初中数学解题技巧——怎样化简二次根式并运算之√(a^2)=|a|专项性质与初步化简

本讲单独深挖√(a²)=|a|的化简逻辑，不再重复(√a)²基础运算。

重点训练在给定字母取值范围下，判断代数式正负、脱去绝对值化简根式，是选择填空高频陷阱题型，也为后续数轴化简、无范围分类讨论专题打好基础。

本讲聚焦√(a²)=|a|：先平方再开方，算术平方根结果一定非负，必须转化为绝对值；题目给出字母范围时，依靠范围判断内部式子正负，再去掉绝对值符号。

• 当 a≥0时，|a|=a，故 √(a²)=a

• 当 a＜0时，|a|=-a，故 √(a²)=-a

任意实数a都成立；开平方的结果一定是非负数，所以必须加绝对值。

1. 识别根式结构：根号内部是整体的平方形式；

2. 固定转化：√(整体²)=|整体|

3. 利用题干给出的取值范围，判断绝对值内部代数式的正负；

4. 根据正负脱去绝对值，整理得到最简结果。

• 惯性直接写√(a²)=|a|，忽略内部整体为负的情况；

• 和(√a)²公式混淆

• 判断代数式正负出错，是区间题型最常见丢分点；

• 脱去绝对值后符号处理错误，最终结果为负数（算术平方根不能为负）。

1、化简：√[(-5)²]

【解析】

属于√(a²)的基础形式，先转化为绝对值再求值

【答案】

解：√[(-5)²]=|-5|=5

2、已知x＜0，化简√(x²)

【解析】

先转化为绝对值，结合条件\(x<0\)去绝对值。

【答案】

解：√(x²)=|x|=-x

3、已知2＜a＜3，化简√[(a-2)²]-√[(a-3)²]

【解析】 

两个平方型根式，分别转为绝对值，再根据区间判断每个括号内式子正负。

【答案】

解：由2＜a＜3

得a-2＞0，a-3＜0

√[(a-2)²]=|a-2|=a-2

√[(a-3)²]=|a-3|=3-a

原式=(a-2)-(3-a)=2a-5