文档文本内容
2026 年高考一轮复习检测卷（全国二卷01）
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集
是小于7 的自然数，
，则集合
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解.
【详解】依题意，
，而
，所以
.
【点睛】故选：C
2．复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的运算得
，进而得
在复平面对应的点为
，即可求解.
【详解】因为
，
所以
在复平面对应的点为
，位于第二象限，
故选：B.
3．样本数据
的
分位数是（ ）
A．22
B．24
C．25
D．26
【答案】D
【分析】先将数据从小到大排序，计算分位数的位置，再确定分位数.
【详解】将数据按由小到大重新排序：
，共8 个样本数据，计算
，
因为5.6 不是整数，所以取大于5.6 的最小正整数6，就是重新排序后的分位数的位置，
即第
分位数是重新排序后的第6 个数26.
故选：D.
4．在平面直角坐标系
中，曲线
：
的周长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】利用方程可判断曲线的对称性，再研究第一象限的线段，根据对称性即可求得周长.
【详解】在曲线
的方程
中，令
用
或
用
代换，曲线方程都没有变，
所以曲线
关于
轴，
轴对称，原点对称，
当
，
时，曲线
的方程为
，表示以
和
为顶点的线段，
其长度为
，根据对称性知，其他三条线段的长也为2，
所以曲线
：
的周长为
.
故选：C.
5．记
为等差数列
的前
项和.若
，则
（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质及前
项和公式即可求解.
【详解】
，
，
，
.
故选：C.
6．已知向量
，
的夹角为
，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
的坐标求出模长，利用
，
的模长和夹角求出
，求出
后开方求出
.
【详解】∵
，
∴
，
，
∴
.
故选：C.
7．正实数
满足函数
，则实数
之间的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将正实数
满足函数
，转化为相应函数图象的交点问题，
数形结合，即可求解.
【详解】由题意知正实数
满足函数
，
不妨设
分别为
即正实数
是
的解，即为
的图象和直线
交点的横坐标，
是
的解，即为
的图象和直线
交点的横坐标，
是
即
的解，即为
的图象和直线
交点的横坐标，
分别作出函数
，
，
以及
的图象，
由于
与
在第一象限有两个交点，且交点的横坐标分别为2，4，
当
时，
,
由于
,
结合图象可知
，即
，
故选：A
8．已知无穷等比数列
的前n 项和为
，则“
”是“
既无最大值也无最小值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设出公比为
，利用等比数列基本量的运算得：
的充要条件为
或
，分
类讨论得
既无最大值也无最小值时，
，则有
，最后根据充分条件、必要条件的概念判断
即可.
【详解】设公比为
，由
得
，
因为
，所以
，所以
，所以
或
，
即
的充要条件为
或
，
当
，
时，
，此时
，
故
，所以
为单调递增数列，此时
有最小值无最大值，
当
，
时，
，此时
，
故
，所以
为单调递减数列，此时
有最大值无最小值，
当
时，
，
为摆动数列，
且
，
故
，所以随着
的增大，
趋向于正无穷或负无穷，
故
无最大值，也无最小值，此时
无最大值，无最小值，
所以由“
”推不出“
既无最大值也无最小值”；
反之，当
时，
为常数列，此时
无最大值或无最小值；
当
时，
有最大值，也有最小值，此时
有最大值和最小值；
当
时，由上面分析若
，则
有最小值无最大值，
若
，则
有最大值无最小值；
当
时，若
，则
有最小值无最大值，
若
，则
有最大值无最小值；
当
时，若
，则
，
，当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
且随着
的增大，
趋向于
，
其中
，
，
故
且
，
故
有最大值
，也有最小值
，
若
，则
，
，当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
且随着
的增大，
趋向于
，
其中
，
，
故
且
，
故
有最大值
，也有最小值
；
当
时，结合前述分析可知
无最大值，无最小值，
由此可知“
既无最大值也无最小值”当且仅当
，此时
成立.
综上，“
”是“
既无最大值也无最小值”的必要不充分条件.
故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．在
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．一共有5 项
B．第3 项为
C．所有项的系数和为0
D．所有项的二项式系数和为32
【答案】CD
【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解.
