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第67 课时 法拉第电磁感应定律、自感和涡流
目标要求 1.理解法拉第电磁感应定律，会应用E＝n ΔΦ
Δt 进行有关计算。2.会计算导体切割磁感线产生
的感应电动势。3.了解自感现象、涡流、电磁驱动和电磁阻尼。
考点一 法拉第电磁感应定律的理解及应用
1.感应电动势
(1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势。
(2)产生条件：穿过电路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关。
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
(2)公式：E＝n ΔΦ
Δt ，其中n 为线圈匝数。
①若已知Φ－t 图像，则图线上某一点的切线斜率为ΔΦ
Δt 。
②当ΔΦ 仅由B 的变化引起时，E＝nS ΔB
Δt ，其中S 为线圈在磁场中的有效面积。若B＝B0＋kt，则ΔB
Δt ＝
k。
③当ΔΦ 仅由S 的变化引起时，E＝nB Δ S
Δt 。
④当B、S 同时变化时，则E＝nB2S2- B1S1
Δt
≠n ΔB· ΔS
Δt
。求瞬时值时，分别求出动生电动势E1和感生电
动势E2并进行叠加。
(3)感应电流与感应电动势的关系：I＝
E
R＋r 。
(4)说明：E 的大小与Φ、ΔΦ 无关，决定于磁通量的变化率ΔΦ
Δt 。
1.Φ＝0，ΔΦ
Δt 不一定等于0。( √ )
2.穿过线圈的磁通量变化越大，感应电动势也越大。( × )
3.穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大。( √ )
4.线圈匝数n 越多，磁通量越大，产生的感应电动势也越大。( × )
例1 (2023·天津卷·11)如图，有一正方形线框，质量为m，电阻为R，边长为l，静止悬挂着，一个三
角形磁场垂直于线框所在平面，磁感线垂直纸面向里，且线框中磁区面积为线框面积一半，磁感应强
度变化B＝kt(k>0)，已知重力加速度g，求：
(1)感应电动势E；
(2)线框开始向上运动的时刻t0。
答案 (1)k l
2
2 (2)2mgR
k
2l
3
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律有
E＝l
2
2 · Δ B
Δt ＝k l
2
2
(2)由题图可知线框受到的安培力大小为
FA＝BIl＝BEl
R ＝k l
3
2 R ·kt
当线框开始向上运动时有FA＝mg
解得t0＝2mgR
k
2l
3 。
针对训练1 (2023·湖北卷·5)近场通信(NFC)器件应用电磁感应原理进行通讯，其天线类似一个压平的
线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示，一正方形NFC 线圈共3 匝，其边长分别为1.0 cm、1.2
cm 和1.4 cm，图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强
度变化率为103 T/s，则线圈产生的感应电动势最接近( )
A.0.30 V
B.0.44 V
C.0.59 V
D.4.3 V
答案 B
解析 根据法拉第电磁感应定律E＝ΔΦ
Δt ，可得E1＝Δ B
Δt S1，E2＝Δ B
Δt S2，E3＝Δ B
Δt S3，三个线圈产生的感
应电动势方向相同，故E＝E1＋E2＋E3＝103×(1.02＋1.22＋1.42)×10－4 V＝0.44 V，故选B。
针对训练2 (2024·福建卷·4)拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸带，两条平行
长边镶有铜丝，将纸带一端扭转180°，与另一端连接，形成拓扑结构的莫比乌斯环，如图所示。连接
后，纸环边缘的铜丝形成闭合回路，纸环围合部分可近似为半径为R 的扁平圆柱。现有一匀强磁场从
圆柱中心区域垂直其底面穿过，磁场区域的边界是半径为r 的圆(r < R)。若磁感应强度大小B 随时间t
的变化关系为B＝kt(k 为常量)，则回路中产生的感应电动势大小为( )
A.0
B.kπR2
C.2kπr2
D.2kπR2
答案 C
解析 由题意可知，铜丝构成的莫比乌斯环形成了两匝(n＝2)线圈串联的闭合回路，穿过回路的磁场有效
面积为S＝πr2，根据法拉第电磁感应定律可知，回路中产生的感应电动势大小为E＝n ΔΦ
Δt ＝n Δ B·S
Δt ＝
2kπr2，故选C。
考点二 动生电动势的计算
1.导体平动切割磁感线产生感应电动势的算式E＝Blv 的理解
适用条件
在匀强磁场中，B、l、v 三者互相垂直。如果不相互垂直，应取垂直分量进行计算
有效长度
