文档文本内容
2025 年高考押题预测卷
高三数学（天津）02·参考答案
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
D
A
A
D
A
C
A
A
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．
11．
12．
13.
/
14.
15.
三、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14 分）
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)4.
【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、二倍角的余弦公式、正弦定
理边角互化的应用
【分析】（1）应用正弦边角关系得
，结合已知及余弦定理得
，再由平方关系求
；
（2）应用二倍角正余弦公式、和角余弦公式求函数值；
（3）由三角形面积公式得
，结合
、
即可求边长.
【详解】（1）因为
，所以
，（1 分）
而
，
，（3 分）
，（4 分）
；（5 分）
（2）由（1）
（6 分）
，（8 分）
；（10 分）
（3）由（1）
，（11 分）
则
，（12 分）
又
，则
，（13 分）
又
，则
.（14 分）
17．（本小题满分15 分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)点
为靠近
的四等分点
【知识点】由异面直线所成的角求其他量、面面角的向量求法、证明线面平行
【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合线面平行的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案；
（3）由（2）的空间直角坐标系，表示出直线的方向向量，利用线线角的向量公式，建立方程，可得答案.
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，如下图：
因为
为
的中点，所以
，由
，则
，
因为
，所以四边形
是平行四边形，则
，且
，（2 分）
因为在正方形
中，
且
，即
且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，（3 分）
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.（5 分）
（2）由
，则
，
在正方形
中，
，所以
两两垂直，
以
为原点，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如下图：（6 分）
则
，
可得
，
，
，
，（7 分）
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，所以平面
的一个法向量
；（8 分）
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，所以平面
的一个法向量
，（9 分）
设平面
与平面
的所成角为
，
则
，由
，则
.（10 分）
（3）由题意作图如下：
设
，则
，
可得
，（11 分）
设异面直线
与
所成角为
，
则
，（12 分）
整理可得
，解得
，（13 分）
即
，由
，则
，即
，（14 分）
故点
为靠近
的四等分点.（15 分）
18．（本小题满分15 分）
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点
求标准方程
【分析】（1）根据椭圆所过的点求参数，即可得方程；
（2）设直线
，联立椭圆并应用韦达定理，再由直线
，
直线
求交点坐标，根据面积关系得
，进而求得
，即可得.
【详解】（1）设
的方程为
且
，
将
两点代入得
，（1 分）
解得
，（3 分）
故
的方程为
．（4 分）
（2）依题意，设直线
，（5 分）
联立
，消去
整理得
，（6 分）
则
，即
，且
．（7 分）
直线
，（8 分）
直线
，（9 分）
令
，则
，（10 分）
令
，则
，（11 分）
由
，得
，
即
，（12 分）
整理得
，（13 分）
因为
，所以
，解得
，（14 分）
所以直线的斜率为
．（15 分）
19．（本小题满分15 分）
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【知识点】错位相减法求和、数列不等式能成立（有解）问题、等比数列通项公式的基本量计算、分组
（并项）法求和
【分析】（1）根据已知条件可求出等差数列
的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出
的表达
式，设等比数列
的公比为
，根据已知条件可得出关于
、
的方程组，解出这两个量的值，
即可得出等比数列
的通项公式；
（2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列
的前
项中的奇数项、偶数项的和，即可得出
；
（3）分析可知，集合
中元素个数等价于满足
的不同解
的个数，
、
进行讨论，推出矛盾，可得出
，然后利用不等式的基本性质可得出解
的个数，即可
得出数列
的通项公式.
【详解】（1）因为数列
为等差数列，所以，该数列的公差为
，（1 分）
所以，
，（2 分）
设等比数列
的公比为
，
由
可得
，（4 分）
解得
，则
.（5 分）
（2）当
为奇数时，
，
设数列
奇数项的和为
，（6 分）
则
.
当
为偶数时，
，设数列
的偶数项的和为
，
则
，
可得
，
上述两个等式作差得
，
整理可得
，（9 分）
所以，
.（10 分）
（3）集合
中元素个数等价于满足
的不同解
的个数，
若
，则
，与已知矛盾；（11 分）
若
，则
，与已知矛盾，（12 分）
所以，
，（13 分）
又因为
，
所以，
，（14 分）
即
、
、、
、
，共
个解
，故
.（15 分）
20．（本小题满分16 分）
【答案】(1)单调递增区间为
，函数
的单调递减区间为
，极大值1，无极小值.
(2)证明见解析
(3)
.
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含
参）、求已知函数的极值
【分析】（1）求
，由
求出
，分别解
和
，即可求出函数
的单
调区间和极值；
（2）由（1）可得
令
，可得
，再由放缩法结合等比数列的前
项和
可证明；
（3）将不等式转化为证明
桓成立，分
，
讨论，当
时，对不等式两侧同时取
对数，构建新函数，令
，等价于
恒成立，结合
的单调性可得
，设
，求出
的最大值，即可得出答案.
【详解】（1）当
时，
，（1 分）
，由已知
，所以
，（2 分）
即
，因为
，
所以，当
时，
，当
时，
，（3 分）
因此，
的单调递增区间为
，函数
的单调递减区间为
.（4 分）
当
时，函数
取得极大值
，无极小值.（5 分）
（2）证明：由（1）可得当
时，
，即
（6 分）
令
，可得
，所以
，（7 分）
所以，
（8 分）
，原式得证.（9 分）
（3）已知
，则
，不等式为
，
即
桓成立，（10 分）
（i）当
时，任意
，因此
满足条件.（11 分）
（ii）当
时，
，不等式两侧同时取对数，
有
，等价于
①，（12 分）
构建新函数，令
，①式等价于
恒成立，（13 分）
而
，函数
在其定义域上单调递增，因此对任意
，有
成立，即任意
，有
，
等价于
②，（14 分）
设
，
当
时，
，当
时，
，
所以，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调逆减，（15 分）
所以
，因此由（2）式可得
.
综上，正实数
的取值范围为
.（16 分）