【详解】因为
的展开式共有6 项，所以A 不正确；
通项公式为
，令
可得第三项为
，B 不正确；
令
可得所有项的系数和为0，C 正确；
所有项的二项式系数和为
，D 正确.
故选：CD
10．已知函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的图象可由
图象向左平移
个单位得到
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．函数
的单调递增区间为
D．直线
与函数
在
上的图象恰有7 个交点
【答案】BD
【分析】由题，求出函数
的解析式，根据三角函数的图象与性质及图象变换规律，分析各个选项，即
可求解.
【详解】由题，可得
，所以
，则
，
，
又
，即
，
，所以
，
.
对于A，将
的图象向左平移
个单位得到
的图象，故A 错误；
对于B，因为
，所以直线
是图象
的一条对称轴，故
B 正确；
对于C，令
，
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
，故C 错误；
对于D，因为
，令
，又
，
所以函数
在
上与
有7 个交点，
即直线
与函数
在
上的图象有7 个交点，故D 正确.
故选：BD.
11．已知函数
的定义域均为
，
是偶函数，且
，若
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
中心对称
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，先得
，再利用赋值法求
，进一步求
，判断A；再推得
，
，可得对称性和周期性，判断BC；由以上分析可知
，再结合周期性判断D.
【详解】因为
是偶函数，
所以
，
所以
．
当
时，
，又
，所以
，
所以
，所以
，故A 正确；
由
，得
，
两式相减得
，所以
，
又
，所以
，即
，
所以
的图象关于点
中心对称，故B 正确；
，所以
是以6 为周期的周期函数，
所以
，故C 正确；
由以上分析可知
，
，D 不正确．
故选：ABC．
【点睛】方法点睛：（1）涉及抽象函数的求值问题，往往采用赋值法，即令x 取特殊值；
（2）涉及到抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性问题，往往要结合赋值和相应的定义去解决.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知随机变量
服从
，若
，则
.
【答案】0.4/
【分析】利用正态分布的对称性即可求解.
【详解】由题，
.
故答案为：
.
13．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为
和
，母线长分别为
和
，则两个圆台
的体积之比
.
【答案】
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可
得解.
【详解】由题可得两个圆台的高分别为
，
，
所以
.
故答案为：
.
14．已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
是
的渐近线上的一点，且
，
，则E 的离心率为 .
【答案】
【分析】不妨设
在直线
上，且在第一象限，坐标为
，根据
，可得
，在
中，根据
，结合
，可得关于
的方程，即可求解.
【详解】
如图，不妨设
在直线
上，且在第一象限，坐标为
，
因为
，
，
所以直线
的斜率
，直线
的斜率
，
因为
，所以
，即
，
整理可得
，解得
，则
，
在
中，
，所以
，
两边平方可得
，又
，
所以
，即
，
解得
或
（舍）.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
如图，在三棱柱
中，
为线段
的中点，侧棱
上点
满足
．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
平面ABC，
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）取
的中点
，连接
，通过
为平行四边形，即可求证；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
由中位线可得：
，
又
，由
，
所以
，
所以
，
即四边形
为平行四边形，
所以
，
又
不在平面
内，
在平面
内，
所以
平面
；
（2）因为
平面
，
都在平面
内，
又
，
所以可得：
两两垂直，如图建系：
则
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
设
，可得
，
所以
，
设直线BC 与平面
所成角为
，
，
即直线BC 与平面
所成角的正弦值为
.
16．（15 分）
江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观
看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3 次，每次抽中纪念品的概率均为
．若前2 次未抽中
纪念品，则第3 次无论抽中与否均获得纪念品．
(1)求某球迷恰好获得1 个纪念品的概率；
(2)记x 为某球迷获得第1 个纪念品时的抽奖次数，求x 的数学期望
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记
为“恰好获得1 个纪念品”，列出事件
包含的子事件，求出这些子事件的概率再求
和即可；
（2）据题意得到
的可能值并求对应事件的概率，求 x 的分布列，再根据期望公式计算即得.