公式E＝Blv 中的l 为有效长度，即为导体两端点连线在垂直于速度方向上的投影长
度。如图，导体的有效长度分别为：
图甲：l＝cdsin
β
图乙：沿v 方向运动时，l＝MN
图丙：沿v1方向运动时，l＝√2R；沿v2方向运动时，l＝R
相对速度
E＝Blv 中的速度v 是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对
关系
2.导体转动切割磁感线
如图，当长为l 的导体在垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)的平面内，绕一端以角速度ω 匀速转动，当导体
运动Δt 时间后，转过的弧度θ＝ωΔt，扫过的面积ΔS＝1
2l 2 ω Δ t ，则E＝ΔΦ
Δt ＝B Δ S
Δt ＝1
2Bl
2 ω (或E＝Blv＝
Blv A＋vC
2
＝1
2Bl
2 ω )。
1.公式E＝Blv 中的l 是导体棒的总长度。( × )
2.磁场相对导体棒运动，导体棒中也可能产生感应电动势。( √ )
3.长为l 的导体垂直于匀强磁场B 以角速度ω 匀速转动产生的电动势为1
2Bl2ω。( × )
例2 如图所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v 沿与棒和磁
感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的
折弯，置于与磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v 运动时，棒两
端的感应电动势大小为ε'，则ε
'
ε 等于( )
A.1
2
B.√2
2
C.1
D.√2
答案 B
解析 设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L，则ε＝BLv，折弯后，金属棒切割磁感线的有效长度为l＝
√( L
2 )
2＋( L
2 )
2＝√2
2 L，故产生的感应电动势为ε'＝Blv＝B·√2
2 Lv＝√2
2 ε，所以ε '
ε ＝√2
2 ，故A、C、D 错误，
B 正确。
例3 如图所示，在半径为R 的圆形区域内存在垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，
圆外无磁场。一根长为2R 的导体杆ab 水平放置，a 端处在圆形磁场的下边界，现使杆绕a 端以角速度
ω 逆时针匀速旋转180°，在旋转过程中( )
A.b 端的电势始终高于a 端
B.ab 杆的电动势最大值E＝BR2ω
C.全过程中，ab 杆平均电动势E＝BR2ω
D.当杆旋转θ＝120°时，ab 间电势差Uab＝1
2BR2ω
答案 C
解析 根据右手定则，a 端相当于电源正极，b 端为负极，a 端电势高于b 端电势，故A 错误；当导体杆ab
和直径重合时，切割磁感线的有效长度l＝2R，此时产生的感应电动势最大，ab 杆切割磁感线产生的感应
电动势为E＝1
2Bl2ω＝2BR2ω，故B 错误；根据法拉第电磁感应定律可知，全过程中，ab 杆平均电动势为
E＝ΔΦ
Δt ＝BR2ω，故C 正确；当θ＝120°时，ab 杆切割磁感线的有效长度l'＝√3R，ab 杆切割磁感线产生
的感应电动势为E'＝1
2Bl'2ω＝3
2BR2ω，故D 错误。
针对训练3 (2024·湖南卷·4)如图，有一硬质导线Oabc，其中
是半径为R 的半圆弧，b 为圆弧的
中点，直线段Oa 长为R 且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O 点逆时针转动，导线始终在垂直纸面
向里的匀强磁场中。则O、a、b、c 各点电势关系为( )
A.φO>φa>φb>φc
B.φO<φa<φb<φc
C.φO>φa>φb＝φc
D.φO<φa<φb＝φc
答案 C
解析 导线绕O 点转动过程中相当于Oa、Ob、Oc 导体棒转动切割磁感线，如图所示，根据右手定则可知
O 点电势最高；
根据E＝Blv＝1
2Bωl2
因为lOb＝lOc>lOa
可得0<UOa<UOb＝UOc
得φO>φa>φb＝φc
故选C。
考点三 自感现象
1.概念：当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场在线圈本身激发出感应电动势，这种现象称
为自感，由于自感而产生的感应电动势叫作自感电动势。
2.表达式：E＝L Δ I
Δt 。
3.自感系数L 的影响因素：与线圈的大小、形状、匝数以及是否有铁芯有关。
4.通电自感和断电自感的比较
电路图
器材要求
A1、A2同规格，R＝RL，L 较大
L 很大(有铁芯)
通电时
在S 闭合瞬间，灯泡A2立即亮起来，
灯泡A1逐渐变亮，最终一样亮
灯泡A 立即亮，然后逐渐变暗达到稳定
断电时
