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2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法:第7篇|第二章 实数·2 平方根与立方根
2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第7篇｜第二章 实数·2 平方根与立方根——深度理解16法之「视域融合」
北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第二章 实数·2 平方根与立方根
🏫 学校：dxyc2360 👨🏫 指导教师：张元方
📖 一、开篇引言
教材第 31 页右上角有一张图，编号图2-5。图里没有数字，只有一串三角形，一个挨着一个往上绕，像蜗牛壳。竖直的边都标着 1，斜边依次写着 x、y、z、w。教材让孩子先填空：x2 ＝ 多少，y2 ＝ 多少。填完再问一句，这四个数里哪些是有理数，哪些不是。答案很快出来：x2＝2，y2＝3，z2＝4，w2＝5。麻烦藏在后面那一问里。x 是边长，边长的平方是 2，这条边到底多长？孩子拿尺子量不出准确值，拿小数又写不完，只能说大约 1.414。教材在这里停住，给出一个新符号 √2。
这一节从 √2 一路走到 ∛(－5)。中间要分清三种说法：算术平方根、平方根、立方根。三者的字母长得像，规矩却不一样。算术平方根只有一个，永远不带负号；平方根成对出现，一正一负；立方根一个数一个，正负跟着原数走。孩子做题时最容易在一个地方栽跟头：题目说「求 9 的平方根」，他写 3；题目说「求 9 的算术平方根」，他写 ±3。两句只差三个字，答案差一个负号，分数差一半。
还有一个坑，藏在负号里。－4 没有平方根，因为任何数的平方都不带负号；可是 －8 有立方根，答案是 －2，因为 －2 的三次方就是 －8。孩子刚背熟「负数开方不行」，翻两页又撞上「负数能开立方」，脑子立刻糊住。这不是教材前后矛盾，是「几次方」决定了符号能不能留住。偶数次方把负号吃掉，奇数次方把负号留下。这一句话不通，整节的题都会做得别别扭扭。
本篇用的方法是「视域融合」。孩子走进这一节时，脑子里已经有一套旧经验：平方就是算正方形的面积，开方就是反过来量边长。边长只有正的，没有负的。教材带来的却是另一套眼光：x2＝a 是一个方程，方程的解可以有两个。两套眼光撞在一起，孩子才会问出那句「为什么平方根要加正负号」。家长要做的不是压住这个疑问，而是让两套眼光坐到一张桌子上：量边长时取正的那个，解方程时两个都要。
下面十一节，先看导图，再看方法，接着把定义、例题、随堂练习、习题2.2 一道一道拆开。每道题都会写清六件事：题目问什么、考什么、怎么想、怎么写、错在哪、怎么验。家长不必每题都讲，挑孩子卡住的那一道，把「带这一题」那一段念给他听就够了。
📊 二、思维导图
平方根与立方根：一张图看清三套符号的边界
这张导图按「先分家、再对照、后应用」三层铺开。左边一支是算术平方根，只管正数那一个；中间一支是平方根，一正一负成对；右边一支是立方根，任何数都有一个。三支下面各挂定义、符号、例题、易错。最下一层放估算与计算器，把不能整除的开方变成可以写在作业本上的近似值。家长看导图时盯住中间的对照关系，孩子看导图时盯住每一支的符号写法。
🔑 三、深度理解16法之「视域融合」
「视域融合」出自伽达默尔的《真理与方法》。视域，就是一个人站的位置能看到的那一片范围。人不带视域去读文本，读到的只是自己的回声。伽达默尔说，真正的理解发生在两种视域的交汇处：读者带着自己的前见走进去，文本带着它自己的历史走回来，两边都不是原样，合成了一个更大的视野。理解不是把新知识塞进旧框子，是让旧框子被新知识撑大一圈。
这一法针对的毛病很具体。孩子学平方根时，几乎都带着一个几何前见：开方就是求正方形的边长。这个前见在七年级已经用得很顺，算面积、算周长、算勾股定理，全靠它。它有用，也有盲区。边长只能是正数，所以孩子一看到「9 的平方根」，脑子里冒出来的第一个数就是 3，负 3 根本进不了场。前见不是错误，前见是一片只亮了一半的灯。硬说孩子错，他会背答案不会想问题；把灯的另一半点亮，他自己就会补上负号。
教材的视域来自代数。第 32 页那句定义换了主语：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。请注意「一个数」三个字，它不写「正数」。算术平方根的定义里写的是「如果一个正数 x 的平方等于 a」，多一个「正」字，就少掉一半答案。教材第 33 页把两套定义并排放，中间隔着一栏「尝试·思考」，问的就是两句话的相同点和不同点。这一栏不是复习，是让两种视域正面对话。
历史上这两套视域隔了两千年。古希腊人只认长度，正方形的边当然不能是负数，所以他们认为开方只出一个正根。到了代数符号成熟的年代，负数被当数来用，方程 x2＝9 的两个解才被平等对待。负数能不能开方这件事，中世纪商人记欠款时就在用，数学家却争论了很久。孩子今天两节课走完的路，人类走了两千年。知道这一点，孩子对「为什么要有两个符号」就不会只剩下记忆。
落到本节的具体动作有三件。第一件，每遇到一个开方任务，先问一句「这是求边长还是解方程」。求边长，取正的；解方程，两个都要。第二件，把三个符号写在同一行对照：√a 是算术平方根，±√a 是平方根，3√a 是立方根，谁带正负、谁只带一个，一眼看清。第三件，遇到负数开方，先看是几次方，偶数次方直接判定没有，奇数次方照常算，符号保留。这三件事做完，孩子的视域就从「量边长」扩成「解方程与量边长并用」。
家长陪读时可以用一句家常话点破：一把尺子量不出的长度，方程能算出来；方程算出的两个答案里，只有一个能拿尺子量。这句话既保住了孩子的旧经验，又给他开了新门。
📝 四、核心概念与公式
知识点一 · 算术平方根。教材第 31 页的原话是：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作 √a，读作「根号 a」。请注意定义里的两个字「正数」，它决定了 √a 的结果永远不带负号。同页还有一条补充规定：0 的算术平方根是 0，即 √0＝0。为什么要单独规定？因为 0 不是正数，套不进上面那句定义，可是 02＝0 明摆着成立，不规定就漏掉了。算术平方根有两条铁律：被开方数 a 必须大于或等于 0，结果 √a 也大于或等于 0。这两条合起来叫「双重非负」，是后面判断对错的第一道关卡。√a 本身是一个数，不是一道待做的题。√17 就写作 √17，不必也不能拆成 4 点几。
知识点二 · 平方根（也叫二次方根）。教材第 32 页的定义只换了一个词：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。定义里不写「正数」，答案就成对了。第 33 页的结论框写得很干脆：一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。正数 a 的两个平方根，一个是 √a，另一个是 －√a，两者互为相反数，合起来记作 ±√a，读作「正、负根号 a」。平方根是一对数，算术平方根是这对数里正的那一个。所以「9 的算术平方根是 3」对，「9 的平方根是 3」错，要写 ±3。0 是个特例，两个平方根重合成了 0 一个，写 ±0 没意义。
知识点三 · 开平方与两个互逆式。求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数。开平方与平方互为逆运算，这一对关系生出两个容易打架的式子。第一个是 (√a)2＝a，条件是 a≥0，先开方再平方，回到原数。第二个是 √(a2)＝|a|，先平方再开方，回到原数的绝对值。教材第 32 页的结论框写得细：当 a≥0 时，√(a2)＝a，(√a)2＝a；当 a＜0 时，√(a2)＝－a。两个式子长得像，做事的顺序反了，结果的规矩也跟着反。孩子把 √((－5)2) 写成 －5，就是拿第一个式子的规矩去套第二个。
知识点四 · 立方根（也叫三次方根）。教材第 34 页：如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3＝a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，记作 3√a，读作「三次根号 a」。第 35 页的结论是本节最该背的一句：正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。每个数都有一个立方根，这句话没有例外，负数也在内。两个互逆式照旧成立：3√(a3)＝a，(3√a)3＝a，而且这里的 a 可以是任何数，不必加 a≥0 的条件。立方根不用绝对值，因为三次方不会把负号吃掉。负号能进来，也能原样出来，这就是它和平方根最大的不同。
知识点五 · 估算与计算器。不能整除的开方，教材给了两条路。第一条是夹逼：√13.6 介于 3 和 4 之间，3.62＝12.96，3.72＝13.69，所以精确到 0.1 是 3.7。第二条是计算器：3√(－1285) 直接按键得 －10.8718。估算的真正用途是比较大小，比如比较 √32 与 5.6，不必算出 √32，只要算 5.62＝31.36＜32，就能断定 √32＞5.6。比大小用平方，不开方。这一招在例7 梯子题里直接决定答案。
