高一数学《不等关系与不等式》课堂板书

刚上高一，不等式这一章是很多同学的第一个坎。
本节课内容：不等关系文字翻译、作差法比较大小、重要不等式，是后续学习基本不等式的铺垫。完整课堂板书分享给大家。

一、不等关系

读懂文字描述，转化成不等式符号
大于、超过：>
小于、低于：<
至少、不低于：≥
至多、不超过：≤

很多选择题的坑，就是文字描述和不等号对应错误，读题一定要细心。

二、作差法比较大小（本章核心方法）

依据

a大于b，等价于 a减b 的结果大于0
a小于b，等价于 a减b 的结果小于0
a等于b，等价于 a减b 的结果等于0

解题四步

1. 作差：两个式子相减

2. 变形：配方、因式分解，把差化成容易判断正负的形式

3. 定号：判断变形之后式子是正数还是负数

4. 下结论：根据正负，写出两个式子大小关系

课堂例题

例1：比较 2x²+5x+3 和 x²+4x+2 的大小
解：两式作差
(2x²+5x+3)-(x²+4x+2)
=x²+x+1
配方得：(x+1/2)² + 3/4
平方一定大于等于0，所以整体结果大于0。
所以：2x²+5x+3 ＞ x²+4x+2

例2：x≤1，比较 3x³ 和 3x²-x+1 的大小
作差，因式分解得到 (3x²+1)(x-1)
因为x≤1，所以 x-1 ≤0；3x²+1恒大于0
乘积小于等于0，所以 3x³ ≤ 3x²-x+1

例3：x属于全体实数，比较 3x³ 和 3x²-x+1 的大小
因式分解结果：(3x²+1)(x-1)
① x＞1时，差值大于0，3x³更大
② x=1时，差值等于0，两式相等
③ x＜1时，差值小于0，3x³更小

三、重要不等式

对任意实数a、b，都有 a²+b² ≥ 2ab
当且仅当 a等于b 的时候，等号成立。

证明思路：
任意实数的平方大于等于0，(a-b)² ≥ 0
展开：a²-2ab+b² ≥ 0，移项得到 a²+b² ≥ 2ab。

推论：当a＞0时，a + 1/a ≥ 2
当且仅当 a=1，等号成立。

配套例
例题1：已知 m²+n²=8，求 mn 的最大值
套用重要不等式：m²+n² ≥ 2mn
代入 8 ≥ 2mn，得到 mn ≤4，mn最大值为4。
例题2：比较 a³+b³ 和 a²b+ab² 的大小
作差，因式分解得到：(a-b)²(a+b)
平方项永远大于等于0，最后根据a+b正负判断大小。
✍课堂小结
1. 看到文字描述的不等关系，先准确翻译成不等号。
2. 比较两个代数式大小，首选作差法，四步走：作差→变形→定号→结论。变形手段：配方、因式分解。
3. 重要不等式 a²+b²≥2ab，是后面基本不等式的基础，一定要记牢，注意等号成立条件。

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