回路电流减小，两灯泡均逐渐变暗，A1
电流方向不变，A2电流反向
①若I2≤I1，灯A 逐渐变暗；
②若I2>I1，灯A 闪亮后逐渐变暗
两种情况下灯A 中电流方向均改变(选填“改
变”或“不变”)
总结
自感电动势总是阻碍原电流的变化
1.线圈中电流越大，自感系数也越大。( × )
2.对于同一个线圈，电流变化越快，线圈中的自感电动势也越大。( √ )
3.自感电动势总是阻止原电流的变化。( × )
例4 (2024·山东淄博市检测)图甲和图乙是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈。
实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮，而另一个
相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同。下列说法正确的是( )
A.图甲中，A1与L1的电阻值相同
B.图甲中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流大于L1中电流
C.图乙中，滑动变阻器R 与L2的电阻值相同
D.图乙中，闭合S2瞬间，L2中电流与滑动变阻器R 中电流相等
答案 C
解析 在题图甲中，断开开关S1瞬间，L1与A1构成闭合回路，通过灯A1的电流与通过L1的电流相同，又
因灯A1突然闪亮，即通过A1电流增大，则可推出，闭合S1待电路稳定后，通过L1的电流大于通过A1电流，
根据L1与A1并联，所以L1的电阻小于A1的电阻，故选项A、B 错误；在题图乙中，闭合开关S2，最终A2
与A3亮度相同，即电流相同，所以L2与滑动变阻器R 的电阻相同；闭合开关S2的瞬间，L2中电流小于滑
动变阻器R 中电流，故选项C 正确，D 错误。
分析自感问题的三个技巧
考点四 涡流 电磁阻尼和电磁驱动
1.涡流现象
(1)涡流：块状金属放在变化磁场中，或者让它在非均匀磁场中运动时，金属块内产生的漩涡状感应电流。
(2)产生原因：金属块内磁通量变化→感应电动势→感应电流。
2.电磁阻尼
当导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力总是阻碍导体的运动。
3.电磁驱动
如果磁场相对于导体转动，在导体中会产生感应电流使导体受到安培力而运动起来。
1.电磁阻尼体现了能量守恒定律。( √ )
2.电磁阻尼阻碍相对运动，电磁驱动促进二者相对运动。( × )
例5 扫描隧道显微镜(STM)可用来探测样品表面原子尺度上的形貌。为了有效隔离外界振动对STM
的扰动，在圆底盘周边沿其径向对称地安装若干对紫铜薄板，并施加磁场来快速衰减其微小振动，如
图所示。无扰动时，按下列四种方案对紫铜薄板施加恒磁场；出现扰动后，对于紫铜薄板上下及左右
振动的衰减最有效的方案是( )
答案 A
解析 感应电流产生的条件是闭合回路中的磁通量发生变化。在A 图中，系统振动时，紫铜薄板随之上下
及左右振动，在磁场中的部分有时多有时少，磁通量发生变化，产生感应电流，受到安培力，阻碍系统的
振动；在B 图中，只有紫铜薄板向左振动才产生感应电流，而上下振动和向右振动无感应电流产生；在C
图中，无论紫铜薄板上下振动还是左右振动，都不会产生感应电流；在D 图中，只有紫铜薄板左右振动才
产生感应电流，而上下振动无感应电流产生，故选项A 正确，B、C、D 错误。
课时精练
(分值：100 分)
1~5 题每小题8 分，6 题14 分，共54 分
1.(2023·北京卷·5)如图所示，L 是自感系数很大、电阻很小的线圈，P、Q 是两个相同的小灯泡，开始时，
开关S 处于闭合状态，P 灯微亮，Q 灯正常发光，断开开关( )
A.P 与Q 同时熄灭
B.P 比Q 先熄灭
C.Q 闪亮后再熄灭
D.P 闪亮后再熄灭
答案 D
解析 由题知，开始时，开关S 处于闭合状态，由于L 的电阻很小，Q 灯正常发光，P 灯微亮，通过L 的
电流大于通过P 灯的电流，断开开关，Q 所在电路未闭合，立即熄灭，由于自感，L 中产生感应电动势，
与P 组成闭合回路，故P 灯闪亮后再熄灭，故选D。
2.(2024·甘肃卷·6)工业上常利用感应电炉冶炼合金，装置如图所示。当线圈中通有交变电流时，下列说法
正确的是( )
A.金属中产生恒定感应电流
B.金属中产生交变感应电流
C.若线圈匝数增加，则金属中感应电流减小
D.若线圈匝数增加，则金属中感应电流不变
答案 B
解析 当线圈中通有交变电流时，感应电炉金属内的磁通量也不断随之变化，金属中产生交变感应电流，
A 错误，B 正确；若线圈匝数增加，根据电磁感应定律E＝n ΔΦ
Δt 可知，感应电动势增大，则金属中感应电
流变大，C、D 错误。
3.(2023·重庆卷·2)某小组设计了一种呼吸监测方案：在人身上缠绕弹性金属线圈，观察人呼吸时处于匀强
