文档文本内容
第3 课时 圆的面积(一)
教学内容
冀教版小学数学六年级上册第47～49 页。
教学提示
本节课的教学是在学生已经掌握了平行四边形转化成长方形推导面积公式的基础上学习
的，学生已经具备了一定转化能力，因此在本节课圆面积计算公式的推导中可把圆转化为
已学过的长方形，由长方形面积公式推导出圆的面积计算公式。
教学目标
1．经历估算飞镖板面积、动手操作、讨论等探索圆面积计算公式的过程。
2．理解并掌握圆的面积公式，能运用公式正确进行计算。
3．体验圆面积公式推导的可行性和结论的确定性，感受转化和无限分割等数学思想。
重点、难点
重点
圆面积的剪拼及圆面积计算公式的推导。
难点
极限思想的渗透与公式的推导。。
教学准备
教师准备：圆规，直尺，课件，圆纸片。
学生准备：长方形纸，圆规，直尺，三角板，剪刀，一个轮廓为圆的物体等。
。
教学过程
（一）新课导入：
师：同学们在课下都喜欢玩哪些游戏呢?
(学生自由发言)
师：同学们的爱好可真多，咱们看看亮亮喜欢什么?
(多媒体显示)
生：是飞镖板!
师：仔细看图，你发现了什么?
生：飞镖板被平均分成了20 份，每份都像一个小三角形。
师：如果我们要估算一下飞镖板表面的面积，该怎么办呢?
学生讨论，交流、汇报结果。
生1：把飞镖板的表面看作是由20 个小三角形组成，每个小三角形的底约是圆周长的元，
高可近似地看作圆的半径。先求出一个小三角形的面积，再求出20 个小三角形的面积。
生2：我们把飞镖板剪开，拼成近似的长方形。长方形的长约为圆周长的一半，宽可近
似地看作圆的半径，然后用长方形的面积公式计算。
师：有没有更直接的方法呢?
二、新授
I 探究公式。
(1)确定策略。
师：我们知道，圆的半径决定了圆的大小，那么圆的面积和半径究竟有怎样的关系呢?请
同学们猜猜看。
(学生自由发言)
师：同学们猜测的究竟对不对呢?我们来想办法验证一下。同学们回忆一下，当我们还不
会计算平行四边形面积的时候，是利用什么方法推导出了平行四边形的面积计算公式呢?
生：我们是利用“割补法”把平行四边形转化成长方形推导出来的。
师：三角形和梯形的面积计算公式又是怎么推导出来的呢?
生：都是通过转化，把三角形或梯形的面积转化成学过的平行四边形或长方形的面积推导
出来的。
设计意图：让学生回忆旧知，引导学生应用旧知类比迁移。这样，既实现了有意识地
学法指导，又帮助学生找到了解决问题的策略。
(2)尝试转化。
师：那你准备用什么方法来推导圆面积的计算公式呢?
生：看是否能把圆转化成学过的图形从而推导出它的面积计算公式。
师：想法不错，怎样才能把圆转化成学过的其他图形呢?老师先给大家一点提示。
课件演示：我们把一个圆平均分成16 等份(如下图左)，那么每一份都是一个近似的
等腰三角形(如下图右)。请同学们观察一下，这个近似的等腰三角形腰和底分别和原来这
个圆有什么关系?
生：这个近似的等腰三角形的腰等于圆的半径，底边等于圆周长的
1
16 。
师：我们把这些近似的三角形重新拼组，就可以将这个圆形“转化”成其他图形了。同学
们，现在请你们拿出准备好的圆形纸片，以小组为单位，动手拼一拼，把这个圆形“转
化”成我们已学过的其他图形好吗?开始吧！
(学生分组操作，把圆形纸片剪裁、拼组转化成学过的其他图形)
设计意图：给学生提供了自主剪拼的时间，也有意识地给学生提供了解决问题的方法
和途径。分组操作，能有效激发小组成员的干劲，更能促进不同层次的学生在原有水平上
得到不同程度的提高与发展。
展示学生作品。
(3)寻找联系。
师：刚才同学们都试图把圆形转化成学过的长方形、三角形或梯形，不管转化成哪种图
形，什么是始终不变的?
