文档文本内容
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2、问题解决 第1 课时
简单的按比例分配问题
教学内容：
教科书第54 页，解决简单的按比例分配的实际问题。
教学提示
按比例分配问题是比的一种应用，即把一个数量按照一定的比进行分配，是“平均
分”问题的发展，它在实际生活工作中有广泛的应用，学习它能使学生深刻的体会到数
学源于生活，又高于生活，最后又服务于生活的辨正关系。这部分内容是在学生学习了
比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把比的知识应用
于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比例分配的解题方法，不仅能有效地解决
生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为以后学习“比例”“比例
尺”奠定了基础。
教材安排了一道例题，例题中通过两个小孩的对话，强调“按两人拿出钱数的比”
分配合理，突出按比例分配的应用价值。呈现多种解决问题的方法。一是用方程解（实
质上是归一法）；另一种是按比例分配。对照按比例分配的操作过程，归纳总结按比例
分配的意义。
教学目标：
1.知识与技能：通过实际情境帮助学生理解按比例分配的意义，从而掌握用按比例分
配的方法解答实际问题的方法，能正确运用按比例分配的方法解答实际问题。
2.过程与方法：促进思维能力的发展让学生在知识的主动建构过程中掌握一些数学的
思想方法，使学生初步确立转化的思想。
3.情感态度与价值观：培养学生观察、归纳和语言表达能力，发扬尝试、合作、协调
精神，培养学生良好的学习习惯。
重点难点：
教学重点：能正确运用按比例分配的方法解决一些简单的实际问题。
教学难点：理解按比例分配的意义，并能解决实际问题。
教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：卡片、练习本等
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教学过程：
（一）新课导入
投影出示陈红和赵青到文具店买文具的情境图，请同学们观察情境图。
教师谈话：几个同学凑钱批发文具，我们来看看他们拿出了多少钱，买了哪些东西，
该怎样分？
笑笑和淘气各拿出8 元钱，一共买了10 支水彩笔。
教师：他俩该怎么分这些笔？(学生回答后，老师及时作出评价，板书平均分)
陈红拿出6 元，赵青拿出4 元，一共买了15 本同样的笔记本。
教师：这两个同学买的笔记本也是平均分吗？如果不平均分，那该如何分？
组织学生分组讨论：你们认为怎样分比较合理？为什么？
【设计意图：联系学生熟悉的生活问题，创设问题情境，让学生产生矛盾冲突，从平
均分引入按比例分配，使学生感到面临的问题是自己生活中的问题，从而主动地参与探索，
寻求解决问题的方法。数学来源于生活，利用学生合伙购买文具怎样分的问题情境，学生
兴趣盎然，立刻各抒己见，发表不同的看法，极大的激发了学习的兴趣，增强了他们学习
数学的主动性和积极性。重视数学知识于生活实际的联系，学生感受到数学就在身边。】
（二）探究新知
谈话：在第一个问题“笑笑和淘气各拿出8 元钱，一共买了10 支水彩笔”，应该怎样
分？
预设：把10 支水彩笔平均分给两个同学。
教师：把10 支水彩笔平均分给两个同学，实际就是按几比几的比率来分的？(按1：1
来分的)
教师：在第二个问题“陈红拿出6 元，赵青拿出4 元，一共买了15 本同样的笔记本”，
这两个同学买的笔记本也是平均分吗？
预设：平均分不合理，因为两个人出的钱数不同。应该按照他们出的钱数的比来分才
3
合理。
教师：他们两个人出的钱数的比是多少？（6:4=3:2）
怎样理解3:2 呢？
学生讨论后回答。
预设：可以理解为他们出两人的钱数分别为3 份和2 份，他们两个分笔记本时，一人
分得3 份，另一人分得2 份。
教师：很好，如果我设每份笔记本为x 本，你能用方程解决这个问题吗？
学生小组内讨论交流，然后自己尝试解决。
汇报交流：
陈红、赵青拿出钱数的比是6∶4=3∶2 。
解：设每份笔记本为x 本。
3x+2x=15
5x=15
x=3
陈红应分的本数：3×3=9（本）
赵青应分的本数：3×2=6（本）
