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5.6 分解质因数
教学内容
教材第57、58 页 分解质因数
教学提示
分解质因数，教材设计了“把60 写成几个因数相乘的形式”的活动，让学
生写出后进行交流，在学生交流的基础上，教学质因数的概念。接着教材设计
了把35、42 和54 分解质因数。最后，“试一试”，要求小组合作，验证“任
何一个合数都可以写成几个质因数相乘的形式”是否正确。
例3 组织教学交流学生写出的算式时，可通过讨论，60 可以写成最多几个
因数相乘的形式，以及分析因数的特点（都不是质数）引出质因数的概念。例
4 关于用短除法分解质因数的方法，教师可先进行示范，再让学生用短除法分
解质因数。
“问题讨论”中的几个问题，要让学生自己分析、判断，然后交流，重点
让学生说一说判断的理由，目的有二：一是检验学生对本单元所学概念的掌握
程度，二是培养学生在解决问题的过程中，进行有条理的思考。
教学目标
知识与能力
了解质因数和分解质因数的含义，会把一个合数用“树枝图示分解法”和“短
除法”分解质因数。
过程与方法
经历认识质因数、分解质因数以及用不同方法分解质因数的过程并掌握分解质
因数的两种方法。
情感、态度与价值观
在自己写算式、尝试分解质因数的学习活动中，获得成功的体验，增强学好数
学的信心。
重点、难点
重点 理解质因数和分解质因数的意义，会用自己的方法分解质因数。
难点 用短除法分解质因数，明白质因数与因数的联系和区别。
教学准备
教师准备：例3、例4 多媒体教学课件
学生准备：质数等相关知识
教学过程
（一）新课导入
创设情景，复习旧知。
1、能被2、3、5 整除的数的特征是什么？
2、什么叫质数，什么叫合数？
3、说出20 以内的质数和合数。
4、下面哪些数是质数，哪些数是合数？它们各能被哪些数整除？
3 6 21 28 53 60 75 97
设计意图： 复习2、3、5 倍数特征、质数合数的概念、20 以内的质数、合数为
新知的学习做知识基础的铺垫
（二）探究新知
1、认识质因数。
师：看到60，你想到了什么？（让学生交流想到的问题，鼓励学生自主尝试）
（预设）
●1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、60 都是60 的因数。
●60 最大的因数是60，最小的因数是1。
●60 是合数。
师：把60 写成几个因数相乘的形式，而且不能用1。你们能行吗？试一试。
（学生可能写出以下几种不同的方式）
（预设）
60
＝
2×30 60
＝
1×60
60
＝
4×15 60＝3×20 60＝5×12
60 ＝6×10 60 ＝3×4×5 60 ＝2×5×6 60 ＝
2×2×3×5
（如果学生写出四个质因数相乘的形式，要给予鼓励性评价）
师：比一比，你有什么发现？ 60＝2×2×3×5 与其他的式子进行比较，你找
出有什么不一样的地方。
通过比较，学生发现： 60＝2×2×3×5 中的因数不能再分解出更小的因
数了。也就是说，这时的因数都是质数。
师：上面其余算式中的乘数还叫这个算式的什么数？（因数）
师：在60＝2×2×3×5 中，2、2、3、5 这几个因数都是质数，都叫做60 的质
因数。把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做把这个数分解质因数。
（板书）
师介绍大头蛙的做法，给出分解质因数的一种方法，为学生自主分解质因
数提供方式方法。（课件出示）
师：下面的问题你能解答吗？
①20＝4×5，4 和5 都是20 的质因数，对吗？为什么？
②20＝2×2×5，2 和5 都是20 的质因数，对吗？为什么？
③60＝1×2×5，1、2、5 都是20 的质因数，对吗？为什么？
设计意图：通过介绍大头蛙的做法，给出分解质因数的一种方法，为学生自主
分解质因数提供方式方法，同时也了解质因数和分解质因数的概念的不同。
2、分解质因数。
师：一个质数可以写出质数相乘的形式吗？
学生讨论认识到：一个质数只有1 和它本身两个因数，1 不是质数，所以不
能。
师：任何一个合数都可以写成几个质因数相乘的形式。
师：你能仿照上面的方法，把35、42、54 分解质因数吗？（学生试做，全班板
演交流）
（预设）
师：分解质因数时，看可以采用“短除法”的形式来分解，如下：
设计意图：用用“树枝”图式分解法到教师介绍“短除法”分解质因数，从而
沟通两种方法的区别和联系。
（三）巩固新知
1、教材第58 页“练一练”第2、3 题。
2、教材第58 页“练一练”第1、4 题。
3、教材第58 页“问题讨论”。
设计意图：
1、在找一个数的质因数以及用算式法把一个合数分解的过程中，进一步理解分
解质因数的意义、方法。
2、用自己喜欢的方法分解质因数的过程中，自己比较、对比分解质因数的几种
方法。
3、在“问题讨论”中理解因数、倍数、质数、合数的意义。
（四）达标反馈
1、判断下面的横式哪些是分解质因数？哪些不是？说明理由？
