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2025 年高考押题预测卷
高三数学（天津卷）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共45 分）
一、单项选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可解得
，所以
，
由
可解得
，又
，所以
，
所以
.
故选：A．
2．已知
为平面，
为两条不同的直线，且
，设命题甲：
；命题乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】
，
，
或
，充分性不成立；
，
，
和
相交、平行或异面，必要性不成立.
故选：D.
3．函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由图可知
的图象关于原点对称，则
为奇函数，
对于A ：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故A 错误；
对于C：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为奇函数，
当
时，
，
，所以
恒成立，不符合题意，故D 错误；
故利用排除法可知选项B 符合题意.
故选：B
4．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知
，
则
.
故选：A.
5．已知互不相等的数据
，
，
，
，
，
，的平均数为，方差为
，数据
，
，
，
，
，
的方差为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小关系无法判断
【答案】C
【详解】根据已知条件第一组数据的个数为
个，且
，
所以
，
，
第二组数据的个数为
个，且平均数
，
，
因为
，
所以
.
故选：C
6．已知函数
在
内恰有3 个最值点和3 个零点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
且当
时，
，
因为函数
在
内恰有3 个最值点和3 个零点，
所以
，解得
，
故选：D．
7．在直三棱柱
中，
，若该棱柱外接球的表面积为
，则侧面
绕直线
旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因直三棱柱
中，
，
则两个底面三角形的外接圆圆心分别为
的中点
，
如图所示，
.
设棱柱的外接球的半径为
，圆心为
，
由
，可得
，由对称性知，O 为
中点，
由图
，解得
.
因侧面
绕直线
旋转一周后得到的几何体是底面半径为
，高为2 的圆柱，
其体积为
.
故选：B
8．已知双曲线
的焦距为
，左、右焦点分别为
，过点
作斜率不为0 的
直线与双曲线
的左、右支分别交于
两点．若
的内切圆与直线相切于点
，且
，则
双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设
的内切圆分别切
于点
，
则
，
，
因为
，
所以
，得
，
所以
，即
，①
因为
，所以
，
即
，②，
所以①
②，得
，得
，
因为
，所以
，
所以
，
所以双曲线
的渐近线方程为
，
即
.
故选：D
9．已知函数
，
，有
恒成立，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵
，∴
，
当
时，则
恒成立，
在
上单调递减，
由一次函数
与函数
一定存在交点可知函数
存在零点，
即存在
，使得
时，
，
时，
，
不符合题意，舍去.
当
时，
设直线
为函数
切线，设切点为
则
，即
，则
，
，
①当
时，函数
存在两个零点，
令
，则
，
∴当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
故
，∵
，
∴
，即
恒成立.
此时无法满足题意，舍去；
②当
时，由①可知
，
，满足
，
③当
时，
恒成立，要使得
恒成立，则需要
恒成立，由①得
，∴
，即
.
综上所述
.
故选：D.
第二部分（非选择题 共105 分）
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
10．已知为虚数单位，若
是纯虚数，则实数
．
【答案】
【详解】因为
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
11．已知
（
为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的
常数项为
【答案】
【详解】由题意知，展开式中所有项的二项式系数和为
，
令
得，展开式中所有项的系数和为
，
由题意知它们相等得，
，
再根据展开式通项公式：
，
当
时，解得
，
所以展开式中的常数项为
，
故答案为：
.
12．已知圆C：
，圆
是以圆
上任意一点为圆心，半径为1 的圆.圆C 与圆
交于A，B 两点，则当
最大时，
.
【答案】2
【详解】易知圆心
，半径
，
又因为
都在圆上，可知
，如图所示：
当公共弦长
最大时，
最大，此时弦
为圆
的直径，
在
中，
，
所以
.
故答案为：2
13．某校高三年级共8 个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双
方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三
（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜
的概率都为
，除甲、乙外的其他6 名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为
，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为 ．
【答案】
【详解】甲在首轮遇到乙的概率为
，此时甲获胜的概率为
，
甲遇到其他6 名选手的概率为
，此时甲获胜的概率为
，
所以甲获胜概率为：
；
第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为
,
进入第二轮的4 人中，甲和乙不相遇的概率为
，且两人均击败对手的概率为
，
故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为
，
所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为
.
故答案为：
；
14．在平行四边形
中，
，
．若
为
的中点，则向量
在向量
上的投
影向量为 （用
表示）；若
，点
在边
上，满足
，点
，
分别为线段
，
上的动点，满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】依题意可知
，
又
，
，
所以
则向量
在向量
上的投影向量为
；
以
为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
由
，
可得
，且
，
所以
，
又
，所以
；
设
，所以
，由
可得
；
又
，所以
；
因此
；
可得
，
显然当
时取得最小值，最小值为
.
