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专题17 磁场综合题
题型解码
带电粒子在有界匀强磁场中的运动可以很好的结合几何知识考察学生数理结合解决问题的能力， 带
电粒子在组合场中的运动可以有机的将电场中的匀变速运动与磁场中的匀速圆周运动巧妙结合考察学生综
合分析的能力。近年高考中发现带电体在电磁组合场中的复杂曲线运动越来越多，而要解答好此类问题需
要考生对正则动量以及“配速法”要熟练掌握。因此带电粒子在磁场中的综合问题考察较多多样考试题型
丰富深受命题者青睐。有效突破本专题的方法是学生要熟练掌握电磁偏转的基本规律，深入学习正则动量
与配速法等相关知识才能立于不败之地。
考向破译
考向01 带电粒子在匀强磁场中运动
【典例引领1】如图所示，在xOy 坐标系中，垂直于x 轴的虚线与y 轴之间存在磁感应强度大小为B 的匀
强磁场（含边界），磁场方向垂直xOy 平面向里。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初
速度大小不同但初速度方向都与x 轴正方向成
角向下。PQ 是与x 轴平行的荧光屏（质子打到荧光
热点题型·计算题攻略
目录
第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局
第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学
典例引领
方法透视
变式演练
考向01 带电粒子在匀强磁场中运动
考向02 带电粒子在组合场中的运动
考向03 带电粒子在叠加场中的运动
第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战
屏上不再反弹），P、Q 两点的坐标分别为
，
。已知质子比荷
，
。求：
（结果均可用分数、根号表示）
(1)质子在磁场中运动的最长时间是多少？
(2)如果让荧光屏PQ 下表面有粒子打到的长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取
值范围是多少？
(3)荧光屏PQ 下表面有粒子打到的长度为多长？
【方法透视】
1．分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法
基本思路
(1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹
(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与
圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系
(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式
和半径公式
基本公式
qvB＝m，T＝
重要结论
r＝，T＝
圆心的确定
(1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图
(a)
(2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线
的交点为圆心，如图(b)
(3)沿半径方向距入射点距离等于r 的点，如图(c)(当r 已知或可算)
半径的确定
方法一：由物理公式求，由于Bqv＝
所以半径r＝
方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通
过计算来确定
时间的求解
方法一：由圆心角求，t＝·T
方法二：由弧长求，t＝
2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1＝θ2＝θ3)。
(2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线OO′对称)。
(3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角(如图甲，α1＝α2)。
3．带电粒子在磁场中运动的多解成因
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)速度不确定形成多解；
(4)运动的周期性形成多解。
【变式演练】如图所示，在0 ≤ y ≤ 1.5a 的区域内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，t = 0 时刻，一位
于坐标原点的粒子源在xOy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与x 轴正
方向的夹角分布在0 ~ 180°范围内，沿y 轴正方向发射的粒子在t = t0时刻刚好从P（2a，0）点离开磁场。
已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。
(1)求带电粒子初速度的大小；
(2)求磁场上边界有带电粒子离开的区域长度；
(3)改变匀强磁场的磁感应强度大小，使得25%的粒子从x 轴离开磁场区域，求改变后的匀强磁场的磁感应
强度大小。
考向02 带电粒子在组合场中的运动
【典例引领2】利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy 平面（纸
面）内，
的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x 轴上方的
区域Ⅱ内存在沿y 轴负方向
的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从原点O 处以大小为
的速度垂直磁
场射入第二象限，方向与x 轴负方向夹角
，一段时间后垂直
虚线边界进入电场。已知
，
，区域Ⅱ中电场的场强
。求：
(1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B；
(2)粒子从原点O 出发到离开电场的总时间t；
(3)粒子离开电场时的速度大小v。
【方法透视】
1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转)
垂直进入电场(电偏转)
进入电场时速度方向
与电场有一定夹角
情景图
受力
FB＝qv0B，FB大小不变，
方向变化，方向总指向圆
心，FB为变力
FE＝qE，FE大小、方向
均不变，FE为恒力
FE＝qE，FE大小、方
向均不变，FE为恒力
运动规律
匀速圆周运动
r＝，T＝
类平抛运动
vx＝v0，vy＝t
x＝v0t，y＝t2
类斜抛运动
vx＝v0sin θ，vy＝
v0cos θ－t
x＝v0sin θ·t，y＝
v0cos θ·t－t2
2．常见运动及处理方法
【变式演练】
【变式2-1】医院中X 光检测设备的核心器件为X 射线管。如图所示，在X 射线管中，电子（质量为m、
电荷量为-e，初速度可以忽略）经电压为U 的电场加速后，从P 点垂直磁场边界水平射入匀强磁场中。磁
场宽为2L，磁感应强度大小可以调节。电子经过磁场偏转后撞击目标靶，撞在不同位置就会辐射出不同能
量的X 射线。已知水平放置的目标靶
长为2L，
长为L，不计电子重力、电子间相互作用力及电子