生：面积。
师：对，我们以长方形为例，那么就有“圆的面积＝近似的长方形的面积” (板书)。同
学们可以想象一下，如果把这个圆继续分下去，32 等份、64 等份、128 等份、256 等
份……一直这样下去分成很多份，拼成的图形又会怎样呢?
生：就会变成真正的长方形。(课件演示，如图)
课件演示：
设计意图：极限意识的渗透能促使学生形成正确的“转化”表象——“圆形转化为长
方形”。
(4)推导公式。
师：现在请同学们观察一下，这个长方形的长和宽与原来的圆有什么联系?如果圆的半
径为r，那么这个长方形的长和宽是多少?请同学们在小组里讨论。
学生讨论后，汇报：
生1：这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。
生2：如果圆的半径为r，那么这个长方形的长就是πr，宽就是r。
师：同学们的意见都是这样吗?那请看大屏幕。
课件演示：长方形的长，宽与圆的关系。
教师板书：
圆的面积 圆周长的一半 圆的半径
长方形的面积 长 宽
师：我们知道长方形的面积；长X 宽，那么圆的面积呢?现在你能说一说怎样计算圆的面
积吗?
生：用圆周长的一半乘圆的半径。
师：如果用S 表示圆的面积，那么圆的面积S 等于什么?
生：S＝πr2。
设计意图：利用课件演示，化静为动，化虚为实，帮助学生把抽象的内容具体化，进
而加深对圆面积公式推导过程的理解。
教师结合学生的发言将板书补充完整。
师；同学们通过猜测、验证、讨论、总结，自己发现了圆面积的计算方法。真了不起，
课后同学们还可以再研究研究是否能转化成三角形和梯形，如果能，它们和原来的圆又有
怎样的关系，是否也能推导出圆面积的计算公式呢?
2．初步运用。
师：现在请同学们用圆的面积公式fL 算飞镖板的面积，试试看。
学生独立解决。
3．运用新知，解决问题。
师：那我们来看——看教材第49 页“练一练”第1、2、3 题。
学生独立解决，发现规律。
师：同学们做得很好，这几道题有什么规律?
生：都是已知半径，求圆的面积，可以直接用圆的面积计算公式，
师：好！我们再来看一道题；一个圆形茶几，桌面的直径是l 米，它的面积是多少平方
米?
学生讨论，指名汇报：
生1：如果知道茶几的半径就能求它的面积了。
生2：可以先求半径再求面积。
师：同学们回答得不错，遇到求圆的面积的问题，一定要先求出圆的半径。
师：第49 页“练一练”第4 题，要求学生独立完成。先自己用圆规画出一个圆，然后再
计算面积。生独立完成。
（三）巩固新知：
1．填一填。
(1)将圆转化成长方形后，长方形的面积相当于圆的面积。长方形的长相当于圆的( )，
长方形的宽相当于圆的( )。因为长方形的面积＝( )，所以圆的面积＝( )；(
)。
(2)把一个半径为2 分米的圆剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是( )分米，
宽是( )分米。
(3)把半径为4 厘米的圆转化成一个长方形后，面积为( )平方厘米。
(4)一个圆的半径是5 厘米，它的面积是( )平方厘米。
(5)一个圆的半径是6 厘米，这个圆面积的言是( )平方厘米。
2．求下面各圆的面积。
3．一张光盘的半径是S 厘米，这个光盘的面积是多少?
4．和平公园的草地上有一个自动旋转喷灌装置，这个喷灌装置的射程是12 米。它能喷
灌的面积是多少平方米?
答案：
1．⑴周长的一半 半径 ×宽
c
2 ×r πr2
⑵6.28 2 ⑶50.24 ⑷78.5 (5)62.8
2．⑴28.26m2 ⑵78.5cm2
3．3.14×62＝113.04(平方厘米)
4．3.14×122＝452.16(平方米)
（四）达标反馈
1．求下面各圆的面积。
2．—块圆形铁板的半径是8 分米。它的面积是多少平方分米?
3．一种麦田的自动旋转喷灌装置的射程是20 米。它能喷灌的面积有多少平方米?