故答案为：
；
15．设函数
，函数
．若函数
恰有两个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】令函数
，
函数
在R 上单调递增，而
，则当
时，
，
当
时，
，因此
，
令函数
，由
恰有两个零点，得函数
的图象与直线
有两个交点，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，
直线
恒过定点
，观察图象，
当
时，函数
的图象与直线
恒有两个交点，则
；
当直线过点
时，函数
的图象与直线
有两个交点，则
；
当直线
与曲线
相切时，函数
的图象与直线
有两个交点，
设切点坐标为
，
，于是
，解得
，则
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
三、解答题：本题共5 小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（14 分）
在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
、
，则
，所以，
，
则有
，故
.（6 分）
（2）因为
为锐角三角形，则
，所以，
，
所以，
，则
，（9 分）
由正弦定理可得
，
所以，
，（13 分）
即
的取值范围是
.（14 分）
17．（15 分）
如图，在多面体ABCDGEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，且满足
，
，
，
，
平面ABCD．
(1)证明：
平面CDE；
(2)求平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值；
(3)在线段BE 上是否存在一点P，使得直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值为
？若存在，求
的值；
若不存在，说明理由．
【详解】（1）因为
且
，所以四边形
为平行四边形，
又
，所以四边形
为菱形，所以
.
因为
平面
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
.（4 分）
（2）因为
平面
平面
，所以
，
又
，
以
为原点，分别以
的方向为
轴，
轴，.
.轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则
，
所以
，（6 分）
由（1）知平面CDE 的法向量为
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，得
，所以
.（8 分）
故c
，
平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值为
；（10 分）
（3）假设线段
上存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，
设
，
则
,（12 分）
解得
或
.（13 分）
所以线段
上存在点
，当
或
时，
使得直线
与平面
所成角的正弦值为
.（15 分）
18．（15 分）
已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求
的方程；
(2)已知
为坐标原点，直线
与
交于
两点.
①若
的面积为2，求直线的方程；
②记
外接圆的圆心为
，平面上是否存在两定点
，使得
为定值？若存在，求出两定
点
的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）由题意知
；解得
，
所以
的方程为
.（4 分）
（2）设
，如下图所示：
联立
得
，
则
.（6 分）
①所以
又点
到直线
的距离
，
所以
的面积
，
解得
或
，即直线的方程为
或
.（9 分）
②所以
的中垂线方程为：
，即
同理可得
的中垂线方程为：
由
两式可得
.
所以
外接圆圆心
的横坐标
，（11 分）
其中
，
，
所以
（12 分）
又
的中垂线方程为
，即
，
所以圆心
的纵坐标为
，
所以
，（13 分）
即圆心
在双曲线
上，
易知双曲线两焦点为
，
由双曲线定义可知存在定点
或
满足题意；
所以存在定点
或
，使得
.（15 分）
19．（15 分）
已知数列
的前
项和
，
，
，
.设数列
的前
项和为
，且
，
(1)求
的通项公式；
(2)求
；
(3)求证：
.
【详解】（1）数列
中，
，当
时，
，
两式相减，得
，而
，则
，
由
，得
，因此数列
都是公差为4，首项分别为1，3 的等差数列，
，即当
为奇数时，
；
，即当
为偶数时，
，
所以
的通项公式是
.（5 分）
（2）由（1）知
，
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
所以
.（10 分）
（3）依题意，
，而
，
因此
，解得
，（12 分）
当
时，
，
满足上式，则
，
当
时，
，
当
时，
，而
，
所以
.（15 分）
20．（16 分）
已知函数
.
(1)若
，函数
在点
处的切线斜率为
，求函数
的单调区间和极值；
(2)试利用（1）结论，证明：
；
(3)若
，且
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
，由已知
，所以
，
即
，因为
，
所以，当
时，
，当
时，
，
因此，
的单调递增区间为
，函数
的单调递减区间为
.
当
时，函数
取得极大值
，无极小值.（6 分）
（2）证明：由（1）可得当
时，
，即
令
，可得
，所以
，
所以，
，原式得证.（9 分）
（3）已知
，则
，不等式为
，
即
桓成立，
（i）当
时，任意
，因此
满足条件.（11 分）
（ii）当
时，
，不等式两侧同时取对数，
有
，等价于
①，
构建新函数，令
，①式等价于
恒成立，
而
，函数
在其定义域上单调递增，因此对任意
，有
成立，即任意
，有
，（14 分）
等价于
②，设
，
当
时，
，当
时，
，
所以，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调逆减，
所以
，因此由（2）式可得
.
综上，正实数
的取值范围为
.（16 分）