高速运行中辐射的能量。
(1)求电子进入磁场的速度大小；
(2)调节磁感应强度大小使电子垂直撞击在目标靶上，求电子在磁场中运动的时间；
(3)为使辐射出的X 射线能量范围最大，求磁感应强度的大小范围。
【变式2-2】如图1 所示的xOy 平面内，x 轴上方存在平行于y 轴向下的匀强电场，x 轴下方存在垂直xOy
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子质量为m、电荷量为
，粒子在该组合场中运动
的速度可用图2 中一个点
表示，
、
分别为粒子速度在两个坐标轴上的分量。粒子从图1 中y
轴上某一点出发，出发时其速度坐标P 位于图2 中
点，P 点沿线段ab 移动到
点；随后P
点沿以O 为圆心的圆弧移动至
点，P 点沿线段ca 回到a 点。已知粒子在磁场中所受洛伦兹力大小
为在电场中所受静电力大小的
倍，粒子不计重力。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)P 点沿图2 中闭合曲线移动1 周回到a 点时，粒子的位置坐标。
【变式2-3】如图所示，在xOy 平面内，y 轴左侧空间分布着水平向右的匀强电场，y 轴右侧空间分布着垂
直纸面向外的匀强磁场。某时刻有一带正电的粒子以初速度
沿平行于y 轴正方向从A 点射出，粒子从C
点进入磁场，且速度方向与y 轴夹
角，并在磁场中运动一段时间后恰好又回到A 点。已知A 点坐标为
粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子所受的重力。求：
(1)C 点坐标为以及y 轴左侧匀强电场的电场强度大小E；
(2)y 轴右侧匀强磁场的磁感应强度大小B；
(3)带电粒子从A 点开始运动到再次回到A 点的时间t。
考向03 带电粒子在叠加场中的运动
【典例引领3】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，有沿x 轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的
匀强磁场，电场强度大小为
，磁感应强度大小为B。从O 点发射一比荷为
的带正电微粒，该微粒恰
能在xOy 坐标平面内做直线运动。已知y 轴正方向竖直向上，重力加速度为g。
（1）求微粒发射时的速度大小和方向；
（2）若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从O 点射出后，求微粒通过y 轴时到O 点的距离；
（3）若仅撤去电场，微粒改为从O 点由静止释放，求微粒运动的轨迹离x 轴的最大距离。
【方法透视】
1．三种典型情况
(1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB
时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB 时，重力场与电场叠加满足mg＝qE 时。
(2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB 的方向与速度v 垂直。
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB
＝m。
2.洛伦兹力的冲量
【变式演练】
【变式3-1】下图所示的光滑绝缘的水平面上放置一个质量为m、带电荷量为＋q 的小球（可视为点电荷）。
在竖直平面内存在匀强磁场和匀强电场，y 轴左侧电场方向水平向右，无磁场，y 轴右侧电场方向竖直向上，
磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里。两侧电场强度大小相等，均为
、现将小球从左侧距O
点为2L 的A 点由静止释放，若小球第一次落回地面时落到A 点附近。
（1）小球第一次经过y 轴时的速度大小；
（2）小球第二次经过y 轴时到O 点的距离；
（3）小球第二次经过y 轴后，到落地前，经过P 点（图中未标出）的速度最小，求：小球从开始运动到P
点所用的时间t。
【变式3-2】如图所示的
坐标平面，在第二、三象限存在半径为
的圆形匀强磁场区域，圆心位于
位置，磁感应强度大小为B，方向垂直
坐标平面向里；在第一象限存在正交的匀强电场和匀
强磁场，电场方向沿
轴负方向，匀强磁场的大小和方向与第二、三象限的磁场均相同。圆形磁场边界上
有一个
点，
点与
轴的距离为
。一个质量为
电荷量为
的粒子从
点垂直磁场方向射入圆
形匀强磁场区域，恰好从坐标原点
沿
轴正方向进入正交的电磁场区域。已知电场强度大小为
，不计粒子所受重力，求：
(1)带电粒子从
点垂直进入圆形匀强磁场时的速度大小；
(2)带电粒子在第一象限距
轴的最大距离；
(3)带电粒子在第一象限的轨迹与
轴相切点的坐标。
【变式3-3】如图所示，直角坐标系xOy 位于竖直平面内，在第二、三、四象限内存在平行于y 轴向上的匀
强电场，在第三、四象限内存在磁应强度为B、方向垂直xOy 平面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为
q 的带正电小球，从y 轴上的A 点水平向右抛出，记为小球第一次通过y 轴，经x 轴上的M 点进入电场和
磁场，恰能做匀速圆周运动，已知
，磁感应强度
，不计空气阻力，重力加速
度为g。求：
（1）电场强度E 的大小和粒子经过M 点的速度大小；
（2）粒子第三次经过y 轴时的纵坐标。
综合巩固
1．（2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直
于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的粒子从电场中的O 点以水平向右的速度开始运动，在静电
力的作用下从P 点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为
，粒子返回电场前的
运动轨迹过P 点正上方的Q 点，P、Q 间距离及O、P 间的水平距离均为L。不计粒子重力。
(1)判断粒子的电性；
(2)求电场强度大小E；
(3)求磁感应强度大小B。
2．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度
大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀
强磁场。O、N、M 均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O 点正上
方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速
度大小相同，方向相反，比荷均为
。已知
，
，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。
(1)若K 水平发射的粒子在O 点产生光点，求粒子的速度大小。
(2)若K 从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N 点产生光点，求粒子的速度
大小。
(3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M 点产生光点，可在粒子发射t 时间后关闭磁场，忽略磁场变
