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第 03 讲 成对数据的统计分析
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南南阳·高二唐河县第一高级中学校考阶段练习）第一组样本点为（-5，-8.9），（-4，-
7.2），（-3，-4.8），（-2，-3.3），（-1，-0.9）第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），
（4，3.3），（5，0.9）第一组变量的线性相关系数为 ，第二组变量的线性相关系数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】观察第一组样本点，y随x的增大而增大，故 ；
观察第二组样本点，y随x的增大而减小，故 .
综上： .
故选：A.
2．（2023秋·河北·高三校联考期末）下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较
合适，
带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D选项的拟合精度最高.
故选：D.
3．（2023·全国·高二专题练习）为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的
关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则所得到的统计学结论是认为“性别与喜欢乡
村音乐有关系”的把握约为（ ）附：
A．0.1% B．0.5%
C．99.5% D．99.9%
【答案】C
【详解】因为 ，
所以认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握有99.5%.
故选：C
4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）新冠肺炎疫情发生以来，中医
药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入 （亿元）
与产品收益 （亿元）的数据统计如下表：
研发投入 （亿元） 1 2 3 4 5
产品收益 （亿
3 7 9 10 11
元）
用最小二乘法求得 关于 的经验回归直线方程是 ，相关系数 （若 ，则线
性相关程度一般，若 ，则线性相关程度较高），下列说法不正确的有（ ）
A．变量 与 正相关且相关性较强
B．
C．当 时， 的估计值为40.3
D．相应于点 的残差为0.8
【答案】D
【详解】对于A，由相关系数 可知变量 与 正相关且相关性较强，故A正确；
对于B，由表中数据可得 ，所以 ，解得
，故B正确；
对于C， 关于 的线性回归方程为 ，将 代入线性回归方程可得，
，故C正确；
对于D，相应于点 的残差为 ，故 错误.
故选：D.
5．（2023秋·高二单元测试）某校团委对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的 ，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的 ，女生喜欢吃水果的人数
占被调查的女生人数的 ，若有99%的把握认为喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有
（ ）
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．12人 B．18人
C．24人 D．30人
【答案】B
【详解】设被调查的男生人数为x，被调查的女生人数为 ，则得到2×2列联表如下：
喜欢吃水果情况
总计
喜欢 不喜欢
男
生
学生
性别
女
生
总计
则 ，解得 ，
又因为男、女人数为整数，所以被调查的男生至少有18人.
故选：B.
6．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量
之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：
由表格中的数据可以得到 与 的经验回归方程为 ，据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的
样本数据是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由表格数据知： ， ，
， 经验回归方程为 ；
对于A，残差的绝对值为 ；
对于B，残差的绝对值为 ；
对于C，残差的绝对值为 ；
对于D，残差的绝对值为 ；
残差绝对值最小的样本数据是 .
故选：C.
7．（2023春·山西朔州·高二校联考阶段练习）通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否
看营养说明，得知有 的男大学生“不看”，有 的女大学生“不看”，若有99.9%的把握认为性别与是
否看营养说明之间有关，则调查的总人数至少为（ ）
附： ，其中 .
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．225人 B．227人 C．228人 D．230人
【答案】C
【详解】设男女大学生各有m人，根据题意画出 列联表，如下图：
不
看 合计
看
男 m女 m
合计 2m
所以 ，因为有99.9%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以
，解得 ，所以总人数至少为228.故选C.
8．（2023春·河南郑州·高二统考期末）下列四个命题中，正确命题的个数为（ ）
①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，
46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．
②相关系数 ，表明两个变量的相关性较弱．
③若由一个 列联表中的数据计算得 的观测值 ，那么有99%的把握认为两个变量有关．
④用最小二乘法求出一组数据 ， 的回归直线方程 后要进行残差分析，相应于数
据 ， 的残差是指 ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为 ，①错误；
对于②，相关系数 时，两个变量有很强的相关性，②错误；
对于③， 的观测值约为 ，那么有99%的把握认为两个变量有关，③正确；
对于④，残差分析中，相应数据 的残差 ，④正确，
所以命题正确的序号是③④.