24=2×2×6 6=1×2×3 60=2×2×3×5
12=2+3+7
15=3×5×1 20=2×2×5
1、用短除法把下面各数分解质因数。
18 25 28 34 60
3、猜猜我们有多大？
（1）我的年龄是最小的质数。
（2）我们俩的年龄都是合数，和是17。
（3）我们俩的年龄都是质数，积是65。
（4）我的年龄是一个偶数，它是两位数，十位上数与个位数的积是6。
4、把36 个乒乓球分成两堆，使每堆的个数都是质数，请你帮忙分一分，有几
种分法？请把它们写出来。
5、三个孩子的年龄乘积是60，并且他们的年龄一个比一个大1 岁，你知道这三
个孩子的年龄最大的是几岁吗？
答案：
1、是分解质因数的是：60=2×2×3×5 20=2×2×5
不是分解质因数的是：24=2×2×6 6=1×2×3
12=2+3+7 15=3×5×1
2、18=2×3×3 25=5×5 28=2×7 ×2 34=2×17
60=2×3 ×5
3、（1）2 （2）8 和9 （3）5 和13 （4）32 16
4、36=3+33=5+31=17+19=13+23，共四种分法。
5、5 岁。
（五）课堂小结
师：什么叫分解质因数？用“树枝”图式分解法、“短除法”分解质因数，你
认为应注意什么？
设计意图： 在问题回顾中，自己总结、反思、整理分解质因数的意义、方法，
以及分解质因数时需要注意什么。
（六）布置作业
1、填空题。
（1）任何一个合数都可以写成几个（ ）相乘的形式。
（2）在30＝2×3×5 中，2、3、5 这几个因数都是质数，都叫做30 的（ ）。
（3）在括号里填上适当的质数。
10＝（ ）＋（ ）＝（ ）×（ ）
18＝（ ）＋（ ）＝（ ）×（ ）×（ ）
2、选择题。
（1）因为210＝2×3×5×7，所以说（ ）。
A 210 有四个不同的因数
B 210 有四个不同的质数
C 210 有四个不同的质因数
（2）最小的质数乘最小的合数，积是（ ）。
A 4 B 6 C 8
（3）质数与质数的积是（ ）
A 合数 B 质数 C 可能是质数、可能是合数。
（4）37×（ ）的积是质数
A 1 B 可以是1，也可以是别的数 C 质数
3、填一填。
4、找出下列数中的合数，再将合数分解质因数。
17 23 59 72 89 91
97
5、幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32 颗糖平均分给他们，正好分完。小
朋友的人数可能是多少？
答案：
1、（1）质数 （2）质因数 （3）3 7 5 2；5 13 2 3 3
2、（1）C（2）C (3)A （4）A
3、7 21=3×7 6 2 3 42=2×3×7 9 2 2 3 3 36=2×2×3×3
4、合数有：72 =2×2×2×3×3 91 =7×13
5、32=2×2×2×2×2 ，可能是2、4、8、16 人。
板书设计
5.6 分解质因数
教学资料包
教学精彩片段
分解质因数概念教学片断
片断一：（复习过上节课“质数与合数”的知识后）
师：根据学过的知识，大家能不能提出什么推想或猜想？
生1：两个质数的和是合数。
生2：不对，两个质数的和不一定是合数。比如2+3=5，2 和3 都是质数，它们
的和是5，也是质数。
师：虽然这位同学提出的猜想经过验证是错误的，但老师要对她和大家说，很
多伟大的科学发现都是由猜想开始的，敢于提出一个猜想，再去验证它的
对与错，这个过程就是我们成长和进步的过程。
思考：在平时的课堂上，每当有学生发言出现错误时，我经常会说这样一句话：
“这次的错误一定会让他印象深刻！”。当有学生举例验证这个猜想是错误后，
提出猜想的学生的脸上有明显的羞愧的表情，当听我说完那句话后，她立刻坦
然了起来。她还没有坐下，又有人已经高高地举起了手，也要说说自己的猜想
——我的话发挥了作用。作为教师，我们在抱怨学生发言积极性不高的同时，
应该思考自己有没有对学生进行及时的、有针对性的鼓励和引导。
片段二：（又有学生提出猜想）
生3：两个质数的积是合数。
生4：我认为这句话是对的，因为这个数本来就有1 和它本身两个因数，再加上
这两个因数，它就有4 个因数，所以它就是合数。
生5：还要排除1，这个数肯定不是1，因为1 不能写出两个质数的积，所以这
句话是对的。
师：谁听明白了请举手。
（举手示意的学生约有三分之一）
师：还有很多同学没有听明白，怎样解释能让大家听得更清楚呢？
生6：可以举个例子。比如说2 和3，它们的积是6，6 本来就有1 和6 这两个因
数，2 和3 也是它的因数，所以2 和3 的积一定是合数。
师：还能举出不同的例子吗？
生7：2 和2 的积是4，4 本来就有1 和4 两个因数，2×2 等于4，2 也是4 的因
数，所以2 和2 的积一定是合数。
（还有学生举例，略）
思考：在课堂上，我经常提醒学生用举例子的方法去说明问题，还专门给这种
方法冠以“举数例”的名字，当有些问题用语言不能十分清楚的解释时，我会