磁场中的线圈面积变化产生的电压，了解人的呼吸状况。如图所示，线圈P 的匝数为N，磁场的磁感应强
度大小为B，方向与线圈轴线的夹角为θ。若某次吸气时，在t 时间内每匝线圈面积增加了S，则线圈P 在
该时间内的平均感应电动势为( )
A. NBScosθ
t
B. NBSsinθ
t
C.BS sinθ
t
D.BS cosθ
t
答案 A
解析 根据法拉第电磁感应定律有E＝N ΔΦ
Δt ＝NBcos θ·S
t ＝NBS cosθ
t
，故选A。
4.如图甲所示为探究电磁驱动的实验装置。某个铝框置于蹄形磁体的两个磁极间，铝框可以绕支点自由转
动，其截面图如图乙所示。开始时，铝框和磁体均静止，转动磁体，会发现铝框也会跟着发生转动，下列
说法正确的是( )
A.铝框是因为受到安培力而转动的
B.铝框转动的速度的大小和方向与磁体相同
C.磁体从图乙位置开始转动时，铝框截面abcd 中的感应电流的方向为a→d→c→b→a
D.当磁体停止转动后，如果忽略空气阻力和摩擦力，铝框将保持匀速转动
答案 A
解析 磁体从题图乙位置开始转动时，导致通过铝框截面的磁通量增加，从而产生感应电流，方向为
a→b→c→d→a，因而受到安培力作用，导致铝框转动，所以铝框是因为受到安培力而转动的，A 项正确，
C 项错误；根据楞次定律可知，为阻碍磁通量增加，则导致铝框与磁体转动方向相同，但快慢不相同，铝
框的转速一定比磁体的转速小，B 项错误；当磁体停止转动后，如果忽略空气阻力和摩擦力，由于铝框转
动的过程中仍然能产生感应电流，所以铝框会受到反方向安培力作用逐渐减速直到停止运动，D 项错误。
5.(来自教材改编)如图所示，在水平向右的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab 以某一水平速度抛出，
金属棒在运动过程中始终保持水平。不计空气阻力，金属棒在运动过程中ab 两端的电势分别为φa、φb，则
( )
A.φa>φb，且Uab保持不变
B.φa>φb，且Uab逐渐增大
C.φa<φb，且Uba保持不变
D.φa<φb，且Uba逐渐增大
答案 B
解析 金属棒在运动过程中始终保持水平，结合右手定则可知a 端电势高于b 端电势，由于金属棒没有形
成闭合回路，故没有感应电流，金属棒不受安培力，只受重力，所以金属棒做平抛运动，水平分速度不变，
竖直分速度逐渐变大，所以ab 棒的电动势逐渐增大。故选B。
6.(14 分)(2024·山东烟台市期中)如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l＝0.40 m 的单匝正
方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。
已知构成金属框的导线单位长度的阻值为λ＝5.0×10－3 Ω/m；在t＝0 到t＝3.0 s 时间内，磁感应强度大小
随时间t 的变化关系为B(t)＝0.3－0.1t(SI)。求：
(1)(5 分)金属框中感应电动势的大小；
(2)(9 分)t＝2.0 s 时金属框所受安培力的大小。
答案 (1)0.008 V (2)0.04√2 N
解析 (1)金属框中产生的感应电动势为E＝ΔΦ
Δt ＝
ΔB× l
2
2
Δt
＝0.1×1
2×0.402 V＝0.008 V
(2)金属框的总电阻为R＝4lλ＝4×0.40×5.0×10－3 Ω＝0.008 Ω
金属框中的电流为I＝E
R ＝1 A
t＝2.0 s 时磁感应强度为B2＝(0.3－0.1×2.0) T＝0.1 T
金属框处于磁场中的有效长度为L＝√2l
此时金属框所受安培力大小为F 安＝B2IL＝0.1×1×√2×0.40 N＝0.04√2 N。
7、8 题每小题10 分，9 题16 分，共36 分
7.(2022·河北卷·5)将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为S1，小圆面积均为
S2，垂直线圈平面方向有一随时间t 变化的磁场，磁感应强度大小B＝B0＋kt，B0和k 均为常量，则线圈中
总的感应电动势大小为( )
A.kS1
B.5kS2
C.k(S1－5S2)
D.k(S1＋5S2)
答案 D
解析 由法拉第电磁感应定律，可得大圆线圈产生的感应电动势E1＝ΔΦ1
Δt ＝ΔB·S1
Δt
＝kS1，每个小圆线圈
产生的感应电动势E2＝ΔΦ2
Δt ＝ΔB·S2
Δt
＝kS2，由线圈的绕线方式和楞次定律可得大、小圆线圈产生的感应
电动势方向相同，故线圈中总的感应电动势大小为E＝E1＋5E2＝k(S1＋5S2)，故D 正确，A、B、C 错误。
8.(2025·山东济南市模拟)如图所示，一根长为L 的金属棒CD 在磁感应强度为B 的匀强磁场中，绕OO'轴顺
时针(俯视)转动。圆锥母线与OO'夹角为30°，角速度为ω，OC＝L
3 ，则金属棒两端电势差UCD为( )
A.－1
18BωL2