故选：B.
二、多选题
9．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．回归直线 恒过点 ，且至少过一个样本点；
B．根据 列列联表中的数据计算得出 ，而 ，则有 的把握认为两个分类变量有关系，即有 的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
C． 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当 的值很小时可以推断两类变量不相关；
D．某项测量结果 服从正态分布 ，则 ，则 ．
【答案】BD
【详解】A选项，回归直线 恒过点 ，不一定过样本点，故A选项错误．
B选项．独立性检验是选取一个假设 条件下的小概率事件，则根据独立性检验的定义可知B选项分析正
确，故B选项正确；
C选项．当 的值很小时推断两类变量相关的把握小，但不能说无关，故C选项错误．
D选项，由 可知 ，又 ，根据正态曲线的对称性，
，D选项正确.
故选：BD．
10．（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数
据 ， ，….， ，由此得到的线性回归方程为 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A．回归直线 至少经过点 ， ，….， 中的一个点
B．若 ， ，则回归直线 一定经过点
C．若点 ， ，….， 都落在直线 上，则变量x，y的样本相关系数
D．若 ， ，则相应于样本点 的残差为
【答案】BCD
【详解】线性回归方程为 不一定经过 ， ，…， 中的任何一个点，
但一定会经过样本中心点 ，故A错误，B正确；
选项C，直线 的斜率 ，且所有样本点都落在直线 上，
所以这组样本数据完全负相关，且相关系数达到最小值 ，即样本相关系数 ，故C正确；
选项D，样本点 的残差为 ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位： ）
与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 去拟合x与y的关系，设 ，x与z的数据如表格所示：
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
得到x与z的线性回归方程 ，则 .
【答案】 /
【详解】由已知可得， ， ，
所以，有 ，解得 ，
所以， ，
由 ，得 ，
所以， ，则 .
故答案为：
12．（2023·全国·高二专题练习）汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损.
某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型 ，通过实
验数据分析与计算得到如下结论：① ；② ，令 ， ，则回归方程应为
.
【答案】 .
【详解】因为回归模型为 ，
因为 ，可得 ，
两边同时取对数，可得 ，
令 ，此时 ，
又因为 ， ，所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）为研究农药 对农作物成长的功效，在甲､乙两块试验田播种同
一种农作物，甲试验田喷洒农药 ，乙试验田没有喷洒农药 ，经过一段时间后，从甲､乙两块试验田各
随机选取100株幼苗，统计200株幼苗高度（单位：cm）如下表：
幼苗高度
甲试验田 10 15 55 20乙试验田 10 35 45 10
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，其中
(1)分别求甲､乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；
(2)分别统计样本中甲､乙两块试验田幼苗高度小于 和不小于 的株数，完成下列联表，并依据小
概率 的独立性检验，分析是否喷洒农药 与幼苗生长的高度有关联？
高度 高度
喷洒农药
没有喷洒农药
【答案】(1)甲块试验田中幼苗的平均高度为 ；乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1 .
(2)列联表见解析，喷洒农药 与幼苗生长的高度有关联
【详解】（1）由题知，
样本平均数为： ，
所以估计甲块试验田中幼苗的平均高度为 ；
估计乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1 .
（2）列联表为：
高度
高度 合计
喷洒农药 25 75 100
没有喷洒农药 45 55 100
合计 70 130 200
根据列联表中数据，可得由此推断犯错的概率不大于0.01
即认为喷洒农药 与幼苗生长的高度有关联.
