高中数学知识体系 必修第一册第四章 指数函数与对数函数

这一章是全册唯一「发明顺序和学习顺序几乎完全相反」的一章。教材先讲指数、再讲对数，看起来顺理成章；可历史上，对数表比现代指数记号早了二十三年——1614 年纳皮尔造出第一份对数表的时候，世界上还没有 a²、a³ 这样的写法。

所以这次整理第四章的手稿，我把每个板块的来历放在它的手稿前面讲。不是掌故，是想把那些今天看起来天经地义的式子，放回它被写出来的位置。你会发现：课本第一页就要你记住的那几条运算公式，比它们的符号老了一百多年。

二、指数这一段来历最典型。1544 年，斯蒂费尔在他的算术著作里列出一张「幂 ↔ 指数」的两行对照表：上面一行相乘、相除，下面一行正好相加、相减——这就是我们今天背的运算公式的祖型，比指数符号早了将近一百年。现代指数记号要等到 1637 年笛卡儿《几何学》才出现（他还把 x² 写成 xx）；1656 年沃利斯把它系统地推广到零、负数和分数；1676 年牛顿在给皇家学会秘书的一封信里，才第一次以今天的样子写下分数指数和负指数。

三、指数函数a^x 被当成一个真正的函数来研究，只有两百多年。1683 年雅各布·伯努利研究连续复利时撞见了 (1+1/n)ⁿ 的极限——这就是后来的 e，但他既没算出精确值，也没给它名字。1727 年前后欧拉开始用字母 e，1736 年《力学》里第一次印出来。1748 年《无穷分析引论》，欧拉指出 a^x 不是代数函数而是超越函数——「函数」这个身份，到那时才落到它头上。

四、对数这一段的顺序最容易讲反。1614 年纳皮尔出版《奇妙的对数法则说明书》，人类第一份对数表，用的是运动学语言；1624 年布里格斯《对数算术》约定 lg 1 = 0、lg 10 = 1，给出 14 位常用对数表——今天我们用的 lg，就这么来的。真正把两件事接起来的是 1748 年的欧拉：他在《无穷分析引论》里说，每个底 a 的指数函数都有一个反函数，就叫作「以 a 为底的对数」。今天我们做题第一反应就是「指对互化」，那其实是 1748 年之后才有的权利。

五、对数函数把对数画成图象、当成函数，是同一条线索的下游。1668 年麦卡托《对数技术》给出自然对数的无穷级数，「自然对数」这个说法也源出此书；1731 年欧拉给哥德巴赫的信里把这个常数命名为 e，并以它为底取对数，ln 由此确立；到 1748 年那句话终于落地——对数函数，就是指数函数的反函数。

六、函数的应用分成两条完全不同的路。一条是给数据找函数：1805 年勒让德发表最小二乘法，第一次系统地回答「怎么给一堆观测数据配一条最贴合的曲线」；1809 年高斯用它预报谷神星轨道，把它和误差的正态分布连在一起。另一条是找函数的零点：1817 年波尔查诺发表《纯粹分析的证明》，用「不断二等分」这个动作，给出了介值定理第一个不依赖几何直观的证明——课本上的零点存在定理就是它的特例；1821 年柯西独立重证，今天我们学的表述多半沿自他。

回头看这条线：1544 年的一张对照表、1614 年的一张对数表、1683 年的一道复利题、1748 年的一部《引论》——它们最后是同一件事。把它们写在每一节的前面，只想说明一件事：你手上那些很短的公式，是因为有很多人花了很长的时间，才把它们缩短成这样。