文档文本内容
5 圆柱的体积
教学内容
圆柱的体积。
教学提示
1、通过实验，观察研究圆柱和正方体体积之间的关系。
2、通过对圆柱进行切、拼，研究圆柱体积公式。
3、通过小组合作交流，增强学生的探索新知能力。
教学目标
知识与能力
通过教学，使学生经历观察、猜想、操作、验证、交流和归纳等数
学活动过程，探索并掌握圆柱的体积公式，初步学会应用公式计算
圆柱的体积，并解决相关的简单实际问题。
过程与方法
使学生在活动中进一步体会“转化”方法的价值，培养应用已有知
识解决新问题的能力。
情感、态度与价值观
培养学生初步的空间概念、动手能力、操作能力和逻辑思维推理能
力。
重点、难点
教学重点：圆柱体积的计算方法。
教学难点：理解圆柱体积计算公式的推导过程，体会“转化”方法
的价值。
教学准备
教师准备：实物投影仪、多媒体课件、圆柱体积学具等。
学生准备：学生课前自己收集圆柱形实物。
教学过程
一新课导入：
谈话：同学们，天气渐渐热了，在夏季同学们最喜欢的冷饮是什
么？（生回答）
课件出示：两个圆柱体冰淇淋。
谈话：看，小明买了两个冰淇淋，你能猜猜哪种包装盒体积大吗？
（生猜测）这节课我们就来研究圆柱的体积。（板书课题——圆
柱体的体积。）
设计意图：从生活中常见的例子导入新课，从中培养学生在生活中
发现数学问题、提出问题的意识。学生的猜测为后面的实验验证做好
了铺垫，激发学生探究新知的欲望。
谈话：怎样求圆柱的体积呢？我们也许能从以前研究问题的方法
里得到启示，找到解决问题的办法。请大家想一想，在学习圆的面
积时，我们是怎样推导出圆的面积计算公式的？
（学生回答后，教师利用多媒体课件动态演示把圆等分切割，拼
成一个近似的长方形，找出圆与所拼成的长方形之间的关系，进而
推导出圆面积计算公式的过程。）
设计意图：通过回顾圆的面积的推导方法，巧妙地运用旧知识进行
迁移。
二探究新知：
（一）交流猜测
谈话：通过刚才的回顾，你们能想办法将圆柱转化成我们已经学
过的立体图形来求体积吗？
生：我们学过长方体的体积，可不可以将圆柱转化成长方体呢？
师谈话：你的想法很好，怎样转化呢？
生讨论，交流。
生汇报，可能会有以下几种想法：
1．先在圆柱的底面上画一个最大的正方形，再竖着切掉四周，
得到一个长方体，然后把切下的四块拼在一起。
2．可以把圆柱的底面分成许多相同的扇形，然后竖着切开，重
新拼一拼。
3．如果是橡皮泥那样的，可以把它重新捏成一个长方体，就能
计算出它的体积了。
谈话：请同学讨论和评价一下，哪一种方法更合理呢？引导学生
按照第二种方法进行验证。
配合学生的回答，课件演示：把圆等分切割，拼成一个近似的长
方形，找出圆与所拼成的长方形之间的关系，进而推导出圆面积的
计算公式。
（二）实验验证
学生动手进行实验。
谈话：请每个小组拿出学具，按照刚才第3 小组的方法把它转化
为近似的长方体，并研究转化后的长方体和原来圆柱体积、底面积、
高之间的关系。
学生合作操作，集体研究、讨论、记录。
设计意图：本环节让学生亲自动手 操作，再次感受“化圆为
方”的思想。动手操作，是学生发现规律和获取数学思想的重要途
径。
（三）分析关系，总结公式
1.全班交流
谈话：哪个小组愿意展示一下你们小组的研究结果？
引导学生发现：
转化后的形状变了，但是体积没有变，底面的面积没有变，高也
没有变。
2.分析关系
引导说出：圆柱体转化成长方体后，虽然形状变了，但是长方体