14．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开
局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.2023年8月4
日，贵州省工业和信息化厅召开推进贵州刺梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业
刺梨高质量发展工作，集中资源､力量打造“贵州刺梨”公共品牌.贵州省为做好刺梨产业的高质量发展，
项目组统计了全省近5年刺梨产业综合总产值的各项数据如下：
年份x，综合产值y（单位：亿元）
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
综合产值
23.1 37.0 62.1 111.6 150.8
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加
以说明（精确到0.01）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2023年底贵州省刺梨产业的综合总产值.
参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分
别为 ；
参考数据：
【答案】(1) ，变量y与变量x之间有强相关性；
(2) ，预测2023年底贵州省刺梨产业的综合总产值 亿元.
【详解】（1）由题设 ，则
， ，
，
所以 ，两个变量有强相关性，
故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系.（2）由（1）， ， ，
所以 ，
当 ，则 亿元.
B能力提升
1．（2023春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干
人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的 ，女性喜爱足球的人数占
女性人数的 ，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结
论，则被调查的男性至少有（ ）人
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【详解】设男性人数为 ，依题意，得 列联表如下：
喜爱足
不喜爱足球 合计
球
男性
女性
合计
则 的观测值为 ，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是 ，即 ，解得 ，而 ，因此
故选：B2．（2023·全国·高二专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格
（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：
时间t/（单位：天） 10 20 70
销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：
.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格
最低的日期为（ ）
A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日
【答案】C
【详解】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间Q的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单
调函数，
函数 在 时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合，
所以应选取 进行描述，
将表中数据 代入 可得
，解得 ，所以 ，
，所以当 时杨梅销售价格最低，
而6月5日时 ，6月15日时 ，6月25日时 ，7月5日时 ，
所以 时杨梅销售价格最低.
故选：C.
3．（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）两个具有相关关系的变量x，y的一
组数据为 ， ，求得样本中心点为 ，回归直线方程为 ，决定系数为
；若将数据调整为 ， ，求得新的样本中心点为 ，回归直线方程
为 ，决定系数为 ，则以下说法正确的有（ ）
附 ， ，
A． B．
C． D．
【答案】BC【详解】 ，А错误；
的计算中， 数据不变， 也不变，所以 不变，B正确；
，C正确；
由于 ， 变成了 ， ，
，从而 ， 都不变，所以 ，D错误.
故选：BC
4．（2023·全国·高二专题练习）现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地
块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据 ，其
中 分别表示第 个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量
， ，其中 ，
，并计算得 ， ， ， ， ，由选择性必修二教材中的知识，
我们知道 对数据的相关系数 ，则上述数据 的相关系数 .
【答案】
【详解】由题干数据， ， 可得 ，
根据夹角公式的定义， ，而 ，
根据
，
于是 .
故答案为：
5．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵
数 （单位：个）与温度 （单位： ）有关，测得一组数据 ，可用模型 进行拟合，利用 变换得到的线性回归方程为 .若 ，则 的值为
.
【答案】
【详解】对 两边同时取对数可得 ；
即 ，可得
由 可得 ，
代入 可得 ，即 ，所以 .
故答案为：
6．（2023秋·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考阶段练习）近年来我国新能源汽车产业迅速发展，
下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份
销量 （万
台）
某机构调查了该地区 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
购置传统燃油
购置新能源车 总计
车
男性车主
女性车主
总计
(1)求新能源乘用车的销量 关于年份 的线性相关系数 ，并判断 与 之间的线性相关关系的强弱；（若
，相关性较强；若 ，相关性一般；若 ，相关性较弱）
(2)请将上述 列联表补充完整，根据小概率值 的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车
与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数 ；
②参考数据： ；
③卡方临界值表：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中 ， .
【答案】(1)0.96，y与x之间的线性相关性较强
(2)表格见解析，认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于0.05.
【详解】（1）由表格知： ， ，
所以 ，
，
，
由上，有 ，
所以 与 之间的线性相关性较强；
（2）依题意，完善表格如下：
购置传统燃油
购置新能源车 总计
车
男性车主
女性车主
总计
则 的观测值 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误
概率不大于 .