化的影响，求t。
3．（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为
，内阻为
，滑动变阻器R 的最大阻值为
，
平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为
，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里
的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m 的带正电粒子以初速度
水平向右从
电容器左侧中点a 进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b 点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧
边缘c 点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。
(1)求粒子所带电荷量q；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)若粒子离开b 点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为
，求
粒子相对于电容器右侧的最远水平距离
。
4．（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上
的匀强电场。质量为m、带电量为q（
）的粒子从磁场中的a 点以速度
向右水平发射，当粒子进入
电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为
，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b 点，
通过b 点时其速度方向水平向右。a、b 距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为
。不计重力。
(1)求磁感应强度的大小；
(2)求电场强度的大小；
(3)若粒子从a 点以
竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期
内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）
5．（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，
区域存在
垂直
平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为
（未知）。第一象限内存在边长为
的正方形磁
屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直
平面向里，其磁感应强度大小为
（未
知），但满足
。某质量为m、电荷量为
的带电粒子通过速度选择器后，在
平面内垂
直y 轴射入
区域，经磁场偏转后刚好从ON 中点垂直ON 射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压
U、间距d、内部磁感应强度大小
已知，不考虑该粒子的重力。
(1)求该粒子通过速度选择器的速率；
(2)求
以及y 轴上可能检测到该粒子的范围；
(3)定义磁屏蔽效率
，若在Q 处检测到该粒子，则
是多少？
6．（2025·贵州·高考真题）如图所示，
轴水平向右，
轴竖直向上，
轴垂直纸面向里（图中未画出），
在
平面里有竖直向上的匀强电场
，在
的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场
，
的平
面上方有垂直纸面向里的匀强磁场
（未知）。有一带正电的粒子，质量为
，从坐标原点
出发，沿
轴正方向以速度射出后做圆周运动，其中
，
，
点坐标
。已知重力加速度为
，粒子电荷量为
。求：
(1)电场强度
的大小及该粒子第一次经过
平面时的位置对应的
坐标值；
(2)当该带电粒子沿
轴正方向飞出到达
点时间最小时，求
的大小；
(3)若将电场
改成沿y 轴正方向，粒子同样从坐标原点
沿x 轴以速度射出，求粒子的轨迹方程。
7．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控
法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒
足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节且
方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，
恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
8．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框
，置于
始终竖直向下的匀强磁场中，
边与磁场边界平行，
边中点位于磁场边界。导体框的质量
，电
阻
、边长
。磁感应强度B 随时间t 连续变化，
内
图像如图（b）所示。导体框中
的感应电流I 与时间t 关系图像如图（c）所示，其中
内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方
向。
(1)求
时
边受到的安培力大小F；
(2)画出图(b)中
内
图像（无需写出计算过程）；
(3)从
开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度
，
求ad 边离开磁场时的速度大小
。
9．（2024·天津·高考真题）如图所示，在
平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R 的半圆形匀强
磁场区域，半圆与x 轴相切于M 点，与y 轴相切于N 点，直线边界与x 轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。
在第一象限存在沿
方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M 点
以速度v 沿
方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B 的大小；
(2)若仅有电场，求粒子从M 点到达y 轴的时间t；
(3)若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x 轴上P 点，M、P 的距离为
，求粒子在磁
场中运动的时间
。
10．（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L 的正方形
区域及矩形
区域内均存在电场强度大小为
E、方向竖直向下且与
边平行的匀强电场，
右边有一半径为
且与
相切的圆形区域，切点为
的中点，该圆形区域与
区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒
