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追及相遇问题 目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2.会在图像中分析追及相遇问题。3.熟练运用运动学公 式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。 考点一 追及相遇问题 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 追及相遇问题的基本物理模型：(以甲追乙为例) 1.二者距离变化与速度大小的关系 (1)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲<v 乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲>v 乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2.分析思路 可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断 问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3.常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之 间距离有最小值。 物体甲追赶物体乙：开始时，两个物体相距x0，当v 甲＝v 乙时，若x 甲>x 乙＋x0，则能追上；若x 甲＝x 乙＋x0， 则恰好追上；若x 甲<x 乙＋x0，则不能追上。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 例1 (2025·山东莱西市校考)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m 处有一安全车正以10 m/s 的速度 匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求： (1)赛车出发3 s 末的瞬时速度大小； (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小； (3)追上之前两车的最大距离。 答案 (1)6 m/s (2)20 s 40 m/s (3)225 m 解析 (1)赛车出发3 s 末的瞬时速度大小为 v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。 (2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得 v0t2＋200 m＝1 2a1t2 2，解得t2＝20 s 此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s (3)方法一 物理分析法 当两车速度相等时，两车相距最远 由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间 t3＝v0 a1 ＝10 2 s＝5 s，追上之前两车最远相距 Δs＝v0t3＋200 m－1 2a1t3 2 ＝(10×5＋200－1 2×2×52) m＝225 m。 方法二 二次函数法 Δs＝v0t＋200－1 2a1t2＝10t＋200－t2 当t＝-b 2a ＝-10 2×(-1) s＝5 s 时，Δs 有极值，相距最远，将t＝5 s 代入解得Δsmax＝225 m。 方法三 图像法 从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t0＝10 m/s，得t0＝5 s 时相距最远，Δsmax＝v0t0－v0 2 t0 ＋200 m＝225 m。 拓展 若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两 车再经过多长时间第二次相遇？(设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图 像法两种方法解题) 答案 20 s 解析 方法一 物理分析法 假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4－1 2a2t 4 2＝v0t4 解得t4＝15 s 赛车停下来的时间t'＝v a2 ＝40 4 s＝10 s 所以t4＝15 s 不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动 设再经时间t5两车第二次相遇，应满足v 2 2a2 ＝v0t5，解得t5＝20 s。 方法二 图像法 赛车和安全车的v－t 图像如图。由图知t＝10 s，赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由v0t5＝v 2 2a2 ，得t5＝20 s。 例2 大雾天气，有甲、乙两车在同一平直车道上匀速行驶，甲车在后速度大小v1为14 m/s，乙车在前 速度大小v2为10 m/s，某时刻甲车车头与乙车车尾间的距离为L0＝30.5 m，此时乙车突然以大小为1 m/s2 的加速度a0刹车，经过时间t0甲车车头与乙车车尾间的距离减为L＝14 m，为了避免两车相撞，此时甲车 也立即刹车做匀减速直线运动，求： (1)t0的值； (2)刹车后，甲车做匀减速直线运动的加速度至少多大。 