本节公式与常用算式：√900＝30｜√1＝1｜√(49/64)＝7/8｜√0.81＝0.9｜√(10－4)＝10－2＝0.01｜√36＝6｜√(9/16)＝3/4｜√(52＋122)＝13｜√(82－6.42)＝√23.04＝4.8｜±√64＝±8｜±√(49/121)＝±7/11｜±√0.0004＝±0.02｜±√((－25)2)＝±25｜√225＝15｜－√(169/4)＝－13/2｜√((－8)2)＝8｜3√(－27)＝－3｜3√(8/125)＝2/5｜3√0.216＝0.6｜3√(－8)＝－2｜3√0.064＝0.4｜3√0.008＝0.2｜3√(－64)＝－4｜3√216＝6｜√32≈5.66｜∛900≈9.65｜√200 000≈447.2｜√(800÷3.14)≈16。
📜 五、教材原文
教材原文
略
本节原文见北师大版义务教育教科书《数学》八年级上册第二章「实数」第 2 节「平方根与立方根」，印刷第 31 至 40 页，含图2-5、图2-6、图2-7 三幅插图与「尝试·思考」「思考·交流」「随堂练习」「习题2.2」四类栏目。教材内容受版权保护，此处不整段转录，只按栏目顺序把每一句话的要点、每一道题的解法写进第八节，家长可对着课本页码逐条核对。第八节按印刷页顺序排列，先第 31 页的图2-5，再第 40 页的联系拓广，中间不留空档。
🧩 六、重点难点分析
难点一 · 算术平方根与平方根只差一个字，答案差一个负号
难在两道定义的主语不同。算术平方根的主语是「一个正数」，平方根的主语是「一个数」，正数两个字一撤，答案就从单个变成一对。孩子读题常常扫一眼「平方根」三个字就动笔，把前面「算术」两个字丢了。错的现场很统一：题目「求 1.44 的平方根」，孩子写 1.2；题目「求 121 的算术平方根」，孩子写 ±11。破法是把两句定义抄在便利贴上，贴在书桌前，做题前手指点一遍主语。看见「平方根」先写 ±，看见「算术平方根」先写正。养成这个条件反射，这一节的失分能去掉一半。
难点二 · √(a2) 与 (√a)2 顺序一反，规矩就反
难在两个孩子都会背，却总用错地方。先平方再开方，走的是 √(a2)＝|a| 这条路，结果必须非负；先开方再平方，走的是 (√a)2＝a 这条路，a 本身必须非负。孩子看到 √((－5)2)，眼睛先抓 (－5)2，算出 25，再开方得 5，这一路是对的；可他要是先看见根号就把它和平方约掉，直接写 －5，就掉坑了。破法是让他在草稿上把根号里的平方先算出来，写成具体数字，再开。先算括号里，再动根号，别隔着符号约。教材第 33 页例4 第(3)题就是专治这个毛病的。
难点三 · 负数没有平方根，却有立方根
难在孩子的印象被「负数不能开方」这句话锁死了。这句话只对了一半，对平方根成立，对立方根不成立。道理要讲到底：平方是同一个数自己乘自己，负负得正，任何数的平方都不带负号，所以 －4 找不到平方根；立方是三个相同的数相乘，负负负还是负，－2 乘三次得 －8，所以 －8 的立方根就是 －2。偶数次方吃负号，奇数次方留负号。破法是让孩子自己动手算一串：(－1)2、－12、(－1)3、(－2)3、(－3)3，算完再判断谁能开方。手算过一遍，比听十遍解释都牢。
难点四 · 小数和分数怎么开方
难在位置数不清。0.000 4 的平方根是 ±0.02，不是 ±0.2，更不是 ±0.002。孩子凭感觉数小数点，十次里错六七次。这一条有个硬规矩：小数开平方，小数点后面每两位算一组。0.000 4 一共有四位小数，分成两组，结果就有两位小数，所以是 0.02。小数位数成双，答案位数减半。分数开方更省事，分子分母各自开：√(49/121)＝7/11，√(9/16)＝3/4。破法是让孩子先写 0.000 4 ＝ 4×10－4，再开方，位数一目了然。教材第 33 页例3 第(3)题专门练这一手。
难点五 · 估算与比大小
难在孩子不知道从哪一头夹。√13.6 精确到 0.1，他去猜 3.5、3.8，一个个试；比 √32 与 5.6 的大小，他想先算 √32。两条路都绕远了。正路是「用平方夹、用平方比」：32＝9＜13.6＜16＝42，答案在 3 和 4 之间，再看 3.62＝12.96、3.72＝13.69，落在 3.7；比大小时把 5.6 平方得 31.36，比 32 小，所以 √32 更大。开方算不动的时候，把两边都平方。破法是让孩子每道估算题先在草稿上写两个相邻整数，把范围框住，再往里收。
难点六 · 应用题里设未知数，列式列不出平方
难在题目说了面积、体积、勾股关系，孩子不知道该让谁当 x。帐篷题给的是绳长 8 m 和底距 6.4 m，要求杆高，得先认出直角在杆底，再用勾股定理列 x2＋6.42＝82；公园题给的是长是宽的两倍和面积 400 000 m2，得设宽为 x、长为 2x，列 2x2＝400 000；圆柱容器题给的是直径等于高，得把高设成 h，半径就是 h÷2，列 3.14×(h÷2)2×h＝40。设未知数设那个「最想知道的」，其他量都拿它表示。破法是让孩子先不列式，先把题里每句话换成含 x 的式子，写完再找等量关系。
❓ 七、常考易考题与易错题
题型一 · 直接求算术平方根
例题：求 121、9/25、1.96、106 的算术平方根（习题2.2 第1题）。答：11、3/5、1.4、1000。易错：把 1.96 写成 0.14 或 14，把 106 写成 103 以外的数。错因：小数位数和小数点位置没数清，指数运算法则忘干净。纠法：先想「谁的平方是它」，112＝121，1.42＝1.96，(103)2＝106，倒着想比正着开快。算术平方根只写正的那个，题目里没有「±」二字就不要加。
题型二 · 求平方根，答案必须成对
例题：求 169、10－6、16/49、9/4、18 的平方根（习题2.2 第2题）。答：±13、±0.001、±4/7、±3/2、±√18。易错：只写正的那个；18 硬拆成 ±3√2 又漏根号；10－6 开成 ±0.000001。错因：把「平方根」当「算术平方根」用；负指数不会处理。纠法：先问一句「这题要一对还是一个」，要一对就动笔先写 ±；负指数换成正指数再开，10－6＝1÷106，开出来是 ±1÷103＝±0.001。18 不是完全平方数，答案就带根号，不许估成 4.2。
题型三 · 求含根号式子的值
例题：求 √49、√((－4)2)、(－√0.8)2、3√((－3)3)、－3√27 的值（习题2.2 第3题）。答：7、4、0.8、－3、－3。易错：√((－4)2) 写成 －4；(－√0.8)2 写成 －0.8；－3√27 写成 3。错因：负号在根号外还是括号外没分清；先平方后开方的规矩没背。纠法：把根号里的平方先算成数，(－4)2＝16，再开方得 4；负号在根号外就留在外面，－3√27＝－3。一个式子先看负号在哪一层，再看根号是几次。
题型四 · 已知平方或立方，反求原数
例题：一个正数的平方等于 361，求这个正数；一个负数的平方等于 121，求这个负数；一个数的平方等于 196，求这个数（习题2.2 第4题）。答：19、－11、±14。易错：第三问只写 14；第二问写 11。错因：题干里的「正数」「负数」「一个数」三个字被跳过。纠法：把题干里修饰「数」的那个词圈出来，圈的是「正」就取正根，圈的是「负」就取负根，圈的是「一个」就两个都要。这类题不考计算，考读题。
题型五 · 估算与比较大小
例题：估计 √13.6（精确到 0.1）与 3√800（精确到 1）；比较 √6 与 2.5、√15 与 3.85、(√5－1)/2 与 5/8 的大小。答：3.7；9；√6＜2.5（2.52＝6.25）；√15＞3.85（3.852＝14.8225）；(√5－1)/2＜5/8（0.618＜0.625）。易错：把 3√800 估成 28 上下，把 3.85 平方算成 14.8 就下结论。错因：把平方根的夹逼套路照搬到立方根上；小数乘法算错位。纠法：立方根用三次方夹，93＝729、103＝1000，答案在 9 和 10 之间；比大小一律平方后比，平方算两遍。根号里的数越大，开出来越大，这条只在被开方数都非负时成立。
题型六 · 判断别人的估算对不对
例题：判断 √0.43≈0.066、3√900≈96、√2 536≈60.4 是否正确（教材第 36 页思考·交流）；判断 √8 955≈9.5、3√12 345≈23.1 是否正确（习题2.2 第14题）。答：前三处全错，后两处第一错第二对。易错：只看数字像不像，凭感觉判对。错因：没有养成「验回去」的习惯。纠法：把给出的结果平方或立方，看能不能回到被开方数。0.0662＝0.004 356，离 0.43 差得远；9.52＝90.25，离 8 955 差两位；23.13≈12 326，离 12 345 只差 19，所以这一处是对的。判对错不用另算一遍，把答案乘回去最省事。
题型七 · 用开方解决实际问题
例题：6 m 的梯子稳定摆放，顶端能否抵达 5.6 m 高的墙头（例7）；长方形公园面积 400 000 m2、长是宽的 2 倍，求宽（教材第 36 页）；底面直径等于高的圆柱容器装 40 m3 液体，求高（习题2.2 第20题）。答：能抵达，√32≈5.66＞5.6；宽约 447 m，精确到 10 m 为 450 m；高约 3.7 m，精确到 1 m 为 4 m。易错：梯子题的底距写成 6 而不是 2；公园题把 400 000 直接开方当宽。错因：题目里的隐含关系没译成式子，「长是宽的 2 倍」没进方程。纠法：先把每句话换成算式，底距＝6×1÷3＝2，宽为 x 则长为 2x，面积 2x2＝400 000，直径等于高则半径是高的一半。应用题丢分多半不在开方，在列式。
📄 八、教材内容逐点拆解
这一节按教材印刷页顺序走，从第 31 页的图2-5 一直拆到第 40 页的联系拓广。每个栏目先交代它在干什么，每道题写六件事：题目原文要点、考查什么、思路、分步过程、易错、验算，末尾加一段「带这一题」，说清家长怎么陪孩子过这一道。题目里的题号与教材逐字一致，随堂练习按页分开，习题2.2 分知识技能、数学理解、问题解决、联系拓广四个栏目，第23题题号前带星号。
