图可以判断，随温度升高，平均产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增
长特点，
所以y=cedx更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的经验回归方程类型.
(2)将y=cedx两边同时取自然对数，可得ln y=ln c+dx，
即z=ln c+dx，
由题中的数据可得，
7
∑
i=1
xizi－7x z＝33.6，
7
∑
i=1
( xi- x)
2＝
7
∑
i=1
xi
2－7x
2＝112，
所以d
^
＝
7
∑
i=1
xi zi-7 x z
7
∑
i=1
xi
2-7 x
2
＝33.6
112 ＝0.3，则ln c
^
＝z－d
^
x＝3.6－0.3×27＝－4.5，
所以z 关于x 的经验回归方程为z
^=0.3x-4.5，故y 关于x 的经验回归方程为y
^ =e0.3x-4.5.
例4 解 (1)s=100+80=180，t=80+70=150.
(2)∵80
180=4
9 ，∴p 的估计值为4
9 .
(3)零假设H0：药物A 对预防疾病B 无效.
根据列联表中的数据可得χ2=400×(100×70-80×150)
2
250×150×180×220
=2 000
297
≈6.734>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01 的独立性检验，推断H0不成立，
即认为药物A 对预防疾病B 有效.
跟踪训练3 解 (1)根据已知条件，填写2×2 列联表如下.
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
100
400
500
女学生
100
300
400
合计
200
700
900
故估计该地区高三男生有报考军事类院校意向的概率为100
500=1
5 ，
女生有报考军事类院校意向的概率为100
400=1
4 .
(2)零假设为H0：学生有报考军事类院校意向与性别无关，
χ2=900×(100×300- 400×100)
2
200×700×400×500
≈3.214>2.706=x0.10，
所以根据小概率值α=0.10 的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生有报考军事类院校的意向与性
别有关.