答：陈红应分9 本，赵青应分6 本。
教师给予鼓励性评价，接着引导，还有其他解法吗？
教师：按照刚才你们的理解，他们出两人的钱数分别为3 份和2 份，他们两个分笔记
本时，一人分得3 份，另一人分得2 份，也就是把这15 本笔记本看作2+3=5 份，陈红分得
的本数占15 本的几分之几？赵青分得的本数占15 本的几分之几？
预设：陈红分得的本数占15 本的
，赵青分得的本数占15 本的
。
教师：这样求他们两个人各应分得多少本就转化成了什么问题？
预设：求一个数的几分之几是多少的问题，应该列乘法计算。
下面就请同学们按照这个思路独立解决。
学生独立解决，教师巡视指导。
汇报展示：
总份数：3+2=5
陈红应分的本数：15×
1
8 = 9(本)
4
赵青应分的本数：15×
1
8 = 6(本)
答：陈红应分9 本，赵青应分6 本。
集体订正，鼓励表扬。
教师小结：像这样把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫做按比
例分配。
从分配的比率可以看出，平均分是按比例分配的特例，按比例分配是平均分的发展。
教师：生活中还有很多这样的例子，需要把某一样事物按照一定的比来进行分配，你
们在生活中有没有遇见这样的例子？介绍给大家听听。(学生举例)
【设计意图：以小组学习的形式，放手让学生去探求问题的解法，目的是体现让学生进
行自主探索的教学思想，同时也培养学生的合作意识与能力。解答时，让学生自己动手解
决问题，培养学生自主学习的习惯和能力。】
（三）巩固应用
1.处理教材56 页课堂活动第1 题。
让学生结合自己班 的人数，小组内讨论，设计一个合适的比，将全班同学分成两组。
然后现在组内讨论活动方案，利用双休日参加两项公益活动。
2.练习十五第1 题。
独立解决，交流汇报。
集体订正，汇报展示，鼓励表扬。
【设计意图：通过本环节的练习，使学生对“简单的按比例分配”的实际问题的解法
掌握地更加牢固。】
（四）达标反馈
1.小明家养了35 只鸡，公鸡和母鸡的只数比是3∶4，公鸡和母鸡各多少只？
2.丹顶鹤是国家一级保护动物，我国与其他国家拥有丹顶鹤只数的比是1∶3，2001 年
全世界大约有2000 只丹顶鹤，我国有多少只？
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答案：
1.3+4=7 公鸡：35×
=15（只） 母鸡：35×
=20（只）
2.1+3=4
（五）课堂小结
通过这节课的学习，你学到了什么?怎样进行按比例分配？
教师总结：解决这类问题步骤：第一步求总份数；第二步求各部分量。
解题关健一是在把比转化成每一个数量占总数量的几分之几，根据求一个数的几分之
几是多少，用乘法来解答。二是设其中的一份是多少，列方程求解。
【设计意图：通过这一环节的知识小结，是学生对本节课所学的知识有了更进一步的
理解和较系统的认识，教师的总结为学生今后解决这类问题指明了方向。】
（六）布置作业
1.农业专业户计划在承包的28 公顷地里种植水稻和玉米，种植的面积比是4∶1。水
稻和玉米各种了多少公顷？
2.学校把240 棵的植树任务按人数分给六年级的两个班，六年级一班有38 人，六年级
二班有42 人，两个班各应植树多少棵？
答案：
6
1.4+1=5 水稻：
玉米：
2.解：设一份的数是x 棵。
38x+42x=240
80x=240
x=3
一班应植树的棵数：38x=38×3=114（棵）
二班应植树的棵数：42x=42×3=126（棵）
板书设计
简单的按比例分配问题
把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫做按比例分配
陈红、赵青拿出钱数的比是6∶4=3∶2 。
解：设每份笔记本为x 本。
3x+2x=15
5x=15
x=3
陈红应分的本数：3×3=9（本）
赵青应分的本数：3×2=6（本）
总份数：3+2=5
陈红应分的本数：15×x=64 = 9(本)
赵青应分的本数：15×x=60 = 6(本)
答：陈红应分9 本，赵青应分6 本。
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教学资料包
（一） 教学精彩片段
简单的按比例分配问题(教学片断)
同学们，我们生活在深圳这个国际大都市相信对“投资”和“创业”这两个词一定不