的体积和原来圆柱的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，
长方体的高等于圆柱的高。
3.总结公式。
谈话：同学们真了不起！你们的发现非常正确。我们来看一看课
件演示。
（课件分别演示将圆柱等分成16 份、32 份、64 份的割拼过程，
学生观察、思考。）
谈话：你发现了什么？
引导观察：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方体。
（课件动态演示：圆柱的高——长方体的高，圆柱的底面积——
长方体的底面积。）
谈话：其实大家刚才又采用了“化圆为方”的方法将圆柱转化成
了长方体。你现在能总结出圆柱体积的计算公式吗？说一说你是怎
样想的。
根据学生的回答教师板书：
长方体的体积 = 底面积 × 高
圆柱的体积 = 底面积 × 高
谈话：你能用字母表示圆柱的体积计算公式吗？V=Sh
设计意图：转化的方法是学生学习的重要方法，把新的问题转化
成已经学过的问题是学生解决问题的重要方法。通过转化学生把圆
柱体的表面积转化成一个长方形和两个圆面积的方法。
三巩固新知：
自主练习第1 题、第2 题。
练习时，重点引导学生说说求圆柱体积需要知道的什么条件。
设计意图：巩固练习及时让学生利用结论解决问题，感受自己研
究的重要价值，激发学习数学的兴趣。
（四）达标反馈
1、填空
（1）把圆柱切割拼成近似（ ），它们的（ ）相等。长方体
的高就是圆柱的（ ），长方体的底面积就是圆柱的（ ），
因为长方体的体积=（ ），所以圆柱的体积=（ ）。
用字母表示为（ ）。
（2）一个圆柱的底面积是12 平方米，高是3 米，它的体积是（
）立方米。
（3）把一个棱长为1 分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱
体积是（ ）。
2、判断：
（1）圆柱体的底面积越大，它的体积越大。（ ）
（2）圆柱体的高越长，它的体积越大。（ ）
（3）体积相等的两个圆柱底面积一定相等（ ）
（4）高相等的两个圆柱底面半径长的圆柱体积大（ ）
（5）两个圆柱的表面积相等，他们的体积也相等。
3、一个圆柱形水桶（厚度不计），底面周长12.56 分米，高30 厘
米。这个水桶最多能装多少升水？
答案1、（1）长方体 体积 高 底面积 底面积×高
底面积×高 v﹦sh
（2）12×3﹦36（立方米）
（3）3.14×（1÷2）²×1﹦0.785（立方分米）
2、 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）×
3、 注意转换单位
30 厘米﹦0.3 分米
3.14×（12.56÷3.14÷2）²×0.3﹦3.768（立方分米）﹦
3.768（升）
设计意图：当堂检验学习的效果。为第二节练习教学确定练习重
点。
（五）课堂小结
这节课我们一起学习了运用转化的方法推导出圆柱体积的计算公式，
并且能够运用圆柱体积的计算公式解决一些实际问题。在今后的学
习中，特别提醒大家一定正确计算出圆柱的体积，并且能灵活运用
圆柱的体积计算公式。
设计意图：学生自主回顾、梳理所学新知，进一步提高了学生的
思维能力。
（六）布置作业
圆柱的体积
1、填空
（1）求水桶能装多少水就是求水桶的（ ）,求水池的占地面积
是算水池的（ ）。
（2）一个圆柱的底面半径是4 分米，高2.5 分米，这个圆柱的体积
是（ ）。
（3）一个圆柱的直径是6 分米，高8 分米，这个圆柱的侧面积是（