栏目一 · 引入：图2-5 的四个平方（印刷第31页）
这一页先用一张图把孩子逼到「算不出的边长」面前。图2-5 是四个直角三角形绕着一个公共顶点 A 拼起来的螺旋，竖直边都标 1，斜边依次记作 x、y、z、w。教材让孩子先填四个平方，再问哪些数是有理数。这一栏的作用是把勾股定理和开方接上：勾股定理给出的是平方，教材要的是边长，平方到边长之间隔着一个新符号。
题目原文要点：（1）根据图2-5 填空，x2＝＿＿，y2＝＿＿，z2＝＿＿，w2＝＿＿；（2）x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？考查什么：勾股定理的连续使用，有理数与无理数的辨别，根号的写法。思路：第一个三角形两条直角边是 1 和 1，斜边平方等于 2；每往外接一个三角形，新斜边的平方等于上一条斜边的平方再加 1。
分步过程：x2＝12＋12＝2；y2＝x2＋1＝3；z2＝y2＋1＝4；w2＝z2＋1＝5。所以 x＝√2，y＝√3，z＝√4＝2，w＝√5。x、y、w 开不尽，是无理数；z＝2 是整数，属于有理数。易错：把 x2 的问号答成 x 的值；看见 √4 就写 ±2；把 z 也算成无理数，因为前三个都带根号。验算：2＋1＝3，3＋1＝4，4＋1＝5，逐层加 1 的规律对得上；4 是完全平方数，所以 z 一定是整数。
带这一题：让孩子拿铅笔在图上一个三角形一个三角形地描，描一个填一个平方。填到 z2＝4 时停一下，问他「谁的平方是 4」，他答 2，再问他「这条边能不能是 －2」，孩子自己会说边长不能是负的。这一停，就把后面「算术平方根只取正」的伏笔埋好了。
栏目二 · 算术平方根的定义与 0 的规定（印刷第31页）
定义紧跟在图2-5 后面出现，句子不长，条件有三个：一个「正数」x、它的「平方」等于 a、这个正数就叫 a 的算术平方根，记作 √a。定义后面跟一条特别规定：0 的算术平方根是 0。这条规定不是凑数，是因为 0 不属于正数，套不进前半句，可 02＝0 确实成立。
题目原文要点：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作 √a，读作「根号 a」；特别规定 0 的算术平方根是 0，即 √0＝0。考查什么：符号 √ 的含义，被开方数必须非负，结果必须非负。思路：把定义当一把尺子用，谁想当算术平方根，先过三关：是正数吗，平方等于 a 吗，结果带不带负号。
分步过程：52＝25，5 是正数，所以 √25＝5；02＝0，0 按特别规定处理，√0＝0；－9 想开平方，先找平方等于 －9 的数，找不到，所以 √(－9) 没有意义。易错：把 √25 写成 ±5；认为 √0 不存在；把 √a 理解成「把 a 折一半」，写成 √36＝18。验算：把答案平方，看能不能回到被开方数。52＝25，对；若答 ±5，平方也回到 25，可正负两解不符合「算术」二字，这一步就是判错的关口。
带这一题：给孩子讲清「算术」两个字的分量：算术只算一个正数，所以叫算术平方根。让他把「正数」两个字用红笔圈在书上，往后每道题都回头看一眼这两个字。
例1（印刷第31页）｜求四个数的算术平方根
题目原文要点：求下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3）49/64；（4）14。考查什么：完全平方数的开方、分数开方、开不尽的数怎么留根号。思路：倒着想「谁的平方等于它」。前三小题都能找到整数或分数，第四小题找不到，就原样留在根号里。
分步过程：（1）因为 302＝900，所以 900 的算术平方根是 30，即 √900＝30；（2）因为 12＝1，所以 1 的算术平方根是 1，即 √1＝1；（3）因为 (7/8)2＝49/64，所以 49/64 的算术平方根是 7/8，即 √(49/64)＝7/8；（4）14 的算术平方根是 √14。易错：第(3)题写成 7/8 的平方，或者只给分子分母中的一个开方，写成 7/64；第(4)题硬凑小数，写 3.7 或 3.74。验算：30×30＝900；1×1＝1；(7/8)×(7/8)＝49/64；√14 平方回去等于 14，不用再化。
带这一题：重点看第(3)(4)两小题。分数开方，先问孩子「分子分母各自能不能开」，49 是 7 的平方，64 是 8 的平方，两边都能开，答案就是 7/8。第(4)题要拦住他凑小数的冲动，告诉他 √14 就是一个合格的答案，长成根号样子的数也是数。
思考·交流（印刷第31–32页）｜三个连环问
题目原文要点：（1）例1 中一些数的算术平方根的结果没有「√」了，这些数有什么特点？（2）√900＝30，也就是 √(302)＝30，一般地，当 a≥0 时，√(a2)＝a 成立吗？旁批再问：当 a＜0 时还成立吗？（3）(√a)2＝a 成立吗？这里的 a 是什么数？考查什么：两个互逆式的适用条件，这是本节第一个真正的分水岭。思路：两个式子的动手顺序相反，条件也就相反。先开方再平方，被开方数不能是负数；先平方再开方，平方已经保证了非负，结果要取绝对值。
分步过程：（1）结果不带根号的数，是 900、1、49/64，它们都是某个有理数的平方，开得尽。（2）a≥0 时 √(a2)＝a 成立，因为 a 本身非负，开出来就是它；a＜0 时不成立，例如 a＝－5，√((－5)2)＝√25＝5＝－a，答案要加负号。（3）(√a)2＝a 成立，条件是 a≥0，因为 √a 要先有意义。易错：把 √(a2)＝a 当万能公式，遇到负数照套，把 √((－3)2) 写成 －3；把 (√a)2 里 a 的条件漏掉。验算：取 a＝－4 代进两个式子，√((－4)2)＝4 而 －a＝4，说明答案只能写 4，不是 －4。
带这一题：这一栏最好用具体数字讲，不要用字母讲。让孩子算 √(32)、√((－3)2)、(√3)2、(√(－3))2 四个式子，前两个有答案，第三个是 3，第四个根号里是负数，直接没有意义。四个数字摆一排，孩子就明白条件不是老师加的，是题目本身逼出来的。
例2（印刷第32页）｜铁球落地用了多久
题目原文要点：由静止自由下落的物体下落的距离 s（单位：m）与下落时间 t（单位：s）之间的关系为 s＝4.9t2。有一个铁球从 19.6 m 高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？考查什么：把已知量代进公式，解出 t2 再开平方，并且按实际意义取舍。思路：s 已知、t 未知，先代 s＝19.6，把方程化成 t2＝4，再开方。
分步过程：将 s＝19.6 代入 s＝4.9t2，得 4.9t2＝19.6，两边同除以 4.9，得 t2＝4；开平方得 t＝±2，时间不能为负，舍去 －2，所以 t＝√4＝2。铁球到达地面需要 2 s。易错：保留 t＝±2 两个答案；把 4.9 除错，写成 t2＝4.0 之后又开成 2.0 却漏单位；直接 19.6÷4.9＝4 之后忘了开方，答 4 s。验算：把 t＝2 代回原式，4.9×22＝4.9×4＝19.6，与楼高一致。
带这一题：这道题是「两个根只留一个」的第一个实战。问孩子：如果 t＝－2，表示铁球在出发前 2 秒就落地，这话说得通吗？孩子一笑就记住了：算术平方根取正，不是规定刁难人，是现实只认一个方向。
随堂练习 第1题（印刷第32页）｜五个数的算术平方根
题目原文要点：求下列各数的算术平方根：36，9/16，17，0.81，10－4。考查什么：整数、分数、开不尽的无理数、小数、负指数五种形态一起过一遍。思路：能写成有理数平方的就开出来，写不出的留根号；小数先想「几的平方」，负指数先换成小数。
分步过程：36＝62，√36＝6；9/16＝(3/4)2，√(9/16)＝3/4；17 不是完全平方数，√17 原样保留；0.81＝0.92，√0.81＝0.9；10－4＝0.000 1＝(10－2)2，√(10－4)＝10－2＝0.01。易错：√0.81 写成 0.09；√(10－4) 写成 10－4 的一半；把 √17 估成 4.1 写上去。验算：0.9×0.9＝0.81；0.01×0.01＝0.000 1；4.12＝16.81≠17，所以 √17 不能写成 4.1。
带这一题：让孩子自己给五个答案分类：三个有干净答案（6、3/4、0.9），一个带根号（√17），一个带负指数（0.01）。分类的目的不是好看，是让他知道算术平方根的答案长什么样：可能是整数、分数、小数、带根号的数，只要平方回去对得上就行。
随堂练习 第2题（印刷第32页）｜直角三角形的斜边
题目原文要点：在 △ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，求 AB 的长。考查什么：勾股定理与算术平方根连用，认清哪条边是斜边。思路：直角在 C，AB 就是斜边，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
分步过程：AB2＝AC2＋BC2＝52＋32＝25＋9＝34，所以 AB＝√34。AB 是长度，取正值，不写 ±√34。易错：把 AB 当直角边，算成 √(25－9)＝4；答 ±√34；把 ∠C＝90° 看成 ∠A＝90°。验算：直角三角形的斜边一定最长，√34 约 5.83，比 5 大比 3 大，位置对；4 比 5 小，不可能是斜边。
带这一题：让孩子先在图上把直角符号标在 C，再用手指从 C 出发认出两条直角边，剩下那条就是斜边。这个动作练三遍，以后做勾股题就不会把斜边当直角边。