陌生吧？谁给大家说说。
PPT 出示：李阿姨和张阿姨合伙开了家书店，第一年，她们各投资5 万元，经过一年
的苦心经营，除去交税，发工资和其他费用，共获利润10 万元，你们说，她们各应分得利
润多少万元？
小结：刚才两位阿姨由于投资额相同，所以他们获得的利润要按1：1 来分配，这种分
配方式也就叫平均分。
PPT 出示：第二年，李阿姨仍然投资了5 万元，张阿姨投资了4 万元，除去一切开支，
共获利润18 万元。这一次，你说她们的利润该怎么分合理呢？
（组织交流）
师：这里的利润要按投资额的比进行分配比较合理。像这样，把一个数量按一定的比
来进行分配，通常叫做按比例分配。（揭示课题：按比例分配）
想一想，两位阿姨应该按怎样的比来分配？（板书：按投资数的比5：4 进行分配）
谁能用自己的语言说说5：4 的具体含义。
谁能用算式表示两位阿姨各应分得多少万元？
小结：通过刚才的生活实例，你认识了什么？（什么是按比例分配）。
【评析：教师在这个环节联系学生熟悉的生活问题，紧跟时代的脚步，创设问题情境，
让学生产生矛盾冲突，从平均分引入按比例分配，使学生感到面临的问题是自己生活中的
问题，从而主动地参与探索，寻求解决问题的方法，即激发了学生的探索欲望，又为后面
的学习列方程解该类问题做好了铺垫。】
（二） 数学资源
1.一种用来消毒的消毒液是把药液和水按3:47 的比混合配制而成，现在有药液27 升，
能配制这种消毒液多少升？
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2.小李村共有汽车450 量，其中小轿车是其它车辆的
，小轿车和其它车辆各有多少
辆？
答案：
1.总份数：3+47=50
消毒液是药液的50÷3=
消毒液的质量：27×
=450（升）
2.总份数：2+3=5
小轿车的数量：450×
=180（辆）
其它车是数量：450×
=270（辆）
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资料链接
《九章算术》中的按比例分配
比例问题早在先秦已见端倪。《九章算术》粟米章的今有术是完整的比例算法：已知
所有数，所有率和所求率，则所求数为
所求数=所有数×所求率÷所有率。
这种方法传到印度和西方后叫三率法(rule ofthree)。刘徽认为，今有术是一种普遍
方法。凡是九数中的问题，只要能找出其中的率关系，通过齐同变换，无不归于此术。如
《九章》均输章的题目：一客人离开旅馆时忘记带衣服，过了
天，主人发现了，骑马追
上客人还给他衣服，回家时天已
。客人的马一日行300 里，问主人的马一日行多少？刘
徽认为，
-
=
是主人追客来回用日率，
是主人追客用日率，
+
=
是客人
被追上前用日率。而主人用日率即客人马行率，客人用日率即主人马行率，因此客马行率
5，为所有率，主马行率13，为所求率，300 里为所有数。主人马一日行=300 里
×13÷5=780 里。
比例分配方法古代叫衰分术，各部分的比例叫列衰。《九章》提出的方法是：设所分
的数是A，列衰为
、
、……、
，列衰之和为法，某一列衰
(i=1，2……)乘所分
的数A 为实，实如法而一，便是某一部分
（
+
+……+
）。刘徽认为它可
以归结为今有术：所分的数A 为所有数，列衰之和为所有率，列衰各为所求率，某一部分
为所求数。如《九章》衰分章一题目：牛、马、羊吃了人家的青苗，苗主要求赔偿5 斗谷
子。羊主说：我的羊只吃了马的一半；马主说：我的马只吃了牛的一半。问各赔偿多少？
依衰分术，列衰是4、2、1，那么：
10
羊：50 升×1÷（4+2+1）=7
（升）
马：50 升×2÷（4+2+1）=14
（升）
牛：50 升×4÷（4+2+1）=28
（升）
若各部分按
的比例分配，《九章》称为返衰术，其公式是：
。
刘徽说这是“动者为不动者衰”。(《九章算术·衰分章注》)
政府要征收赋税，赋税有的缴粮食，有的是徭役。各县户口不等，距离有远近，粮价
有差异，如何分配才能使各户的负担公平合理呢？这就是均输问题，也是一种比例分配问
题。只是各县的分配比例未预先给定，而是要根据各县条件计算出来。设n 县共应缴谷物
A 斛，各县户数分别为
，距离为
，每斗谷物价
，
一车载m 斛，工价一里k 钱，则i 县运一斛的费用
，则
÷
为i 县的分配
比例。刘徽指出，这可以使
户共出一斛，则每户均为一钱，负担公平。