提示他们用几个简单的数字为例来说明，这样可以把看似复杂的问题解释的简
单、明了，使更多的同学易于理解和接受。
片段三：整理与梳理
师：通过大家的举例验证，说明这个猜想是正确的，也就是说：“两个因数的
积一定是合数。”（板书）
师：同学们提出了自己的猜想，老师也想猜一猜。如果把刚才的这句话反过来
说，“一个合数一定可以写成几个质数的积。”（板书）这句话对吗？
（学生举例验证、小组交流、汇报，略）
师：像这样（指着学生举的例子），把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫
作“分解质因数”（板书课题）。
思考：上课前，我没有对怎样引入新知作什么考虑，更不用说有什么预设了，
在学生根据学过的知识进行猜想时，当我听到 “两个质数的积是合数”这句话
时，我很快意识到了这个猜想和分解质因数的联系，不禁喜上眉梢，我没有让
它从我耳边溜走，借助这个“无意的生成”让学生思考、举例验证，从而十分
自然的引入了“什么是分解质因数”。
教学资源
质因数
质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1
以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1 没有质因子，1 与任
何正整数（包括1 本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连
串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整
数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。
每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式，这几个质数
就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质
数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数（1 除外）。
短除法
短除法是求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。求几个数最
大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，
然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。后来，使用分解质因数
法来分别分解两个数的因数，再进行运算。之后又演变为短除法，一起用质数
除，最后再整理。
资料链接
阿拉伯数字的由来
我们都知道，数学计算的基础是阿拉伯数字：1、2、3、4、5、6、7、8、
9、0，离开这些数字，我们无法进行计算。
古代印度人创造了阿拉伯数字，大约到了公元7 世纪的时候，这些数字传
到了阿拉伯地区。后来，这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲，欧洲人只知道
这些数字是从阿拉伯地区传入的，所以便把这些数字叫做阿拉伯数字。以后，
这些数字又从欧洲传到世界各国。
阿拉伯数字传入我国，大约是13 到14 世纪。随着我国对外国数学成就的吸
收和引进，阿拉伯数字在我国推广使用已有100 多年的历史。阿拉伯数字现在
已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。
数字“0”
大约1500 年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。他们使用罗马数字，
在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。
在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。他
发现，有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用
“0”的方法向大家做了介绍。过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。
教皇非常恼怒，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，就这样，“0”被那
个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是，虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学
的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。后来
“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。