随堂练习 第3题（印刷第32页）｜帐篷支撑杆有多高
题目原文要点：从帐篷支撑杆 AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子 AC 固定帐篷，绳子长 8 m，地面固定点 C 到杆底 B 的距离为 6.4 m，求杆高。考查什么：把实际场景画成直角三角形，分清斜边（绳）与直角边（杆、底距）。思路：杆垂直地面，∠B＝90°，绳子是斜边，杆高是未知的直角边。
分步过程：AB2＋BC2＝AC2，即 AB2＋6.42＝82；6.42＝40.96，82＝64，AB2＝64－40.96＝23.04；AB＝√23.04＝4.8（m）。易错：把 6.4 和 8 都当直角边，算出 √(64＋40.96)；小数平方算错，6.42 写成 40.96 以外的数；答案带负号。验算：4.82＋6.42＝23.04＋40.96＝64＝82，勾股关系成立。
带这一题：这题的关键在「谁是斜边」。绳子从杆顶拉到地面，斜着的、最长的那条就是它。让孩子先标 ∠B＝90°，再写「勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方」，写完再代数。习惯一旦养成，帐篷、梯子、旗杆这一批题全都能顺着走。
栏目三 · 平方根的引入（印刷第32页）
教材在这里换了个问法，不再问「边长」，改问「平方等于它的数」。（1）3 的平方是 9，还有其他数的平方也是 9 吗？（2）平方等于 4/25 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？两个问题都指向同一件事：平方会把负号吃掉，所以正数前面藏着一个负数伙伴。
题目原文要点：见上两问。考查什么：从一个答案扩到一对答案，这是平方根概念的起点。思路：把「谁的平方」这句问话放开，不限制正负，答案自然成对。
分步过程：32＝9，(－3)2＝9，所以平方等于 9 的数有两个：3 和 －3。4/25 的平方根：(2/5)2＝4/25，(－2/5)2＝4/25，有两个：2/5 和 －2/5。0.64 同理：0.82＝0.64，(－0.8)2＝0.64，有两个：0.8 和 －0.8。易错：只答一个；把 4/25 的答案写成 2/5 与 2/5，忘了负号；把 0.64 的答案写成 0.08。验算：两个答案分别平方，都回到原数，成对成立。
带这一题：这一栏是全节的转折点。跟孩子说一句就好：前一页问的是边长，边长只能正；这一页问的是「平方等于它的数」，问法变了，答案就不止一个。同一件事，两种问法，两种答案。
栏目四 · 平方根的定义与「尝试·思考」（印刷第32–33页）
定义只把算术平方根那句里的「正」字去掉：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根，也叫二次方根。第 33 页的「尝试·思考」两问紧接着追问：平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点；一个正数有几个平方根，0 有几个，负数呢。答案框里写得明白：一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。正数 a 的两个平方根互为相反数，合起来记作 ±√a。求平方根的运算叫开平方，a 叫被开方数。
题目原文要点：（1）平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？（2）一个正数有几个平方根？0 有几个平方根？负数呢？考查什么：两套概念的边界，以及数量的分情况讨论。思路：相同点抓「都是平方的逆运算、被开方数都非负」；不同点抓「个数」和「符号」。
分步过程：相同点：都建立在 x2＝a 上，a 都必须大于或等于 0。不同点：算术平方根只有一个，永远非负，记作 √a；平方根有两个，一正一负，记作 ±√a；0 的两者重合，都等于 0；负数两者都不存在。易错：把「0 有两个平方根」也照搬，写 ±0；认为负数有平方根只是算不出来；把 ±√a 写成 √±a。验算：拿 a＝16 试：√16＝4，±√16＝±4，两个答案平方都回到 16，0 与负数按上述规则处理。
带这一题：让孩子画一张三行两列的小表，第一列写「正数、0、负数」，第二列写「几个平方根」。填完他会有一次恍然大悟：原来负数那一格是空的。这张表贴在本节作业本第一页，往后每道题都能查。
例3（印刷第33页）｜求五个数的平方根
题目原文要点：求下列各数的平方根：（1）64；（2）49/121；（3）0.000 4；（4）(－25)2；（5）11。考查什么：「平方根」四个字要求成对作答，且能处理被开方数本身是个平方的情形。思路：每题先找「谁的平方等于它」，找到正的那个，再加负号，前面统一写 ±。
分步过程：（1）因为 (±8)2＝64，所以 64 的平方根是 ±8，即 ±√64＝±8；（2）因为 (±7/11)2＝49/121，所以 49/121 的平方根是 ±7/11；（3）因为 (±0.02)2＝0.000 4，所以 0.000 4 的平方根是 ±0.02；（4）因为 (±25)2＝(－25)2＝625，所以 (－25)2 的平方根是 ±25；（5）11 的平方根是 ±√11。易错：第(3)题写成 ±0.2（小数点差一位）；第(4)题先算出 625 再问「625 的平方根」，忘了 625 本身就是 25 的平方，绕远还容易错；第(5)题只写 √11。验算：(－0.02)2＝0.000 4；(25)2＝625＝(－25)2；(√11)2＝11，逐一回去核对。
带这一题：第(4)小题最值得讲。孩子看到 (－25)2 会紧张，让他先把括号算成 625，再问「625 的平方根」，答 ±25。然后补一句：其实不用算，因为 (－25)2 的平方根就是把 －25 的负号抹掉、再补一个相反数，答案 ±25 一步就到。两条路都走一遍，孩子才会挑近的那条。
例4（印刷第33页）｜求三个式子的值
题目原文要点：求下列各式的值：（1）√225；（2）－√(169/4)；（3）√((－8)2)。考查什么：根号前面有负号怎么办，根号里面是平方怎么办。思路：先求根号的值，再看外面的负号；根号里是平方，先算平方再开。
分步过程：（1）√225＝√(152)＝15；（2）－√(169/4)＝－√((13/2)2)＝－13/2；（3）√((－8)2)＝√64＝8。易错：第(2)题写 ±13/2，负号已经在外面，不该再添正负；第(3)题写成 －8，隔着根号把平方约掉了；第(1)题写 ±15。验算：152＝225；(13/2)2＝169/4；82＝64＝(－8)2，三处都能回代。
带这一题：把三个式子抄在一张纸上，用红笔圈出负号的位置：第(2)题的负号在根号外，第(3)题的负号在括号里。位置不同，处理方式就不同。这一步做完，习题2.2 第3题的十二个小题就是同一套动作重复十二遍。
随堂练习 第1题（印刷第34页）｜七个数的平方根
题目原文要点：求下列各数的平方根：1.44，0，8，100/49，441，196，10－4。考查什么：七个数里藏着三个坑：0、开不尽的 8、负指数的 10－4。思路：一律先写 ±，再处理特殊情况；0 只有 0，8 留根号，10－4 换成 0.000 1 再开。
分步过程：1.44 的平方根是 ±1.2；0 的平方根是 0；8 的平方根是 ±√8（也就是 ±2√2）；100/49 的平方根是 ±10/7；441 的平方根是 ±21；196 的平方根是 ±14；10－4 的平方根是 ±10－2＝±0.01。易错：0 写成 ±0；8 写成 ±2；±√8 又化简错误，写成 ±4；1.44 写成 ±0.12。验算：1.22＝1.44；212＝441；142＝196；0.012＝0.000 1；(√8)2＝8。
带这一题：重点抓 0 和 8 两个特例。0 的平方根只有一个，写 0，别写成 ±0；8 开不尽，答案就是 ±√8，千万别硬凑成 ±2，因为 22＝4，不是 8。两个特例讲清，剩下的五个就是重复劳动。
随堂练习 第2题（印刷第34页）｜四道填空题
题目原文要点：（1）25 的平方根是＿＿；（2）√((－5)2)＝＿＿；（3）(√5)2＝＿＿；（4）(－√5)2＝＿＿。考查什么：四道题考四个不同的东西：平方根成对、先平方后开方、先开方后平方、负号在括号里的平方。思路：看清题目要的是「平方根」还是「某个式子的值」，两者处理方式不一样。
分步过程：（1）25 的平方根是 ±5；（2）√((－5)2)＝√25＝5；（3）(√5)2＝5；（4）(－√5)2＝(－1)2×(√5)2＝1×5＝5。易错：第(2)题写 －5；第(4)题写 －5；第(1)题写 5 少一个负号。验算：第(2)题结果必须非负，5 合格，－5 一票否决；第(3)(4)题都是平方，结果都非负。
带这一题：四道填空并排放，让孩子做完后只看一个地方：两个带根号的结果都是 5，不是 －5。再问他为什么，提示一句「先平方，负号就没了」。这四道题是全节最紧凑的一组对照，做完等于把两个互逆式各走一遍。
随堂练习 第3题（印刷第34页）｜代值求根式
题目原文要点：当 a＝5，b＝12 时，求 √(a2＋b2) 的值。考查什么：代值计算，并把结果开成整数。思路：先代值，平方和算出来，再开方；5、12、13 是一组常用的勾股数。
分步过程：a2＋b2＝52＋122＝25＋144＝169，√169＝13。易错：先开方再代值，写成 √5＋√12；把 169 开成 ±13；13 之外还补单位。验算：132＝169，回到平方和。
