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电场强度矢量叠加的几种特殊方法 1.等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。 例如：一个点电荷＋q 与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、 乙所示。 2.对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。 例如：如图所示，均匀带电的3 4 球壳在O 点产生的电场，等效为弧BC 产生的电场，弧BC 产生的电场强度方 向，又等效为弧的中点M 在O 点产生的电场强度方向。 3.填补法 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 4.微元法 将带电体分成许多电荷单元，每个电荷单元看成点电荷，先根据库仑定律求出某个电荷单元产生的电场强度 (一般为通式)，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。 例1 (2024·河北卷·7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC 的顶 点B、C。M 为三角形ABC 的中心，沿AM 的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量 为q 2。已知正三角形ABC 的边长为a，M 点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A 处的电场强度大小 为( ) A.2√3kq a 2 B.kq a 2 (6＋√3) C.kq a 2 (3√3＋1) D.kq a 2 (3＋√3) 答案 D 解析 B 点和C 点的点电荷在M 的合电场强度为E＝2 kq ( √3 3 a) 2cos 60°＝3kq a 2 ，方向向上，由M 点的电场强度 为零，故带电细杆在M 点的电场强度EM＝E＝3kq a 2 ，方向向下，由对称性可知带电细杆在A 点的电场强度为 EA＝EM＝3kq a 2 ，方向向上，因此A 点合电场强度为E 合＝EA＋2kq a 2 cos 30°＝kq a 2 (3＋√3)，故选D。 例2 (2024·山东泰安市期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处时产生的 电场。如图所示，在半球面AB 上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD 为通过半球顶点与 球心O 的轴线，在轴线上有M、N 两点，OM＝ON＝2R，已知M 点的电场强度大小为E，静电力常量为 k，则N 点的电场强度大小为( ) A. kq 2 R 2－E B. kq 4 R 2 C. kq 4 R 2－E D. kq 4 R 2＋E 答案 A 解析 把圆心在O 点的二分之一球壳补为完整的带电荷量为2q 的带电球壳，则在M、N 两点的电场强度大小 均为E0＝k·2q (2 R) 2 ＝kq 2 R 2。题图中左半球壳在M 点产生的电场强度为E，则右半球壳在M 点产生的电场强度为 E'＝E0－E＝kq 2 R 2－E，由对称性知，左半球壳在N 点产生的电场强度大小也为kq 2 R 2－E，故选A。 例3 (2024·山东烟台市检测)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷 产生的电场。如图所示，在绝缘球2 3球面AA1B1B 上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余1 3球面AB 上 均匀分布负电荷，总电荷量是1 2q。球半径为R，球心为O，CD 为2 3球面AA1B1B 的对称轴，在轴线上有 M、N 两点，且OM＝ON＝2R，A1A＝B1B，A1A∥B1B∥CD。已知1 3球面A1B1在M 点的电场强度大小为 E，静电力常量为k，则N 点的电场强度大小为( ) A.|3kq 8 R 2－E| B.|3kq 8 R 2－2E| C. kq 12 R 2＋E D. kq 12 R 2＋2E 答案 B 解析 将AB 部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为Q＝3 2q，为保证电 荷量不变，球面AB 应带负电且电荷量为q，则该球壳带正电的完整部分在N 点产生的电场强度为EN＝ kQ (2 R) 2 ＝3kq 8 R 2，根据对称性可知，带负电且电荷量为q 的球面AB 在N 点产生的电场强度大小为2E，与EN方 向相反，则N 点的电场强度大小为EN'＝|3kq 8 R 2－2E|，故选B。 