子从b 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经
边的中点进入
区域，并沿直线通过该区域后进入圆
形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过
区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
11．（2024·海南·高考真题）如图，在xOy 坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x 轴和y 轴相切于P 点
和S 点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2 倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心
连线与x 轴平行，半圆与圆相
切于Q 点，QF 垂直于x 轴，半圆的直径MN 所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小
为B、
的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将
质量为m、电荷量为q 的粒子由电场加速到
。改变发射器的位置，使带电粒子在OF 范围内都沿着y 轴正
方向以相同的速度
沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P 点射入区域Ⅰ，并从Q 点射入区域Ⅱ（不计粒子
的重力和粒子之间的影响）
（1）求加速电场两板间的电压U 和区域Ⅰ的半径R；
（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动
的总时间t；
（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小
，方向沿x 轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与
y 轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y 轴的距离
。
12．（2024·甘肃·高考真题）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速
电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为
，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大
小为
，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里。
从S 点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O 点进入分离
器做圆周运动，最后打到照相底片的P 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
（1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
（2）求O 点到P 点的距离。
（3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为
（
略大于
），方向不变，粒子恰好垂直打在
速度选择器右挡板的
点上。求粒子打在
点的速度大小。
13．（2024·山东·高考真题）如图所示，在Oxy 坐标系x>0，y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大
小为B 的匀强磁场。磁场中放置一长度为L 的挡板，其两端分别位于x、y 轴上M、N 两点，∠OMN=60°，
挡板上有一小孔K 位于MN 中点。△OMN 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y 轴左侧的粒子发
生器在0＜y＜
的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q 的无初速度的粒子。粒子发生器与y 轴之间
存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子
可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K 的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度
的大小和方向；
（3）当加速电压为
时，求粒子从小孔K 射出后，运动过程中距离y 轴最近位置的坐标。
14．（2024·新疆河南·高考真题）一质量为m、电荷量为
的带电粒子始终在同一水平面内运动，其
速度可用图示的直角坐标系内，一个点
表示，
、
分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的
分量。粒子出发时P 位于图中
点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P 点沿线段ab 移动到
点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，P 点沿以O 为圆心的
圆弧移动至
点；然后粒子离开磁场返回电场，P 点沿线段ca 回到a 点。已知任何相等的时间内P
点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）电场强度的大小；
（3）P 点沿图中闭合曲线移动1 周回到a 点时，粒子位移的大小。
15．（2024·辽宁·高考真题）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、
Ⅱ区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够
宽，各区边界均垂直于x 轴，O 为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m 的粒子。
如图，甲、乙平行于x 轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为
和
。甲到P 点时，乙刚好射入
Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O 点时，乙恰好到P 点。已知Ⅲ区存在沿＋x 方向的匀强电场，
电场强度大小
。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
（1）求磁感应强度的大小B；
（2）求Ⅲ区宽度d；
（3）Ⅳ区x 轴上的电场方向沿x 轴，电场强度E 随时间t、位置坐标x 的变化关系为
，其中常系
数
，
已知、k 未知，取甲经过O 点时
。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的
电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F 与Δx 间的关系式（不要求写出Δx 的取值范围）