4．求阴影部分的面积。
5．一只手表的分针长o．8 厘米，经过1 小时后，这根分针扫过的面积是多少平方厘米?
答案：
1．(1)379.94 dm2 (2)1256 m2
2．3.14×82＝200.96(平方分米)
3．3.14×202＝1256(平方米)
4．(1)100.48 平方厘米
(2)3.44 平方分米
5．3.14×0.82＝2.0096(平方厘米)
（五）课堂小结
师：同学们，回顾一下这节课学习的内容，你学到了什么?是怎样学会这些知识的?
学生自由发言。
小结：今天我们一起研究了圆的面积，成功地推导出了圆的面积计算公式，并学会了应
用。希望同学们在今后的学习中能更好地运用转化的方法去学习更多的数学知识。
设计意图；通过总结、梳理新知，形成体系，培养学生的口头表达能力，使学生有一
种成就感，体验数学学习的乐趣；同时小结也体现了学法指导，使学生由“学会”转化为
“会学”，促使学生实现认知上的飞跃。
（六）布置作业
1．我是聪明的小法官。
(1)若小圆和大圆的半径的比是1：2，则小圆和大圆面积的比 是1：2。 ( )
(2)r2表示r×2。 ( )
(3)一个半径是1cm 的圆，它的周长和面积相等。 ( )
(4)一个圆中直径与周长的比是1：π。 ( )
2.求下面图中阴影部分的面积。
3．如图所示，正方形的周长是20 厘米，图形的总面积是多少平方厘米?
4．求花坛的面积(如下图)。
5.一个正方形养鱼池边长是20 米，中间有一个圆形小岛，半径是4 米，这个养鱼池的水域
面积是多少平方米?5．如下图中ABC 是一个面积为6 平方米的水池，四周是草地。A 处木桩
上拴着一只羊，拴羊的绳长9 米。问羊可能吃到的草地面积最大是多少平方米?
答案：
1．⑴× ⑵× ⑶× ⑷√
2．86cm2
3．正方形边长：20÷4＝5(厘米)
两圆重合部分：3.14×52×
1
4 ×2－5×5＝14.25(平方厘米)
图形总面积：3.14×52×2－14.25＝142.75(平方厘米)
4．答案：圆的面积：3.14×(10÷2)2×2
＝3.14×25×2
＝157(平方厘米)
正方形面积：10×10＝100(平方厘米)
花坛面积：157＋100＝257(平方厘米)
答：花坛面积是257 平方厘米。
5．20×20－3.14×42＝349.76(平方米)
板书设计
圆的面积(一)
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
圆的面积＝近似的长方形的面积
圆的面积 圆周长的一半 圆的半径
长方形的面积 长 宽
S＝πr2
教学资料包
（一） 教学精彩片段
一、导入。
师：还记得这些平面图形的面积计算公式吗？
师：平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形
的。
小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式，这是今天我们要
学习的内容。板书：圆的面积
设计意图：在复习引导中让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生
回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫，同时回忆平行四边形、三
角形和梯形等图形的面积计算公式的推导过程。通过直观的演示，激发学生积极主动地学
习。引导学生复习长方形的面积计算公式，渗透了要求圆的面积也需从转化的思想放手。
二、新授。
师：请你摸一摸哪里是圆的面积？
师：圆所占平面的大小就是圆的面积。
师：圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？
生：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成
的封闭图形。
师：如何化曲为直呢？
引导学生操作：
师：（拿出一个圆片）我们怎么剪？圆的大小是由什么决定的？（直径、半径）
生：（圆的大小由直径或半径决定。）沿直径或半径剪。
师剪第一刀，再问:第二刀怎么剪？
师:我们要把圆通过剪成多份并用拼的方法转化成学过的规则图形，为了计算上的方便，
我们把圆平均分成多份。
将一个圆分别平均分成2 份、4 分、8 分、16 份，分别罗列排好。请学生观察四组图。
师：随着等分份数的不断增加，你有什么发现吗？
A：随着等分份数的不断增加，曲线越来越直。
B：随着等分份数的不断增加，每一小份越来越接近三角形。
设计意图：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的
重点；由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学
生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法
和极限思想的感受是本节课的难点。
（二） 数学资源
圆的面积
在半径为只的圆中，当内接正多边形的边数不断地成倍增加时，正多边形的面积就越来
越接近于圆的面积。
如上图，AB 是圆O 的内接正n 边形的一边，OD 垂直于AB(它的长度用r 表示)，所以
△AOB 的面积等于
1
2 AB·r。正n 边形的面积等于△AOB 的面积的n 倍，因此，正n 边形的
面积＝
1
2 AB·r·n＝
1
2 (AB·n)·r。因为正n 边形的周长p＝AB·n，所以正n 边形的面积
＝
1
2 p·r。
当正n 边形的边数不断地成倍增加时，正n 边形的面积越来越接近：厂圆的面积，同时，
正”边形的周长夕也越来越近于圆的周长2πR。r 也越来越接近于圆的半径R。因此，圆
的面积S＝
1
2 pr＝
1
2 ×2πR×R＝πR2。
体会奥赛
下图是一块长20 米、宽16 米的长方形草地，若在A、B、C 三处各用一根长4 米的绳子
拴一只羊。这三只羊最多各能吃多少平方米的草?