带这一题：顺手让孩子记住 5、12、13 这组数：3、4、5 和 5、12、13 是两个最常出现的勾股数组，往后解直角三角形、算距离都会碰到，认出来能省一半时间。
栏目五 · 图2-6：从平方根转到立方根（印刷第34页）
教材用一道体积题换场。图2-6 是由大小相同的小立方块搭成的几何体，体积 216 cm3，问每个小立方块的棱长。图里的大立方体是 3 列、3 层、3 排，一共 27 个小立方块。孩子刚学完平方根，会本能地想开平方，题目要的却是开立方。这一道题就是两套运算的分界线。
题目原文要点：图2-6 是由大小相同的小立方块搭成的几何体，体积为 216 cm3，求每个小立方块的棱长。考查什么：数出块数、算单块体积、再开立方。思路：先除法求一块的体积，再用立方根求棱长。
分步过程：图中共 3×3×3＝27 块，每块体积 216÷27＝8（cm3）；设棱长为 x，则 x3＝8，因为 23＝8，所以 x＝3√8＝2（cm）。易错：把 216 直接开平方得 14.7 左右；块数数成 36 或 9；算出体积 8 就交卷，忘了再开立方。验算：23×27＝8×27＝216，回到总体积。
带这一题：让孩子用手指在图上数一遍，正面 3×3 九个，往后再数两排，共 27 个。数完再问：体积是三次方的关系，该开几次方？他自己会答三次。这一问就够，别急着讲定义。
栏目六 · 立方根的定义与「尝试·思考」（印刷第34页）
定义与平方根那句只差一个字：如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3＝a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫做三次方根，记作 3√a，读作「三次根号 a」。教材举了三个例子：2 是 8 的立方根，－2/3 是 －8/27 的立方根，0 是 0 的立方根。「尝试·思考」三问把结论推出来：每个数都有一个立方根；正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。
题目原文要点：（1）一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？（2）求 8，0，－27 的立方根。（3）正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数呢？考查什么：立方根的个数与符号规律。思路：用三次方反推，负数的三次方还是负，所以负数也能开立方。
分步过程：（1）一个数只有一个立方根。（2）23＝8，3√8＝2；03＝0，3√0＝0；(－3)3＝－27，3√(－27)＝－3。（3）正数有一个正立方根，0 的立方根是 0，负数有一个负立方根。易错：把立方根也写成 ±；认为负数没有立方根；把 3√(－27) 写成 3。验算：把答案立方回去，23＝8，(－3)3＝－27，03＝0，全部对上。
带这一题：让孩子做一组对照：(－3)2 和 (－3)3 各等于几。前者 9，负号被吃掉；后者 －27，负号留下了。这个对照一做，「负数为什么没有平方根却有立方根」就不用再背了。
栏目七 · 开立方与两个互逆式（印刷第35页）
求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数。开立方与立方互为逆运算，由此得到两个式子：3√(a3)＝a，(3√a)3＝a。这两个式子对任何数都成立，不用加 a≥0 的条件。这是立方根比平方根省事的地方：不用管绝对值，不用分情况。
题目原文要点：开立方的定义与两个互逆式。考查什么：与平方根的两个式子对照，看清条件为什么消失。思路：平方会把负号抹掉，所以要补绝对值；立方不抹负号，原样进出，所以不用补。
分步过程：取 a＝－2 试验：3√((－2)3)＝3√(－8)＝－2，等于 a；(3√(－8))3＝(－2)3＝－8，等于 a。两式都成立，负号一路通行。易错：把平方根的经验搬过来，写成 3√(a3)＝|a|；遇到负数先犹豫，不敢下笔。验算：用正负各一个数代进去，两式都对得上。
带这一题：让孩子把两组式子并排抄一次：√(a2)＝|a|，3√(a3)＝a。抄完他自己会看出多出来的那两条竖线。问他竖线是干什么的，答「防止负号被抹掉」。这一问一答，比讲十分钟都省。
例5（印刷第35页）｜求四个数的立方根
题目原文要点：求下列各数的立方根：（1）－27；（2）8/125；（3）0.216；（4）－5。考查什么：负数开立方、分数开立方、小数开立方、开不尽的数怎么写。思路：倒着想「谁的立方等于它」；前三个都能找到，第四个找不到，留根号。
分步过程：（1）因为 (－3)3＝－27，所以 －27 的立方根是 －3，即 3√(－27)＝－3；（2）因为 (2/5)3＝8/125，所以 8/125 的立方根是 2/5；（3）因为 0.63＝0.216，所以 0.216 的立方根是 0.6；（4）－5 的立方根是 3√(－5)。易错：第(1)题写 3 或 ±3；第(3)题写 0.06；第(4)题写「没有立方根」。验算：(－3)3＝－27；(2/5)3＝8/125；0.63＝0.216；立方根只有一个，不需要补第二个答案。
带这一题：第(4)小题要专门停一下。孩子的旧印象是负数不能开方，让他把 3√(－5) 立方回去：(3√(－5))3＝－5，成立，所以这个数存在。存在的证明就是「能立方回原数」，别的说法都不算。
思考·交流（印刷第35页）｜三问对照平方根
题目原文要点：（1）例5 中一些数的立方根结果没有「3√」了，这些数有什么特点？（2）3√(－27)＝－3，也就是 3√((－3)3)＝－3，一般地 3√(a3)＝a 成立吗？（3）(3√a)3＝a 成立吗？考查什么：把平方根那两个式子的经验迁到立方根上，看条件是否一样。思路：能被开尽的是完全立方数；两个式子在立方根里对任何数都成立。
分步过程：（1）－27、8/125、0.216 的立方根都不带根号，因为它们分别等于 (－3)3、(2/5)3、0.63，是完全立方数。（2）成立，不论 a 正负。（3）成立，不论 a 正负。易错：照搬平方根的条件，写上 a≥0 这个限制；把 (1) 答成「因为它们很大」或「因为能整除」。验算：取 a＝－4 验证 (2)，3√((－4)3)＝3√(－64)＝－4，等于 a。
带这一题：这一栏的价值在对比。让孩子把平方根的条件和立方根的条件写成两行，中间画一条竖线，左边写「a≥0」，右边写「任何数」。写完之后他会发现，整节最省力的记忆点就在这条竖线上。
例6（印刷第35页）｜求四个式子的值
题目原文要点：求下列各式的值：（1）3√(－8)；（2）3√0.064；（3）－3√(8/125)；（4）(3√9)3。考查什么：负号在根号里和根号外的区别，以及两个互逆式的直接应用。思路：先把被开方数写成一个数的立方，再开；第(4)题用 (3√a)3＝a 一步到位。
分步过程：（1）3√(－8)＝3√((－2)3)＝－2；（2）3√0.064＝3√(0.43)＝0.4；（3）－3√(8/125)＝－3√((2/5)3)＝－2/5；（4）(3√9)3＝9。易错：第(3)题把负号塞进根号里，写成 3√(－8/125) 之后又答 －2/5 以外的数；第(4)题硬去算 3√9 的近似值再立方，绕远且带误差。验算：(－2)3＝－8；0.43＝0.064；(－2/5)3＝－8/125；9 立方再开立方回到 9。
带这一题：第(4)小题是送分题里的坑。孩子一看 3√9 就想按计算器，其实括号外面的三次方和根号里的三次根号是一对，直接抵消。教他一句口诀：开方和乘方碰上，先看次数一不一样，一样就直接消。
随堂练习 第1题（印刷第35页）｜四个立方根式子
题目原文要点：求下列各式的值：3√0.008，3√(－64)，3√(53)，(3√16)3。考查什么：小数立方根、负数立方根、两个互逆式。思路：前三个都是完全立方数，第四个直接抵消。
分步过程：0.23＝0.008，所以 3√0.008＝0.2；(－4)3＝－64，所以 3√(－64)＝－4；3√(53)＝5；(3√16)3＝16。易错：3√0.008 写成 0.02；3√(－64) 写成 －8（把立方根当平方根）；第(4)题去算近似值。验算：0.23＝0.008；(－4)3＝－64；53＝125 再开立方回 5。
带这一题：四道题让孩子自己在草稿上写出「谁的立方」，写完再对答案。这一节的错题九成来自「把立方根当平方根」，多写一步「谁的立方」，这个错就没地方藏。
随堂练习 第2题（印刷第36页）｜体积 8 倍的正方体
题目原文要点：一个正方体，它的体积是棱长为 3 cm 的正方体体积的 8 倍，这个正方体的棱长是多少？考查什么：两步走：先算体积，再开立方。思路：3 cm 的正方体体积 27 cm3，8 倍是 216 cm3，棱长就是 216 的立方根。
分步过程：33＝27，27×8＝216，设棱长为 x，x3＝216，因为 63＝216，所以 x＝6（cm）。易错：把体积 8 倍直接写成棱长 8 倍，答 24 cm；把 216 开平方，答 14.7 cm；算出 216 就停。验算：63＝216，216÷27＝8，两个条件都满足。
带这一题：这道题藏着一个规律，正是本节第 40 页习题2.2 第25题要孩子自己发现的：体积变 8 倍，棱长只变 2 倍。让孩子现在猜一次，等做到第25题再回头看猜对没有，前后呼应一次，印象比单讲一遍深。
栏目八 · 估算：公园的宽（印刷第36页）
教材从纯计算转到估算。某地开辟了一块长方形荒地，长是宽的 2 倍，面积 400 000 m2。三问层层递进：宽大约多少，有没有 1 000 m；精确到 10 m 是多少；中心圆形花圃面积 800 m2，半径大约多少。三问的答案都开不尽，考的是「夹逼」而不是「精确」。