答案 (1)3 s (2)2.75 m/s2 解析 (1)在t0时间内，甲、乙两车的位移分别为 x1＝v1t0，x2＝v2t0－1 2a0t0 2 又x1－x2＝L0－L，解得t0＝3 s (2)甲车开始刹车时， 乙车速度为v3＝v2－a0t0＝7 m/s 若甲车刹车后经时间t 两车速度相等(均为v)，两车恰好避免相撞，则v＝v1－at，v＝v3－a0t 时间t 内甲、乙两车的位移分别为 x3＝v1t－1 2at2，x4＝v3t－1 2a0t2 又x3－x4＝L 联立以上各式解得a＝2.75 m/s2 即甲车刹车的加速度大小至少为2.75 m/s2。 解答追及相遇问题的三种方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真 审题，建立物体运动情景图，分析两物体的速度大小关 系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、 二者相距最近或最远 函数方程判断法 设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追 上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0， 恰好追上，一解；Δ>0，两解或发生了相撞；或利用函数 极值求解二者距离最大值或最小值 图像法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画 在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题 考点二 图像中的追及相遇问题 1.x－t 图像、v－t 图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v－t 图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t 图像，再通 过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3.若为x－t 图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t 图像，可转化为v－t 图像进行分 析。 例3 我国是世界上电动汽车生产大国，电动汽车与人工智能相结合，是未来自动驾驶技术趋势。在测 试一款电动汽车的自动驾驶功能时，挑选两辆汽车a 和b 在同一直线路段进行测试，测试开始时两辆汽车 并排同时启动，两车运动的v-t 图像如图所示，则下列说法正确的是( ) A.两车启动后短时间内b 在前，a 在后，a 追赶b B.相遇前，两车之间的最大距离为v0t0 C.a 在前t0时间内的平均速度比b 在前2t0时间内的平均速度大 D.a、b 两车在(2+√2)t0时刻相遇 答案 D 解析 两车启动后短时间内，由于a 的加速度大于b 的加速度，两车初速度都为零，所以a 在前，b 在后，b 追赶a，故A 错误；根据v-t 图像可知，2t0时刻，两车速度相等，此时为b 追上a 前两车之间的最大距离，根 据v-t 图像与横轴围成的面积表示位移，可知相遇前，两车之间的最大距离为Δxmax=1 2v0t0，故B 错误；根据v- t 图像可知，a 在前t0时间内的平均速度为va=v0 2 ，b 在前2t0时间内的平均速度为vb=v0 2 ，可知a 在前t0时间内 的平均速度与b 在前2t0时间内的平均速度相等，故C 错误；在2t0时刻，两车速度相等，此时两车相距Δxmax= 1 2 v0t0，设再经过t 时间，b 追上a，则有Δxmax=xb-xa=v0t+1 2 abt2-v0t，其中b 的加速度为ab= v0 2t0 ，联立解得t=√2 t0，则a、b 两车在(2+√2)t0时刻相遇，故D 正确。 例4 (2025·山东泰安市检测)物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车 分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A 小车安装加速度传感器，B 小车安装速度传感器，两车初始 时刻速度大小均为v0＝30 m/s，A 车在前、B 车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的函数关系 图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是( ) A.t＝3 s 时两车间距离为25 m B.3~9 s 内，A 车的加速度大小大于B 车的加速度大小 C.两车最近距离为10 m D.0~9 s 内两车相遇一次 答案 C 解析 在0~3 s 内A 车做匀减速运动，A 车减速到零所需时间tA＝ v0 aA 1 ＝3 s，故在t＝3 s 时A 车减速到零， A 车前进的位移为xA＝v0 2 tA＝45 m，B 车前进的位移为xB＝v0tA＝90 m，t＝3 s 时两车间距离为Δx＝d＋xA－ xB＝55 m，故A 错误；由题图可知在3~9 s 内A 车的加速度为aA2＝5 m/s2，在v－t 图像中，图像的斜率表示 加速度，则aB＝Δv Δt ＝－5 m/s2，故A、B 两车的加速度大小相等，故B 错误；t＝3 s 后，A 车开始由静止做 匀加速运动，B 车开始做匀减速运动，3~9 s 的过程中，设经历时间t 两者速度相同，则v 共＝aA2t＝v0＋aBt， 解得t＝3 s，v 共＝15 m/s，A 车在t＝3 s 内前进的位移为x1＝v共 2 t＝22.5 m，B 车前进的位移为x2＝v0＋v共 2 t＝67.5 m，故此时两车相距的最小距离为Δxmin＝Δx＋x1－x2＝10 m，此后A 车的速度大于B 车的速度，两者 间的距离开始增大，故不可能相遇，故C 正确，D 错误。 