文档文本内容
9.1 植树问题
教学内容
教材第94、95 页 植树问题
教学提示
解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植
树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段
（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）
和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公
路两旁安装路灯、花坛摆花、广场敲钟等，这些问题情境中都隐藏着总数和间
隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。在植树问题中，
“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方
形、长方形或圆形等）。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情
形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽）。
《义务教育数学课程标准（2011 年版）》强调：“要从学生已有的生活经
验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，
进而让学生在获得对数学理解的同时也在思维能力、情感态度与价值观等多方
面得到进步和发展”。本单元，教材在编排上注重了引导学生进行观察、猜测、
验证、推理等数学活动，使学生初步体会解决植树问题的思想方法（模型思
想），从而培养学生从实际问题中探索解决问题的有效方法的能力。在教学植
树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问
题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮
助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
教学目标
知识与能力
了解间隔数的含义，建构解答植树问题的一般方法模型，能解答类似的简单实
际问题。
过程与方法
结合具体事例，经历分析问题、解决问题、总结解答植树问题一般方法的过程，
建立起解答植树问题的思想方法模型。
情感、态度与价值观
在用植树问题的思路和方法解答其他问题的过程中，获得成功的体验，感受数
学与生活的密切联系。
重点、难点
重点 理解间隔数的含义，能求出间隔数并根据两端植树的情况，利用模型思
想求出植树的棵数。
难点 运用植树问题的模型思想方法解决简单实际问题。
教学准备
教师准备： 多媒体教学课件。
学生准备： 铅笔、橡皮、直尺。
教学过程
（一）新课导入
猜谜导入。
师：在上新课之前，我们先猜个谜语放松一下，好吗？
（课件显示）：两棵小树十个杈，不长叶子不开花。能写会算还会画，天
天干活不说话。
生：手
师：大家真聪明，就是我们的手。瞧，我们每个人都有一双灵巧的手，其实，
在我们的手上也隐藏了好多数学只是，同学们想知道吗？
师：看着老师的手，你从中得到了什么数字？
（5 5 个手指）
师：老师也从中得到了一 个数字“4”，你们知道它指的是什么吗？
（4 个空格）
师： 对了，手指间的空格，在数学上我们叫做间隔。我们手上每两个手指之
间有一个间隔，大家仔细看老师的手，5 个手指，有几个间隔？
师：4 个手指有几个间隔，3 个手指呢？
师：手指数与间隔数其中的关系你发现了吗？
（手指数比间隔多1）
师：还可以这样说？
（间隔数+1=手指数）
师：在我们的手上都有数学只是，看来数学真的是无处不在。今天我们学习和
间隔数有关的问题，它就是“植树问题”。
设计意图： 在猜谜语活动中，体验间隔数的含义、手指个数与间隔数的关系，
为本课时教学“植树问题”探究间隔数和棵数大小基础。
（二）探究新知
1、出示情境，获取信息。
师：学校为了改变校园环境，要在校园内种上一些树，校委会决定公开招聘植
树方案设计师，你们想不想成为我们校园的植树方案设计师呢？
师：我们一起来先看看设计的具体要求吧!（课件显示）
学校计划在40 米长的教学楼前种一排玉兰树，每隔5 米种一棵。
请按照要求，设计一份植树方案，并说明你的设计理由。
师：从要求上，你获得哪些信息？
生：40 米长的教学楼前，每隔5 米种一棵玉兰树 。
师：每隔5 米是什么意思？
生：两棵树之间的间隔是5 米，也就是每两棵树之间的距离是5 米。
2、提出问题，设计方案。
师：现在，请4 个同学为一组开始设计吧，看看哪组设计的方案最多，各需
要多少棵玉兰树呢？（教师巡视）
3、讨论交流、展示方案。
方案一：一端不种，另一端种。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵），有8 个间隔，我们只种一头，另一头不种，所以我们只用