），底面积是（ ），表面积是（ ），体积是（ ）。
（4）把棱长6 分米的正方体木块切成最大的圆柱，切去的体积是（
）。
（5）圆柱的底面半径和高都扩大2 倍，体积扩大（ ）倍。
2、判断
（1）把正方体木块削成一个最大的圆柱，则此圆柱的直径与高相等。
（ ）
（2）圆柱体的高不变，底面积扩大2 倍，体积扩大4 倍。
（ ）
（3）一个圆柱体的高扩大2 倍，底面积缩小2 倍，它的体积不变。
（ ）
（4）长方体、正方体和圆柱体的体积，都可以用底面积乘高来求。
（ ）
（5）把一个圆柱切成两半，表面积和体积都增加了。 （ ）
3、 解决问题
一个圆柱水杯，底面直径10 厘米，高40 厘米，现在有9.42 升的水
倒入这个水杯中，可以倒几杯？
答案：1 题（1）体积 底面积
（2）3.14×4 ²×2.5﹦125.6（立方分米）
（3）侧面积：3.14×6×8﹦150.72（平方分米）
底面积：3.14×（6÷2）²²﹦28.26（平方分米）
表面积：3.14×（6÷2）²²×2＋3.14×6×8﹦
207.24（平方分米）
体积：3.14×（6÷2）²²×8﹦226.08（立方分米）
（4）6×6×6－3.14×（6÷2）²²×6﹦216－169.56﹦
46.44（立方分米）
（5）2 ²×2﹦8（平方分米）
2 题（1）√ （2）√ （3）× （4）√ （5）×
3 题3.14×（10÷2）²²×40﹦3140（立方厘米）
9.42 升﹦9420 立方厘米
9420÷3140﹦3（杯）
板书设计
圆柱的体积
长方体的体积 ＝ 底面积×高
↓ ↑ ↑
圆柱的体积 ＝底面积×高
用字母表示圆柱的体积计算公式：
V=Sh
教学资源包
教学精彩片段：
……
师：牛顿曾说过：“没有大胆的猜测，就没有伟大的发明”，现
在我们就用科学家的头脑来猜测一下，圆柱的体积可能与什么有关？
可能怎样计算？
生1：我认为是底面积乘高，因为我们以前学过长方体的体积就
是底面积乘高。
师：先不说你的猜测是不是正确，你能联系已有的旧知识和经验
来猜测，这是难能可贵的。
生2：我认为是底面积乘侧面积。
生3：我认为是直径乘高。
师：这些猜测对不对呢，需要我们去验证，现在小组合作，想办
法验证，并准备汇报。
(5 分钟讨论时间)
师：刚才同学们讨论得很热烈。哪个小组愿意汇报一下你们的验
证方法？
组1 代表：可以把圆柱体放在盛水的长方体容器中，上升的水的
体积就是圆柱体的体积，然后与猜测对照一下，结果符合的猜测正
确。
师：同学们，有疑问吗?
生：我同意你的说法，但是我想问，如果这个圆柱体是纸做的或
不下沉怎么办？
组1 代表：那这种方法就不行了，但是我们可以先用能下沉的物
体做实验，验证了猜测之后，再用结论去解决其它题目。
（同学们点头同意）
师：这其实是一种从特殊总结出规律，再应用到一般的过程。而
且同学们看，这个小组的方法其实是把圆柱的体积转化成了长方体
的体积。
组2 代表：我们是用橡皮泥验证的，把圆柱体形状的橡皮泥捏成
长方体形状，体积不变，但是圆柱体的体积也转化成了长方体的体
积。再把计算结果与猜测结果对照。
师：没想到一块橡皮泥还有这样的作用，你们可真是不简单！
组３代表：拿一个圆柱形状的容器装满水，再把水倒入长方体形
状的容器中，水的体积就是圆柱体的体积，而水的形状是长方体，
可以求出来，这样也就求出了圆柱的体积。
生１：这种方法和第一小组的方法差不多，都是求水的体积。
生２：我认为这样求必须忽略容器的厚度。