题目原文要点：见上。考查什么：设未知数列方程、开方、按精确度取近似、用平方判断范围。思路：设宽为 x，长为 2x，列 2x2＝400 000；花圃用 πr2＝800。
分步过程：（1）设宽为 x m，长为 2x m，2x2＝400 000，x2＝200 000，x＝√200 000≈447.2，宽大约 447 m。又 1 0002＝1 000 000＞200 000，所以宽没有 1 000 m。（2）精确到 10 m：4502＝202 500，4402＝193 600，447 更靠近 450，答约 450 m。（3）设半径为 r，3.14r2＝800，r2≈254.8，162＝256，所以 r≈16 m。易错：把 400 000 直接开平方当宽，忘了长是宽的 2 倍；答「宽 447 m，不到 1 000 m」却说成「有 1 000 m」；花圃半径算成 800 的平方根。验算：447×894≈399 618，接近 400 000；3.14×162＝804，接近 800。
带这一题：第(1)问的重点不是算出 447，而是判断「有没有 1 000 m」。判断不需要算出答案，只要比平方：1 0002 是 1 000 000，比 200 000 大得多，宽肯定不到 1 000。让孩子学会「先判范围，再求数值」，估算题就不慌了。
思考·交流（印刷第36页）｜三个估算对不对
题目原文要点：（1）下列计算结果正确吗？√0.43≈0.066，3√900≈96，√2 536≈60.4。（2）你能估计 3√900 的大小吗（结果精确到 1）？（3）宽与长之比为 (√5－1)/2 的长方形称为黄金矩形，比较 (√5－1)/2 与 1/2 的大小。考查什么：用乘法验回根号、用相邻整数夹住根号、比较含根号的数与普通数。思路：凡是判断根号估值，一律把估值平方或立方，看能不能回到被开方数。
分步过程：（1）三处都不对。0.0662＝0.004 356，离 0.43 差两位，真值约 0.66；93＝729＜900＜1 000＝103，3√900 在 9 与 10 之间，约 9.65，不可能是 96；502＝2 500＜2 536＜2 601＝512，√2 536 在 50 与 51 之间，约 50.4。（2）3√900≈9.65，精确到 1 是 10。（3）√5＞2，所以 √5－1＞1，(√5－1)/2＞1/2，实际约 0.618。易错：只看数字个数就判对错；第(3)题直接背 0.618 而不说理由；把 3√900 估成 9。验算：0.662＝0.435 6，与 0.43 相近，说明真值在 0.66 附近；9.653≈898，接近 900。
带这一题：这一栏最见功夫的是第(1)问的「你是怎样判断的」。孩子答「感觉不对」不算过关，要答出「把 0.066 平方回去」。家长可以专门练一句口头禅：不信就乘回去。养成这个习惯，考场上判断类题目不会失分。
例7（印刷第36–37页）｜梯子能不能搭上墙头
题目原文要点：靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的 1/3，则梯子比较稳定。现有一架长 6 m 的梯子，稳定摆放时顶端能抵达 5.6 m 高的墙头吗？考查什么：勾股定理列方程、开方、用平方比较大小。思路：底距＝6×1/3＝2 m，设高为 x，列 x2＋22＝62；解出 x＝√32，再与 5.6 比。
分步过程：x2＋(6×1/3)2＝62，即 x2＋4＝36，x2＝32，x＝√32。因为 5.62＝31.36＜32，所以 √32＞5.6。梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达 5.6 m 高的墙头。易错：底距写成 6 或 3；把 √32 算成 4（把 32 除以 8）；不比大小直接答「能」，理由空缺。验算：√32≈5.657，比 5.6 大一点，与 31.36 与 32 只差 0.64 相符。
带这一题：这道题的答案只有「能」或「不能」两个字，分数全在过程里。让孩子把「5.62＝31.36＜32」这一行单独写出来，标上「比大小用平方」，这一行就是本题的命门。以后遇到 √a 与 b 比大小，套同一行。
栏目九 · 计算器：开方按键与反复开方（印刷第37页）
教材在估算之后补上工具。第(1)问先让孩子找按键：平方根键、三次根号键，有的计算器要用第二功能键配合。第(2)问是个小实验：拿一个很大的正数反复开平方，结果越来越靠近 1；换成小于 1 的正数，结果也往 1 靠。这个实验说明开方是个「往中间收」的运算，收的方向总是 1。
题目原文要点：（1）观察计算器面板，对于开方运算可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到 0.0001）：①√5.89；②3√(－1 285)。（2）任意找一个你认为很大的正数，反复开平方，随着次数增加你发现了什么？改用小于 1 的正数再试。考查什么：计算器的开方操作，以及「反复开方趋近 1」的规律。思路：第(1)问直接按键读数；第(2)问动手试两组，记下结果的变化趋势。
分步过程：（1）①√5.89≈2.4269；②3√(－1 285)≈－10.8718。（2）取 100 000 反复开平方：316.23、17.78、4.22、2.05、1.43、1.20……越来越靠近 1；取 0.01 反复开平方：0.1、0.316、0.562、0.750、0.866……也朝 1 靠。易错：负数开立方时先按绝对值再补负号，把正负漏掉；精确到 0.0001 写成两位小数；第(2)问只试一组就下结论。验算：2.42692≈5.89；(－10.8718)3≈－1 285，按回去对得上。
带这一题：第(2)问别当游戏做。让孩子在纸上画一条竖线，左边写「大数往下走」，右边写「小数往上走」，中间写「1」，然后让他自己填三条记录。填完他会总结出一句话：开平方把数往 1 拉。这句话在学二次根式时会再用上。
随堂练习 第1题（印刷第37页）｜估计两个数的大小
题目原文要点：估计下列各数的大小：（1）√13.6（结果精确到 0.1）；（2）3√800（结果精确到 1）。考查什么：平方根与立方根两套夹逼方法。思路：先框住整数范围，再往里收一位。
分步过程：（1）32＝9＜13.6＜16＝42，答案在 3 与 4 之间；3.62＝12.96，3.72＝13.69，所以 √13.6≈3.7。（2）93＝729＜800＜1 000＝103，答案在 9 与 10 之间；9.23≈778.7，9.33≈804.4，所以 3√800 精确到 1 是 9。易错：第(1)题写 3.6；第(2)题照平方根的思路去开平方；精确到 1 却写 9.28。验算：3.72＝13.69 与 13.6 最近；93＝729 与 800 最近整数立方。
带这一题：两道题并排做，让孩子看清一件事：开平方用平方夹，开立方用立方夹。他把 800 拿去和 282 比，就说明套错了工具。工具对上，估算就是体力活。
随堂练习 第2题（印刷第37页）｜√6 与 2.5 谁大
题目原文要点：比较 √6 与 2.5 的大小，你是怎么做的？考查什么：用平方把含根号的数与普通数放在同一把尺子上。思路：两个数都非负，平方后比大小，方向不变。
分步过程：2.52＝6.25，6＜6.25，所以 √6＜2.5。易错：把 √6 估成 2.4 就对，估成 2.6 就错，估算误差把结论带偏；硬要说出 √6 的精确值。验算：√6≈2.449，比 2.5 小，结论一致。
带这一题：题目问「你是怎么做的」，答「估了一下」不给分，答「把 2.5 平方再比」才给分。让孩子习惯把方法说出来，这一步就是本节反复练的「比大小用平方」。
随堂练习 第3题（印刷第37页）｜计算器比 ∛3 与 √2
题目原文要点：利用计算器比较 3√3 和 √2 的大小。考查什么：不同次根式之间比大小，靠计算器取值。思路：两个都取近似值，比到小数点后三位就够。
分步过程：3√3≈1.4422，√2≈1.4142，所以 3√3＞√2。易错：看到「3」比「2」大就直接判 3√3 大，理由错结论对；取到一位小数 1.4 与 1.4 分不出大小。验算：1.44223≈3.00，1.41422≈2.00，回代成立。
带这一题：提醒孩子取够位数。两个数只差 0.028，取一位小数就看不出区别。这题的意义不在答案，在「差得很近时要把位数取够」这条经验。
栏目十 · 习题2.2 知识技能 第1题（印刷第37页）
题目原文要点：求下列各数的算术平方根：121，9/25，1.96，106。考查什么：四类数的算术平方根，只要正的一个。思路：倒着想「谁的平方」，指数用「除以 2」。
分步过程：√121＝11；√(9/25)＝3/5；√1.96＝1.4；√(106)＝103＝1 000。易错：121 写成 ±11；1.96 写成 0.14；106 写成 106 的一半或 100。验算：112＝121；1.42＝1.96；(103)2＝106。
带这一题：106 这一小题值得单独讲。指数 6 开平方，指数除以 2 得 3，答案 103。孩子把这条规律记住，后面二次根式里的 √(a8) 之类都能一口报。
习题2.2 知识技能 第2题（印刷第37页）
题目原文要点：求下列各数的平方根：169，10－6，16/49，9/4，18。考查什么：与第1题对照，这题要成对回答。思路：先写 ±，再算数。
分步过程：±13；±10－3＝±0.001；±4/7；±3/2；±√18。易错：漏负号；10－6 写成 ±0.000001 却把指数弄错；18 硬开成 ±4.2。验算：132＝169；0.0012＝0.000 001＝10－6；(4/7)2＝16/49。