8 棵树。
方案二：两端都种。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵）就说明有8 个间隔，为了让我们的学校更美，我们在两头都
种上树，所以我们再用8+1=9 棵树。
方案三：两端都不种 。（如下图，也可以是线段示意图）
40÷5=8（棵），有8 个间隔，我们想学校的树已经很多了，为了让我们的
活动范围更大，所以在两头都不种树，所以把8－1=7 棵。
4、探究发现、总结规律。
师：同学们设计的真不错，来我们一起看看这三个设计方案中种的棵数与间隔
数有什么关系呢？
第一方案 一端植树，另一端不种，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：只栽一端时，种树棵数=间隔数
第二方案 两端都植树，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：两端栽树时，种树棵数=间隔数+1
第三方案 两端都不种，种树棵数与间隔数有什么关系？
板书：两端都不种，种树棵数=间隔数－1
5、教学例2 。
师：我们一起来看一个生活中的一个问题吧，你会解答吗？（课件显示 ）
同学们在全长是60 米的小路同一侧植树，每隔6 米种一棵，两端各种一棵，
一共需要多少棵树苗？
师：大家一起把题读一遍，从题中你了解到了哪些信息？
（预设）
生1：路程是60 米。
生2：小路同一侧植树，两端各种1 棵。
生3:每两棵树之间的间隔是60 米。
师：两端各种一棵是什么意思？同桌讨论一下，怎么计算？
（预设）
60÷6+1=11（棵）
师：同学们真棒，什么也难不倒你们。
师：如果这条路的两侧都植树，怎样计算？
学生自己独立完成。
使学生明白：要求出两侧都种树苗的棵数，只要求出一侧种树的棵数，再
乘2 就可以了。
设计意图： 在方案征集中体验三种不同的植树方案，在讨论交流中理解“间
隔”的含义，在探究画图中建构起三种方案解决的数学模型，最后在实际问题
解决中体验运用模型思想解决问题的优越性。
（三）巩固新知
1、教材第95 页“练一练”第1、2、3 题。
2、教材第95 页“练一练”第4 题。
设计意图：
1、在练习中进一步熟悉植树问题的一端种、一端不种；两端都种、两端都不种
的三种情形，逐步熟悉和建构解决此类问题的数学模型方法。
2、利用植树问题的模型方法解答上下楼的台阶问题，体会数学模型思想在解决
问题中的运用。
（四）达标反馈
1、填一填。
（1）工人叔叔在路的一边安装路灯，一共安装了6 座，从第一座到最后一座一
共有（ ）个间隔。
（2）一排同学之间有7 个间隔，这一排有（ ）个同学。
（3）小红住的楼房每上一层要走20 个台阶，从二楼到四楼要走（ ）个台阶。
2、有一条长800 米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔20 米栽一棵杨树,需多
少棵杨树苗?
3、在一条长500 米的公路一侧架设电线杆,每隔50 米架设一根,若公路两端都
不架设,共需电线多少根？
4、在一条长50 米的跑道两旁,从头到尾每隔5 米插一面彩旗,一共插多少面彩
旗?
5、有一条路长 1000 米,在路的一侧每隔5 米栽一棵垂柳,可种植垂柳多少棵?
6、两座楼房之间相距 56 米,每隔 4 米栽雪松一棵, 一行能栽多少棵?
答案：
1、（1）5（2）8（3）40
2、 800÷20+1=41（棵）
3、 500÷50-1=9（根）
4、50÷5=10 （面） 10+1=11 （面） 11×2=22 （面）
5、 1000÷5+1=201(棵)
6、 56÷4-1=13(棵)
（五）课堂小结
师：同学们，生活中植树问题的例子有很多很多，有时也不一定非得真的种树，
比如马路旁每隔一定距离放置一座路灯，路灯的数量和间隔的多少可以看
成是植树问题。还比如电线杆呀！教室的课桌安排呀等等都是植树问题。
今天我们大家一起探究了植树问题，体会了植树问题与生活间的密切联系。
现在和同桌说一说，通过本课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？
设计意图： 反思是基于学生的思维状态，让学生对当堂课的知识和收获做一个
回顾，就是学生整理知识、内化知识的过程，能起到画龙点睛的作用，更能培
养学生的归纳能力。
（六）布置作业
1、植树节到了，同学们在一条长120 米的小路的一边栽树，每隔6 米栽一棵。
如只有一端栽树，需要多少棵树?
2、有一根木料，把它锯成8 段，每锯开一处，需要5 分钟，全部锯完需要多少
分钟?
3、一条彩带长1 米，把它剪成长度相同的几小段，已知剪了4 次，每段长多少
分米？
4、
5、一列高速列车共20 节，每节长18 米，每两节之间的距离是1 米，你知道这
列高速列车有多长吗？
6、业务员小李要到六楼联系工作，他从1 楼到4 楼用了54 秒，照这样计算，
小李走到6 楼共需要几秒?