生３：这也是把圆柱的体积转化成长方体的体积。组４代表：我
们组是把圆柱平均分成了８份，拼成了长方体，这样圆柱的体积也
转化成了长方体的体积。
生1：你们拼的根本不像长方体。
组4 代表：那可以再来分，分的份数越多，拼成的长方体就越像。
师：我也有个问题：你们是怎么想到这种方法的？我们以前用过这
种方法吗？
组4 代表沉默，学生们陷入沉思中，不到一分钟，大多数同学举
手。
生2：老师，在学圆的面积的时候，我们就是用这种方法把圆平
均分成了若干份，拼成了长方形。
（同学们一致同意）
师：也就是说我们在遇到新问题的时候可以打开记忆的大门，检
索已有的知识和经验。同学们刚才用到的方法都是把圆柱体的体积
转化成了长方体的体积，这种方法叫做转化，转化是数学上一种重
要的数学方法，在以后的学习中还会帮我们很多忙。（板书转化）
还有其他方法吗？
组5 代表：我们还可以把圆柱体横着切成若干份，这样就可以看
作无数的圆叠放在一起，圆的个数就是圆柱的高，而圆的面积就是
底面积，所以也可以推出圆柱的体积等于底面积乘高。
生1：可是无论怎么分，分成的每一块还是有厚度的啊？
生2：如果分成无数分，那样就很薄了，可以近似地看成圆了。
（大多数同学点头）
师：你的见解让人听起来耳目一新，其实这种方法中包含了你们
以后高中和大学要学到的极限和积分的思想。
生3：其实我们还可以这样想，在推导长方体体积公式时，我们
是采用摆体积单位的方法，用每层个数×层数。现在求圆柱体我们
也可以用这种思路，在圆柱体内部同样摆上合适的体积单位，再用
每层个数×层数，每层的个数也就是它的底面积，摆的层数就是高。
那不就证明了圆柱体积的计算公式就是用底面积乘高吗？
生4：老师，我认为圆柱的体积还可以是侧面积乘半径。 （同
学们都愣了，连我也没想到） 师：你能解释一下你的想法吗？
生4：既然圆柱体可以切成无数的圆叠加而成，那么圆柱也可以
看成是无数的侧面叠加而成，半径就是它的高。
生5：老师，我反驳，刚才我们叠加的圆都是大小相同的，而如
果看成侧面积叠加，侧面积的大小是不同的，不能这样算。生4：
（恍然大悟）：对，不能这样。
师：你能借助于他人的结论再进行深刻地思考是值得我们学习的，
课下可以再想想圆柱的体积与侧面积到底有什么关系。
（说实话，当时我也没想出来。）
师：同学们，刚才我们的讨论氛围非常浓厚，讨论出来的方法也
很有价值。刚才在这些方法中，我们重点来看把圆柱体平均分成若
干份，然后拼成长方体这种方法，（课件演示）我们的数学不能单
纯地停留在表面上，还要进行有效地思考，现在我们再来讨论圆柱
体的各部分与长方体的各部分有什么关系?并推导出圆柱的体积公式。
小组合作开始„„
最后，大部分同学们推导出了圆柱的体积等于底面积乘高。正想
总结，一个同学举起了手。
生1: 老师，我发现如果把摆成的长方体横着放，长方体的底面
积就相当于圆柱侧面积的一半，而高就相当于圆柱底面圆的半径，
所以圆柱的体积也可以是侧面积的一半乘高。
（同学们发出了赞叹的声音）
生2 ：也可以这样想：v=πr﹒r﹒h =πr﹒h﹒r 而πr﹒h 就是
侧面积的一半。
师（惊讶）：你两个真了不起，竟能想出如此独特的方法，很有
新意，这样我们也就验证了刚才的说法侧面积乘半径是错的，但我
们仍要为他喝彩。
……
教学资源
1、圆柱的体积：V=sh=πr ² h。
2、已知圆柱的体积V 和高h，求底面积：S=V÷h。
3、已知圆柱的体积V 和底面积S，求高：h=V÷S。
