ARTICLE · 1152912
初中数学|八上全等三角形“手拉手模型”:等腰共顶点,加减公共角,全等证明有套路
🚩 第三篇：全等三角形“手拉手模型”专项突破
平时改作业的时候我发现一个比较普遍的现象：不少八年级学生，基础的全等判定掌握得还算不错，可是一碰到共顶点旋转类的几何大题，就容易卡住。
手拉手模型，听名字感觉比较形象，真正做题的时候反而很容易混淆。一旦图形里面线条变多、角度交错，很多孩子就分辨不出哪一组角相等，找不到证明全等的突破口。
其实这个模型的规律性很强。只要把“公共角同加同减”这一层逻辑梳理清楚，不管是选择填空还是压轴大题，做起来都会顺畅不少。
今天整理校内考试高频考查的类型：等边手拉手、等腰直角手拉手以及动点类手拉手。
💡 【模型长什么样】
两个等腰三角形拥有同一个公共顶点，顶角相等，对应的两条腰长度相等；再把底边上面的顶点互相连接起来，就构成了手拉手的基础图形。
我们平时见到的各类变式，大多都是基础图形经过旋转之后演变出来的。
🎯 【考场上到底怎么下手】
解题的关键就在于对公共角做同加或者同减。
如果两个顶角本身相等，同时加上同一个公共角，得到的新夹角依旧相等；
同样，如果同时减去同一个公共角，得到的夹角也相等。
结合两组腰对应相等，就可以利用SAS完成三角形全等的证明。
✍️ 【典型例题｜实战精讲】
【例3】如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得(kBC+EC)/DC为定值a，则k和a分别是（ ）A. k=½，a=1 B. k=⅓，a=1 C. k=1，a=3/2 D. k=2，a=3
👨🏫 【老师实战点评】
等边手拉手定值问题，属于期中选择压轴。
不少同学做到这道等边手拉手的定值选择题时，很容易被“定值”这个条件难住，不知道该怎样去转化线段。
优先尝试证出手拉手对应的一组全等三角形，完成线段之间的等量替换之后，题目当中的变量就能够消去，定值也就可以分析出来了。
🔄 【变式训练｜逐层练透】
【变式3-1】两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一直线上，连结CD。若BC=4，CE=2，则△DCE的面积是______。
👨🏫 【老师实战点评】
等腰直角形式的手拉手属于很经典的考题，不需要复杂计算。借助全等做好线段转化，就能够找到三角形对应的底和高，进而算出面积。
这一类基础变式，日常练习一定要争取拿稳分数。
【变式3-2】如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。（1）求证：AD=BE；（2）求∠AEB的度数；（3）如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连接BE。试判断线段DM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由。
👨🏫 【老师实战点评】
这道大题可以看作手拉手的典型母题。
先从等边三角形入手，再过渡到等腰直角三角形，难度循序渐进。
不少学校期中、月考的大题，都是以这道题为原型改编的，把这道题琢磨透彻，可以解决一整类同构型的几何题。
【变式3-3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D为三角形内部一点且∠BDC=140°，点E为BC中点，连接AD，DE，作∠FDC=∠EDC，且DF=2DE，当∠ADB=______时，△DFC为直角三角形。
👨🏫 【老师实战点评】
这是手拉手模型的拓展压轴填空题，涉及分类讨论。
不少学生做题的时候，只找到了其中一种直角情形就直接写答案，忽略另外一种可能性，平白丢掉一半分数。
遇到这种条件模糊的考题，一定要有意识地把所有情况考虑完整。
⚠️ 【真实易错坑点】
1. 公共角的加减关系写反，一步出错之后，后续整段角度推导全部跟着出错；
2. 图形经过旋转之后，模型外观发生变化，识别不出隐藏的手拉手结构；
3. 碰到动点、直角类设问，很容易出现漏解。
🔔 【解题口诀】：等腰共顶点，手拉手全等；加减公共角，对应边相等。
课上经常跟学生说，看得懂答案不等于真正掌握。能够独立梳理思路、完成推导自测，才算把模型学扎实。
本篇整理了完整的知识背诵内容，同时配套挖空自测，适合平时巩固，也可以用作考前复盘。
欢迎大家关注公众号“学懂初中数学”。