思路分析：羊在A 点吃到草的形状是
1
4 圆，在B 点吃到的草的形状是
1
2 圆，在c 点吃
到的草的形状是一个圆，如图。
答案：A：3．14×42×
1
4 ＝12.56(平方米)
B：3.14×42×
1
2 ＝25.12(平方米)
C：3.14×42＝50.24(平方米)
三、资料链接
规矩和直尺、圆规
规和矩发明于中国，是古人用来测量、画圆形和方形的两种工具。“规”就是画圆的
圆规；“矩”就是折成直角的曲尺，尺上有刻度。古人说“不以规矩，不能成方圆”就是
这个意思。
规矩发明的确切年代已无法查清，但在公元前15 世纪的甲骨文中，已有规、矩二字了。
汉朝著名史学家司马迁著的《史记》中有这样的记载：夏禹治水的时候，是“左准绳，右
规矩”，这意思是说，夏禹是左手拿着水准绳，右手拿规和矩进行测量，规划出治水方案
的。说明在夏禹治水的年代(约公元前2000 年)就有了规和矩这两种几何工具了。
规矩的使用，对于我国古代几何学的发展，有着很重要的意义。周代数学家商高曾对
“用矩之道”作过理论总结：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。”
这一段话，精炼地概括了矩的广泛而灵活的用途。“平矩以正绳”，是指把矩的一边放置
水平，另一边靠在一条竖立的线上，可以判定绳子是否垂直。“偃矩以望高”是指把矩的
一边仰着另一边放平，可以测量高度。“覆矩以测深”是把上述测高的矩颠倒过来，就能
测量深度。“卧矩以知远”是指上述测高的矩平躺在地面上，就可以测出远处两地间的距
离。
古希腊人研究几何问题时，一般用直尺和圆规这两种工具。这种直尺没有刻度，只能
画直线。古希腊人作图只能从最基本的工具——直尺和圆规开始，完成尽可能多的几何图
形。 由此产生了两方面的问题：一是能否用直尺圆规画出这个图形，二是如果能画出，
怎么画。对用直尺圆规作图的研究，致使许多数学定理的发现。
圆面积公式的来源
约翰尼斯·开普勒是德国天文学家，他发现了行星运动的三大定律，这三大定律可分
别描述为：所有行星分别是在大小不同的椭圆轨道上运行；在同样的时间里行星半径在轨
道平面上所扫过的面积相等；行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。这三大
定律最终使他赢得了“天空立法者”的美名。为哥白尼的日心说提供了最可靠的证据，同
时他对光学、数学也做出了重要的贡献，他足现代实验光学的奠基人。
开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，
古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他
们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出
来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分咸无穷
多等分才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一开始就把圆分
成无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以在最后一个式子中，各段
小弧相加就是圆的周长2πr，所以有S＝πr2，这就是我们所熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615 年，他将自己创造的这种求圆
面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它
对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工
作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。