1.(2025·山东菏泽市模拟)我国出口的高速动车组惊艳世界，中国的“名片”走向世界。如图甲中a、b 两 列动车在两平行直轨道上行驶，从某时刻两列动车前进方向的车头相遇开始计时，得到它们v-t 图像如图 乙所示，则下列说法正确的是( ) A.在30 s 时两列动车前进方向的车头又相遇 B.在0~30 s 时间内，两列动车的平均速度大小相等 C.a、b 两列动车前进方向的车头此后还能相遇一次 D.再次相遇前两列车前进方向的车头间最大距离为96 m 答案 C 解析 v-t 图像与横坐标轴围成的面积表示位移，从围成面积可看出前30 s 动车b 的位移更大，则在30 s 时两 列动车前进方向的车头没有相遇，根据v= x t 可知，在0~30 s 时间内，两列动车的平均速度大小不相等，故 A、B 错误；t=30 s 时，两列动车速度相等，再次相遇前两列动车在t=30 s 时相距最远，最远距离为Δx= 60+76 2 ×30 m-(60×10 m+60+76 2 ×20 m)=80 m，故D 错误；在t=30 s 时，动车b 在动车a 的前方，此后动车 a 会追上b 并超越，所以还能相遇一次，故C 正确。 2.(2024·山东东营市开学考)甲、乙两车在同一条平直公路上运动，其x－t 图像如图所示，已知甲车做匀变 速直线运动，其余数据已在图中标出。根据图中数据可知( ) A.t＝2 s 时刻，甲、乙两车速度大小相等 B.0~2 s 内，甲车位移等于乙车位移 C.甲车的初速度大小为2 m/s D.相遇之前，t＝0.75 s 时两车相距最远 答案 D 解析 在x－t 图像中，图线的斜率表示速度，由题图可知，t＝2 s 时刻甲车的速度大于乙车的速度，故A 错 误；由题图知，0~2 s 内，甲车位移为8 m，乙车位移为6 m，甲车位移大于乙车位移，故B 错误；由乙车x －t 图线可知，乙车做匀速直线运动，速度大小为v 乙＝3 m/s，甲车的位移表达式为x＝v0t＋1 2a1t2＋x0，将 (0，－2)、(1，0)、(2，6)代入上式，解得x0＝－2 m，v0＝0，a1＝4 m/s2，故C 错误；两车速度相同时，相距 最远，即v 甲＝v 乙＝3 m/s，则t＝ v甲 a1 ＝0.75 s，故D 正确。 3.(2024·山东潍坊市期中)5G 自动驾驶是基于5G 通信技术实现网联式全域感知、协同决策与智慧云控，相 当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G 网络超低延时的特性，让“汽车大脑”可以实时接收指令， 极大提高了汽车运行的安全性。A、B 两辆5G 自动驾驶测试车，在同一直线上向右匀速运动，B 车在A 车前，A 车的速度v1大小为8 m/s，B 车的速度v2大小为20 m/s，如图所示。当A、B 两车相距x0＝20 m 时，B 车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度a 大小为2 m/s2，从此时开始计时，求： (1)A 车追上B 车之前，两者相距的最远距离Δx； (2)A 车追上B 车所用的时间t。 答案 (1)56 m (2)15 s 解析 (1)当两车速度相等时，两车的距离最大，设经过时间t1两车速度相等，则有v1＝v2－at1 得t1＝6 s 在t1时间内A 车位移为x1＝v1t1＝48 m B 车位移为x2＝v2t1－1 2at1 2＝84 m 则两者相距的最远的距离为Δx＝x2＋x0－x1＝56 m (2)设经过时间t2，B 车停下来，则有0＝v2－at2 得t2＝10 s 此过程中A 车和B 车的位移分别为 x1'＝v1t2＝80 m x2'＝v2t2－1 2at2 2＝100 m 此时x2'＋x0>x1' 说明A 车还没追上B 车，设再经过时间t3才追上，则有x2'＋x0－x1'＝v1t3得t3＝5 s，所以A 车追上B 车所用 的时间为t＝t2＋t3＝15 s。 4.(2024·山东聊城市期中)在2023 年杭州亚运会上，若甲、乙两运动员在接力赛交接棒的过程中，为了乙 能快速接棒，甲会在接力区前适当的位置设置标记A，当甲跑到A 标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区 的前端B 处听到口令立即起跑(忽略声音传播时间及人反应时间)，已知接力区的长度为L＝20 m，甲短距 离加速后能保持v＝8 m/s 的速度跑完全程，设甲加速的距离忽略不计，乙起跑后的运动是匀加速直线运 动，求： (1)若AB 距离s0＝12 m，且乙恰好与甲共速时被甲追上，完成交接棒，则在完成交接棒时，乙离接力区末 端的距离为多大？ (2)若AB 距离s0＝20 m，乙的最大速度为vm＝6 m/s，并能以最大速度跑完全程，要使甲、乙能在接力区完 成交接棒，则乙在听到口令后加速的加速度最大为多少？ 答案 (1)8 m (2)1.8 m/s2 解析 (1)如图所示，设经过t1时间甲追上乙， 由题意知，乙恰好与甲共速时被甲追上，则对乙有s 乙＝0＋v 2 t1 对甲有vt1＝s0＋s 乙，Δs＝L－s 乙 代入数据，联立解得t1＝3 s，Δs＝8 m (2)设甲从A 跑到接力区末端所用时间为t2，对甲：t2＝s0＋L v ＝5 s 乙在接力区先加速后匀速，设加速时间为Δt，最大加速度为a，对乙： L＝0＋vm 2 Δt＋vm(t2－Δt)，a＝vm Δt 代入数据，联立解得Δt＝10 3 s，a＝1.8 m/s2。