B. 1
18BωL2
C.－1
24 BωL2
D. 1
24 BωL2
答案 D
解析 将金属棒投影到垂直于磁场的平面上(如图)，金属棒CD 切割磁感线的运动等效于金属棒C'D'垂直
切割磁感线的运动。取O'D'中点B'，由于对称，B'、C'电势相等，C 点电势高于D 点，则UCD＝UB'D'＝B· L
6
·ω· L
4 ＝1
24 BωL2，故D 正确。
9.(16 分)(2023·广东卷·14)光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为
h，其俯视图如图(a)所示，两磁场磁感应强度随时间t 的变化如图(b)所示，0~τ 时间内，两区域磁场恒定，
方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R，边长为h 的刚性正方形金属框abcd，平放在水
平面上，ab、cd 边与磁场边界平行。t＝0 时，线框ab 边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v 向右运动。在τ
时刻，ab 边运动到距区域Ⅰ的左边界h
2处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图(a)中的虚线框所
示。随后在τ~2τ 时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ~3τ 时间内，Ⅱ区磁感应强
度也线性减小到0。求：
(1)(5 分)t＝0 时线框所受的安培力F；
(2)(5 分)t＝1.2τ 时穿过线框的磁通量Φ；
(3)(6 分)2τ~3τ 时间内，线框中产生的热量Q。
答案 (1)9 B0
2h
2v
R
，方向水平向左 (2)3 B0h
2
10
(3)B0
2h
4
4 τR
解析 (1)由题图可知t＝0 时线框切割磁感线产生的感应电动势为E＝2B0hv＋B0hv＝3B0hv，则感应电流大
小为I＝E
R ＝3 B0hv
R
线框所受的安培力为
F＝2B0
3 B0hv
R
h＋B0
3 B0hv
R
h＝9 B0
2h
2v
R
方向水平向左；
(2)在τ 时刻，ab 边运动到距区域Ⅰ的左边界h
2处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，
则t＝1.2τ 时穿过线框的磁通量为
Φ＝1.6B0h·1
2h－B0h·1
2h＝3 B0h
2
10
方向垂直纸面向里；
(3)2τ~3τ 时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0，则有E'＝ΔΦ
Δt ＝
B0
1
2 h
2
τ
＝B0h
2
2τ
感应电流大小为I'＝E'
R ＝B0h
2
2τR
，则2τ~3τ 时间内，线框中产生的热量为Q＝I'2Rτ＝B0
2h
4
4 τR
。
(10 分)
10.(多选)(2023·全国甲卷·21)一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与
电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5 匝均匀分布，下部的3 匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大
于上部相邻两匝间的距离。如图(a)所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，
电流传感器测得线圈中电流I 随时间t 的变化如图(b)所示。则( )
A.小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B.下落过程中，小磁体的N 极、S 极上下颠倒了8 次
C.下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D.与线圈上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
答案 AD
解析 从题图(b)可看出电流的峰值越来越大，即小磁体在依次穿过每个线圈的过程中磁通量的变化率越来
越大，因此小磁体在玻璃管内下降的速度越来越大，A、D 正确；假设小磁体是N 极向下穿过线圈，则在
穿入靠近每匝线圈的过程中磁通量向下增加，产生逆时针方向的电流(俯视)，而在穿出远离每匝线圈的过
程中磁通量向下减少，产生顺时针方向的电流(俯视)，即电流方向相反，与题干描述的穿过线圈的过程电
流方向变化相符，S 极向下，同理，即下落过程中，小磁体的N 极、S 极方向不变，B 错误；线圈可等效
为条形磁体，线圈中的电流越大，则磁性越强，且电流的大小是变化的，则小磁体受到的电磁阻力是变化
的，不是一直不变的，C 错误。