例4 (2025·山东省质检)如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q， 圆心O 在x 轴的坐标原点处，圆环的边缘A 点与x 轴上P 点的连线与x 轴的夹角为37°，静电力常量为k， 取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，则整个圆环产生的电场在P 点的电场强度大小为( ) A. 27 kq 125r 2 B. 36kq 125r 2 C. 48kq 125r 2 D. 64 kq 125r 2 答案 B 解析 把圆环分为n 等份(n 足够大)，每一份的电荷量为Δq，则有n＝q Δq，每小份可以看成点电荷，由点电 荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P 点的电场强度大小均为E0＝k Δq ( AP) 2，由几何关系sin 37°＝r AP ，可得E0＝9k Δq 25r 2 。在P 点，E0在垂直x 轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n 个Ey的矢量和为0，E0在x 轴方向的分量大小为Ex＝E0cos 37°，n 个Ex的矢量和就是圆环产生的电场在P 点的电场强度，即E＝nEx，解 得E＝36kq 125r 2，A、C、D 错误，B 正确。 1.(来自教材改编)如图所示，电荷量为q 的点电荷与均匀带电薄板相距3d，水平虚线垂直薄板且过板的几 何中心，虚线上P、Q 两点到板的距离均为d，静电力常量为k。已知P 点电场强度为0，则Q 点电场强度 大小为( ) A.k 5q 16d 2 B.k 3q 16d 2 C.k q 2d 2 D.0 答案 A 解析 由已知条件可得薄板与点电荷在P 点的电场强度等大反向，则薄板在P 点的电场强度大小E1＝ kq (4 d) 2 ＝kq 16d 2，根据对称性可知薄板在Q 点的电场强度大小E2＝E1＝kq 16d 2，方向相反，则Q 点电场强度大 小为EQ＝kq 4 d 2 ＋kq 16d 2＝k 5q 16d 2，故选A。 2.(2024·山东济南市适应性测试)如图所示，半径为R 的两平行金属圆环竖直固定，两圆环各带等量的同种 电荷，电荷量为Q 且电荷分布均匀，两圆环中心连线O1O2与环面垂直，P、M、N 为连线O1O2上的三个 位置，且O1P＝PM＝MN＝NO2＝R。不计两圆环电荷间的相互影响，静电力常量为k，下列说法正确的是 ( ) A.O1、O2两点场强为0 B.P、N 两点的场强相同 C.P、N 两点的电势不一定相等 D.P 点的场强大小为(25√2-3√10)kQ 100 R 2 答案 D 解析 因为两圆环彼此在对方圆心处场强不为0，O1、O2两点场强均不为0，故A 错误；P、N 两点场强大小 相等但方向不同，故B 错误；根据对称性特点可知P、N 两点是等势点，故C 错误；P 点的场强大小为E＝∑ k ΔQ (√2 R) 2cos 45°－∑ k ΔQ (√10 R) 2× 3 √10 ＝(25√2-3√10)kQ 100 R 2 ，故D 正确。 3.(2021·江苏卷·10)一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O 为球心，A、B 为直 径上的两点，OA＝OB，现垂直于AB 将球面均分为左右两部分，C 为截面上的一点，移去左半球面，右 半球面所带电荷仍均匀分布，则( ) A.O、C 两点电势相等 B.A 点的电场强度大于B 点 C.沿直线从A 到B 电势先升高后降低 D.沿直线从A 到B 电场强度逐渐增大 答案 A 解析 将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，由于球内的电场强度处处为零，补全以后可知左右 两侧球壳在C 点的合电场强度为零，因左右侧球壳的电场强度具有对称性，要想合电场强度为零只能是两部 分球壳在C 点的电场强度都是垂直于截面方向，则可知右侧球壳在C 点的电场强度方向水平向左，同理OC 上其他点的电场强度都是水平向左，因此O、C 点连线为等势线，故O、C 两点电势相等，故A 正确；设左、 右半球在A 点产生的电场强度大小分别为E1和E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1＝ E2，根据对称性，左、右半球在B 点产生的电场强度大小分别为E2和E1，在题图所示电场中，A 的电场强度 大小为E2，方向向左，B 的电场强度大小为E1，方向向左，所以A 点的电场强度与B 点的电场强度相同，沿 直线从A 到B 电场强度不可能逐渐增大，故B、D 错误； 根据电场的叠加原理可知，在AB 连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A 到B 电势升高，故C 错误。 4.如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0 的空间，z>0 的空间为真空。将电荷量为q 的 点电荷置于z 轴上z＝h 处，则在xOy 平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导 体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在z 轴上z＝h 2处的电 场强度大小为(k 为静电力常量)( ) A.k4 q h 2 B.k 4 q 9h 2 C.k32q 9h 2 D.k40q 9h 2 答案 D 解析 该电场可等效为z 轴h 处与－h 处的等量异种点电荷产生的电场，如图所示， 则在z＝h 2处的电场强度大小为E＝k q ( h 2 ) 2＋k q ( 3h 2 ) 2＝k40q 9h 2 ，故选项D 正确。