【详解】（1）设每次抽中纪念品为事件
，未抽中为事件
，且
，
.
记
为“恰好获得1 个纪念品”，则有以下可能情况：
第1 次中，第2 次未中，第3 次未中：
；
第1 次未中，第2 次中，第3 次未中：
；
第1、2 两次均未中，则第3 次必得：
；
所以
.
（2）记x 为某球迷获得第1 个纪念品时的抽奖次数，则
的可能取值为1,2,3.
；
；
.
分布列
.
17．（15 分）
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
．
(2)已知点
在线段
上，且
，
．
①求
；
②求
的面积．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）利用正弦定理化边为角并结合两角和的正弦、二倍角的余弦公式得到
，再进
行两边平方利用同角的三角函数关系得到
，即可得解；
（2）①由
结合
求得
，继而求得
，再利用余弦定理即可得
；
②在
中，先由
利用同角三角函数关系求得
，根据
求得
,再由三角形面积
公式即可得解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得，
．
所以
，
因为
，
所以
，即
，
两边平方可得
，
所以
，
．
（2）①
，
因为
，所以
，
．
在
中，
，
所以
．
②在
中，
，
,
.
.
18．（17 分）
已知函数
.
(1)讨论函数
的极值点个数；
(2)若函数
有两个不同的极值点
，其中
.
（i）证明：
；
（ii）证明：
.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，令
，导数研究其单调性并得到
，讨论参数研究
的
区间单调性，进而判断其极值点个数；
（2）（i）构造
且
，导数研究其单调性，结合
得
，最
后结合
的区间单调性即可证；（ii）构造
且
，导数研究其单调性得
，结合（1）得
即可证.
【详解】（1）由题设
，令
，则
，
当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
，
当
时，
，则
在R 上单调递增，无极值点；
当
时，
，
或
时
，
所以
在
、
上各存在一个零点，分别取
，
所以
、
上
，
上
，
所以
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
此时
有两个极值点，
综上，
在
时无极值点，在
时有两个极值点；
（2）（i）令
且
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以，当
有
，结合（1）及已知
，则
，且
，
又
在
上单调递减，则
，所以
，得证；
（ii）令
且
，则
，
令
，则
，即
在
上单调递增，
所以
，则
在
上单调递增，
，
由
，且
，又
，
结合（1）
在
上单调递减，则
，
所以
，得证.
19．（17 分）
拋物线
焦点为
，第一象限内点
在
上，A 的纵坐标是
.
(1)若
到焦点
的距离为3，求
；
(2)若
，
在
上，且
的重心恰为
，求直线
的方程；
(3)直线
，令
是第一象限
上异于
的一点，直线
交于
是
在上的投影，若点
满足
“对于任意
都有
”，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)直线
的方程为
(3)
的取值范围为
【分析】（1）先求出抛物线的准线，再根据抛物线的定义求出
，进而求出
；
（2）先求出点
的坐标，设点
，根据重心公式，求得
，再利用点差法求
得
，又线段
中点在直线上，由点斜式即可得到直线
的方程；
（3）设点
，求得直线
的方程，再与直线联立得到点
坐标，则可得
得表达
式，转化为不等式
恒成立问题，即可解出
的取值范围.
【详解】（1）根据题意作图如下：
由已知，得拋物线
，则准线为
，焦点
，且点
在第一象限内，
设点
.
所以
，解得
，代入抛物线方程，解得
，
所以
.
（2）根据题意作图如下：
由已知
，代入抛物线方程
，解得
.
设点
，又
的重心为
，
则
，解得
，
又
在
上，则
，两式相减，得
，
即
，则直线
的斜率
.
又线段
的中点
，即
也在直线
上，
由点斜式，得
，即
，
所以直线
的方程为
.
（3）根据题意作图如下：
由已知设
且
与
不重合，
由两点式，得直线
的方程
，即
，
因为直线
交于
，联立
，得点
.
又
为
在上的投影，所以
，
所以
，化简得
，
即
对于任意
恒成立，
则当
时，不等式左边取到最小值，
得
，结合
，解得
，
综上，
的取值范围为
.