带这一题：把第1题和第2题并在一起看。同一批数字，一个要正根，一个要两个根。让孩子指着题头三个字念一遍再动笔，这一节最大的失分点就在这里。
习题2.2 知识技能 第3题（印刷第38页）｜十二个式子求值
题目原文要点：求下列各式的值：（1）√49；（2）√(25/196)；（3）√0.09；（4）－√64；（5）√(42)；（6）√((－4)2)；（7）(√0.8)2；（8）(－√0.8)2；（9）3√8；（10）3√((－3)3)；（11）(3√125)3；（12）－3√27。考查什么：本节所有符号规则一次过筛。思路：每题先看根号几次，再看负号位置，再定答案个数。
分步过程：（1）7；（2）5/14；（3）0.3；（4）－8；（5）√(42)＝4；（6）√((－4)2)＝4；（7）(√0.8)2＝0.8；（8）(－√0.8)2＝0.8；（9）2；（10）－3；（11）125；（12）－3。易错：第(6)题写 －4；第(8)题写 －0.8；第(10)题写 3；第(12)题写 3。验算：把答案平方或立方回代，全部成立；(6)(7)(8) 三题结果都非负，符合规律。
带这一题：十二小题别一口气做完。分三组：第(1)到(4)是一组，只考基本开方；第(5)到(8)是一组，专考两个互逆式；第(9)到(12)是一组，专考立方根。做完一组对一组答案，错在哪一组一目了然。
习题2.2 知识技能 第4题（印刷第38页）｜反求原数
题目原文要点：（1）一个正数的平方等于 361，求这个正数；（2）一个负数的平方等于 121，求这个负数；（3）一个数的平方等于 196，求这个数。考查什么：题干里修饰「数」的那个词决定答案个数。思路：先开方得 ±根，再按题干里的「正」「负」「一个」筛选。
分步过程：（1）192＝361，取正数，答 19；（2）112＝121，取负数，答 －11；（3）142＝196，题干只说「一个数」，答 ±14。易错：三问答成一样；第(2)题答 11；第(3)题只答 14。验算：192＝361，(－11)2＝121，(±14)2＝196。
带这一题：让孩子拿笔把题干里的「正数」「负数」「一个数」圈出来，圈完再答。这三问的答案差别全在圈出来的那个词上，圈词这动作比讲道理管用。
习题2.2 知识技能 第5题（印刷第38页）｜解两个方程
题目原文要点：求满足下列各式的未知数 x：（1）x2＝25/81；（2）x2＝6。考查什么：把开方当解方程的工具，答案写成两个根。思路：两边开平方，右边写 ±。
分步过程：（1）x＝±√(25/81)＝±5/9；（2）x＝±√6。易错：只写正根；第(2)题硬算 2.449 写上去；写成 x＝√(±6)。验算：(±5/9)2＝25/81；(±√6)2＝6。
带这一题：让孩子留意「方程」这个词。解方程要把所有解写全，一个都不能丢。这与「求算术平方根」是两种任务：求算术平方根是开方运算，解方程是找全解。任务不同，答案个数不同。
习题2.2 知识技能 第6题（印刷第38页）｜代值算根式
题目原文要点：当 c＝25，b＝24 时，求 √((c＋b)(c－b)) 的值。考查什么：先算括号、再开方，顺带练平方差。思路：c＋b＝49，c－b＝1，相乘得 49，开方得 7。
分步过程：c＋b＝25＋24＝49，c－b＝25－24＝1，49×1＝49，√49＝7。易错：先开方再代值；把 c－b 算成 25－24 之外的结果；答案写 ±7。验算：72＝49＝(25＋24)(25－24)。
带这一题：这题其实是被化简过的勾股定理：c2－b2 是直角三角形另一条直角边的平方。让孩子认出 c＝25、b＝24、7 就是 7、24、25 这组勾股数，一次到位，往后见三次都不会忘。
习题2.2 知识技能 第7题（印刷第38页）｜六个数的立方根
题目原文要点：求下列各数的立方根：0.001，－1，－1/216，8 000，8/27，－512。考查什么：正负小数、整数、分数各类立方根。思路：逐个问「谁的三次方等于它」，符号跟着走。
分步过程：0.13＝0.001，答 0.1；(－1)3＝－1，答 －1；(－1/6)3＝－1/216，答 －1/6；203＝8 000，答 20；(2/3)3＝8/27，答 2/3；(－8)3＝－512，答 －8。易错：－1/216 答成 －1/6 以外的数；8 000 答成 2 000 或 40；－512 答成 8。验算：六个数分别立方回代，全部对上。
带这一题：让孩子注意 8 000 这个数：开平方是 89 左右，开立方是 20 整。同一道题里两个运算差这么多，正是因为次数不同。多问一句「开几次方」，就能避开这类错。
习题2.2 知识技能 第8题（印刷第38页）｜估计两数
题目原文要点：估计下列各数的大小：（1）3√260（结果精确到 1）；（2）√25.7（结果精确到 0.1）。考查什么：立方根与平方根两套夹逼再练一次。思路：立方根用立方夹，平方根用平方夹。
分步过程：（1）63＝216＜260＜343＝73，3√260≈6.38，精确到 1 是 6。（2）52＝25＜25.7＜26.01＝5.12，√25.7≈5.07，精确到 0.1 是 5.1。易错：第(1)题答 7（因为 6.38 靠近 6 却看成 7）；第(2)题答 5.0。验算：63＝216 与 260 差 44，73＝343 差 83，所以更靠近 6；5.12＝26.01 与 25.7 差 0.31。
带这一题：取近似要看「离谁近」。第(1)题 6.38 离 6 有 0.38，离 7 有 0.62，所以进 6。让孩子用距离而不是用感觉判断，估错的概率立刻降下来。
习题2.2 知识技能 第9题（印刷第38页）｜三组比大小
题目原文要点：通过估算，比较下列各组数的大小：（1）(√3－1)/2 与 1/2；（2）√15 与 3.85；（3）(√5－1)/2 与 5/8。考查什么：含根号的式子与普通分数、小数比大小。思路：都化成小数，或者两边平方（平方前确认两边都非负）。
分步过程：（1）√3≈1.732，(1.732－1)/2≈0.366＜0.5，所以前者小。（2）3.852＝14.822 5＜15，所以 √15＞3.85。（3）(√5－1)/2≈0.618，5/8＝0.625，前者小。易错：第(1)题把 √3－1 算成 √2；第(3)题看见 5/8 就以为一定大，理由空缺；平方时漏掉小数位。验算：0.366＋0.5＝0.866 之类没有意义，直接用近似值反查：0.366×2＋1≈1.732＝√3。
带这一题：第(3)题是本组最像考题的一道，0.618 与 0.625 只差 0.007。孩子要养成算到三位小数的习惯，差得近的题，位数不够就看不出胜负。
习题2.2 知识技能 第10题（印刷第38页）｜计算器六小题
题目原文要点：利用计算器求下列各式的值（结果精确到 0.000 01）：（1）√2408；（2）3√(－19.78)；（3）3√(55/9)；（4）√67.5；（5）√7×8－8÷(－5)；（6）3√3－√2。考查什么：按键顺序、分数与负数的输入、精确到五位小数。思路：先算根号部分，再算乘除加减；第(5)题注意 8÷(－5) 是负数，减去它等于加。
分步过程：（1）49.071 38；（2）－2.704 43；（3）1.828 27；（4）8.215 84；（5）8√7＋1.6≈22.766 01；（6）1.442 25－1.414 21≈0.028 04。易错：第(2)题把负号丢在根号外不管；第(5)题把 8÷(－5) 算成 ＋1.6 后误减；第(6)题先相减再开方。验算：49.071 382≈2 408；－2.704 433≈－19.78，按键结果可回代。
带这一题：第(5)题最容易错在运算顺序。让孩子先把式子改写成 8√7＋1.6，再按键。改写这一笔，能省掉一次重算。
习题2.2 知识技能 第11题（印刷第38页）｜计算器比大小
题目原文要点：利用计算器比较下列各组数的大小：（1）√8 与 3√25；（2）8/13 与 (√5－1)/2。考查什么：不同次根式、分数与无理数比大小。思路：都取近似值，至少三位小数。
分步过程：（1）√8≈2.828，3√25≈2.924，所以 √8＜3√25。（2）8/13≈0.615，(\u221a5－1)/2≈0.618，所以 8/13 小。易错：看被开方数 8 比 25 小就判前者小，理由错；第(2)题只算到两位小数，都是 0.62 分不出。验算：2.9243≈25.0，2.8282＝8.0，回代成立。
带这一题：第(1)题结论和「8＜25」正好相反，是个好教材。让孩子说说为什么被开方数大不一定开出来大：开方次数不同，尺子不同，两个数不能直接比。
栏目十一 · 习题2.2 数学理解 第12题（印刷第39页）｜用面积解释 √a＜√b
题目原文要点：小明说，如果两个正数 a＜b，那么 √a＜√b，试借助下图解释这一结论。图由内到外排着六个正方形，面积依次标 1、2、3、4、5、6 cm2，下面一根数轴，刻度依次是 0、1、√2、√3、√4、√5、√6，轴右端标 x/cm。考查什么：平方根的几何意义，以及「被开方数越大，算术平方根越大」的直观依据。思路：正方形的面积越大，边长越长，边长正是面积的算术平方根。
分步过程：面积 1 的正方形边长 √1＝1；面积 2 的边长 √2，比 1 长；面积 3 的边长 √3，又长一点；面积 4 的边长 √4＝2。面积一路变大，边长一路变长，数轴上的点一路往右移，所以 a＜b 时 √a＜√b。易错：只说「面积大边长就大」却不指回根号；把 √4 也写成无理数；以为这条规律对负被开方数也成立。验算：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236，数轴上越靠右数值越大，与图形一致。