答案：
1、120÷6=20（棵）
2、8-1=7（次） 5×7=35（分钟）
3、1 米=10 分米 4+1=5（段） 10÷5=2（分米）
4、20×（10-1）=180（米）
5、20-1=19（米） 20×18+19=379(m)
6、54÷（4-1）=18（秒） 18×（6-1）=90（秒）
板书设计
教学资料包
教学精彩片段
两端都栽植树问题 教学片断
1、提出问题。
课件：在全长1000 米的路的一边植树，每隔10 米栽一棵树（两端都
栽），一共需要多少棵树苗？
学生的猜测可能有不同的结果：100；101；102 或99。
2、自主探究。
棵数和间隔数到底之间有什么关系呢？让学生大胆地猜想，并用图示的
方法验证。
课件显示：隔10 米种一棵，再隔10 米种一棵……，一直画到1000 米！
学生会感觉：这样一棵一间隔画下去，方法是可以的，但太麻烦了，又浪费时
间。
引导学生：要研究棵数和间隔数之间有什么关系，有更简单的方法吗？
让学生思考、交流，尝试从简单入手，用“把大数变小数”的方法进行研究，
渗透“化繁为简”的数学思想。
3、发现规律。
学生开始动手画图、填表、比较分析，然后展示他们的研究结果，发现在小
数据中两端都种的情况下，都有“棵数比间隔数多1”的规律。
师：“棵数比间隔数多1”的规律是同学们用较小的数据研究出来的，如果数
据增大，这个规律还成立吗？
课件动态演示：一个间隔对应一棵，这样一直对应下去， 100 个间隔
就有100 棵，种完了吗？
9.1 植树问题
方案一：一端不种，另一端种 种树棵数=间隔数
方案二：两端都种 种树棵数=间隔数+1
方案三：两端都不种 种树棵数=间隔数－1
师：如果这条路变得很长很长、无限长，两端都种还有这样的规律吗？
让学生从中体会到，不管数字多大，用“一一对应”的方法，最后还要补上
一棵才能达到两端都种的结果。这个环节，潜移默化地渗透“极限”的思想。
4、总结归纳。
归纳“化繁为简”的解题策略。
让学生体会到研究问题可以从简单入手，将困难的变为容易的，将复杂的
变为简单的，用这样的方法，可以有效地解决问题。把抽象的数学化归思想渗
透在教学中，让学生在“润物细无声”中体验到数学思想方法的价值，提高思
维的素质。
5、总结规律。
师：你们能用一个式子把规律表示出来吗？
（板书）间隔数+1=棵数 棵数－1=间隔数
教学资源
非封闭、封闭线路上、正方形四周植树问题方法梳理
1、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×(株数－1)
株距=全长÷(株数－1)
2、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
3、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么
株数=段数－1=全长÷株距－1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
4、封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
5、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。
棵数=(每边的棵数-1)×边数。
资料链接
20 棵树植树问题
数学史上有个20 棵树植树问题，几个世纪以来一直享誉全球，不断给人类
智慧的滋养，聪明的启迪。20 棵树植树问题：有20 棵树，若每行四棵，问怎样
种植，才能使行数更多？简单地说，就是：有20 棵树，若每行四棵，问怎样种
植，才能使行数更多？
20 棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成
了十六行的排列。
进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20 棵树植树问题应能达到十八行，但
一直未能见其发表绘制出的十八行图谱。直到十九世纪，此猜想才被美国的娱
乐数学大师山姆.劳埃德完成并绘制出了精美的十八行图谱，而后还制成娱乐棋
盛行于欧美，颇受人们喜爱（图2）。
进入20 世纪，电子计算机的高速发展方兴未艾。数学上的20 棵树植树问题
也随之有了更新的进展。在二十世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电
子计算机超越数学大师山姆.劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美
丽的二十行图谱，创造了20 棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今（图
3）。
今天，人类已跨入了21 世纪。20 棵树植树问题又被数学家们从新提出：
跨入21 世纪，20 棵树，每行四棵，还能有更新的进展吗？数学界正翘首以待。
数学模型
数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。
数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同
的定义。不过我们可以给出如下定义。"数学模型是关于部分现实世界和为一种
特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。"具体来说，数学模型就是为了某种
目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、
框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
数学模型（Mathematical Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理
论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在
此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或
定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