带这一题：这题考的是「说理」。让孩子指着图中两个正方形，一个面积 2、一个面积 3，说出「后一个盖住前一个，所以边长更长」。图形能说清，结论就记住了，往后估算题里的夹逼也用得上。
习题2.2 数学理解 第13题（印刷第39页）｜随 k 增大怎么变
题目原文要点：（1）对于正数 k，随着 k 值的增大，它的算术平方根会怎样变化？（2）对于正数 k，随着 k 值的增大，它的立方根会怎样变化？对于负数 k，随着 k 值的增大，它的立方根又会怎样变化？考查什么：单调性的直观认识，尤其是负数段。思路：举两个数试，比如 k 取 1 与 4，再取 －8 与 －1。
分步过程：（1）k 从 1 增到 4，√k 从 1 增到 2，算术平方根随 k 增大而增大。（2）正数段：k 从 1 到 8，3√k 从 1 增到 2，增大；负数段：k 从 －8 到 －1，3√k 从 －2 变到 －1，也是增大（－1＞－2）。易错：负数段答「减小」，看到 －2 变 －1 说数字变小了；答「负数没有立方根」。验算：－2＜－1，数值上确实变大，结论是增大。
带这一题：负数段最容易答错。让孩子在数轴上把 －2 和 －1 标出来，看谁在右边。右边的大，所以是增大。用数轴代替感觉，这一问就不难了。
习题2.2 数学理解 第14题（印刷第39页）｜两处估算对不对
题目原文要点：下列计算结果正确吗？说说你的理由。（1）√8 955≈9.5；（2）3√12 345≈23.1。考查什么：回流验算，判断估值的合理性。思路：把给出的结果平方或立方，看是否接近被开方数。
分步过程：（1）9.52＝90.25，与 8 955 差两位数量级，错；真值约 94.6，因为 942＝8 836，952＝9 025。（2）23.13≈12 326，与 12 345 只差 19，相对误差极小，正确。易错：两小题都判错；第(2)题因为「不完全相等」就判错，忘了题目写的是约等于。验算：23.13＝23.1×23.1×23.1≈12 326.4；23.113≈12 342，更近。
带这一题：这题的第二个小问常被误判，因为它「差不多对」。让孩子明白：约等于允许误差，判对错要看误差有多大，不是看等不等。平方回代这一步，就是量误差的尺子。
习题2.2 数学理解 第15题（印刷第39页）｜反复开立方的规律
题目原文要点：任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？考查什么：开立方的收敛方向。思路：正负各试一个，记下前五次结果。
分步过程：取 1 000 反复开立方：10、2.154、1.291、1.089、1.029……趋近 1；取 －1 000 反复开立方：－10、－2.154、－1.291、－1.089……趋近 －1。易错：只试正数就写「趋近 1」；负数段写「趋近 0」；只算两次就下结论。验算：趋近值的立方仍接近原数，方向稳定。
带这一题：与第 37 页计算器栏目那题配着看：开平方往 1 收，开立方往 ±1 收，符号不同。两条规律并排写一次，孩子就有了整体的印象。
栏目十二 · 习题2.2 问题解决 第16题（印刷第39页）｜方阵每排多少人
题目原文要点：在某次学校运动会上，324 名学生排成一个 n×n 的方阵，每排有多少名学生？考查什么：把实际情境翻译成 n2＝324，再开方取正。思路：方阵每排人数相同、排数也相同，所以总人数是排数的平方。
分步过程：n2＝324，182＝324，所以 n＝18，每排 18 名。易错：答 ±18；把 324 除以 2 得 162 当答案；数位算成 16 或 17。验算：18×18＝324，人数、排数、每排人数三者对上。
带这一题：让孩子自己说为什么取正：人数不可能是负的。这是「算术平方根在实际问题里永远取正」的第三次练习，例2 是第一次，帐篷题是第二次。
习题2.2 问题解决 第17题（印刷第39页）｜阴影部分面积
题目原文要点：半径为 1 的扇形 OAB 的圆弧和以 AB 为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知 OA⊥OB，求阴影部分的面积。图中 A 在左下、O 在右下（直角符号在此）、B 在右上，AB 用虚线连。考查什么：勾股定理求 AB、圆的面积公式、面积的和差。思路：阴影＝半圆面积－弓形面积，弓形＝扇形－三角形。
分步过程：OA＝OB＝1，OA⊥OB，所以 AB2＝12＋12＝2，AB＝√2。半圆半径 √2÷2，面积＝(1/2)π×(√2÷2)2＝π/4。扇形面积＝(1/4)π×12＝π/4，三角形面积＝1/2×1×1＝1/2。阴影＝π/4－(π/4－1/2)＝1/2。易错：半圆面积忘乘 1/2；把 AB 当半径；用 π 取 3.14 得近似值而题目要精确值。验算：阴影 1/2 小于三角形 1/2 或与之相等，量级合理；阴影为正，符合图形。
带这一题：这题的漂亮之处在 π/4 抵消。让孩子先把两块面积都写成含 π 的式子，再相减，π 自己就没了。看见 π 不要急着换成 3.14，先看能不能约掉。
习题2.2 问题解决 第18题（印刷第39页）｜能看多远
题目原文要点：当人站在离地面 h km 的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为 d km，d≈112√h。某人站在 810 m 的高处，在无障碍物影响的情况下，肉眼能看到的距离大约是多少千米？考查什么：单位换算与代值开方。思路：公式里的 h 单位是 km，先把 810 m 换成 0.81 km。
分步过程：810 m＝0.81 km，d≈112×√0.81＝112×0.9＝100.8，约 101 km。易错：把 810 直接代进公式，得 112×28.5 的巨大数字；√0.81 算成 0.09；答 100.8 却不写单位。验算：0.92＝0.81，代入成立；100.8÷112＝0.9。
带这一题：这题的唯一坑是单位。让孩子养成习惯：代公式前把题里所有量抄一遍，标上单位，再看公式要求什么单位。这一笔能救回不少应用题。
习题2.2 问题解决 第19题（印刷第40页）｜纸箱放得进柜口吗
题目原文要点：快递自取柜某格口尺寸为 45 cm×34 cm×29 cm，现有一个体积为 0.027 m3 的正方体形纸箱，能否将该纸箱完全放入其中？为什么？考查什么：立方根求棱长、单位换算、三维尺寸比较。思路：纸箱是正方体，棱长＝∛体积；放得进的条件是三个方向都不超过格口。
分步过程：0.027 m3＝27 000 cm3，棱长＝3√0.027 m＝0.3 m＝30 cm。格口最短边 29 cm，30＞29，所以放不进。易错：只比体积不比边长（27 000 cm3 小于 45×34×29＝44 370 cm3，体积够但放不进）；单位混算；答「能」。验算：303＝27 000 cm3＝0.027 m3，棱长对；30 与 29 差 1 cm，确实卡住。
带这一题：体积够、放不进，这个矛盾正是本题的看点。让孩子明白：装东西比的是每一条边，不是总体积。体积小也可能卡在某一面。
习题2.2 问题解决 第20题（印刷第40页）｜圆柱容器多高
题目原文要点：一个人平均每天饮用约 0.0015 m3 的各种液体，按 70 岁计算，总量约 40 m3。用一圆柱形容器（底面直径等于高）来装，这个容器大约有多高（π 取 3.14，结果精确到 1 m）？考查什么：用「直径等于高」把两个未知量并成一个，再开立方。思路：设高为 h，半径就是 h÷2，列 3.14×(h÷2)2×h＝40。
分步过程：3.14×h2÷4×h＝40，即 0.785h3＝40，h3≈50.96，h≈3.7，精确到 1 m 为 4 m。易错：把直径当半径算，体积大 4 倍；忘记「精确到 1 m」直接写 3.7；把 40 开平方。验算：3.14×22×4＝50.24 m3，与 40 同量级，4 m 合理。
带这一题：让孩子先说清「底面直径等于高」这句话怎么用：高是 h，直径也是 h，半径就是 h÷2。把这句话翻译成式子，后面全是计算。翻译这一步不写，题就做不下去。
习题2.2 问题解决 第21题（印刷第40页）｜梯子有没有 5 m
题目原文要点：风筝落在 4.8 m 高的墙头，梯子稳定摆放（底端离墙约为梯子长度的 1/3），顶端正好抵达墙头，梯子的长度有没有 5 m？考查什么：未知量在两条边上都出现，列方程求长度，再与 5 m 比。思路：设梯长为 L，底距为 L/3，用勾股定理列 L2＝4.82＋(L/3)2。
分步过程：L2－L2/9＝23.04，(8/9)L2＝23.04，L2＝25.92，L≈5.09＞5，所以梯子长度超过 5 m。易错：把底距当 4.8÷3；解 L2＝25.92 时直接写 5；忘了比较，只交出 L 的值。验算：5.092＝25.9，5.092－(5.09÷3)2≈25.9－2.88＝23.02，接近 4.82。
带这一题：比起例7，这题要难一档：例7 的底距能直接算出来，这题的底距本身含未知数。让孩子体会「同一个 L 出现在两条边上」这件事，方程思想就在这里长出来。
习题2.2 问题解决 第22题（印刷第40页）｜第一宇宙速度
题目原文要点：第一宇宙速度的计算公式为 v＝√(gR)，其中 g＝9.8 m/s2，R＝6.37×106 m，求第一宇宙速度（结果精确到 100 m/s）。考查什么：科学记数法代入公式、开方、按精确度取舍。思路：先算 gR 的乘积，用科学记数法保留两位，再开方。
分步过程：gR＝9.8×6.37×106≈6.24×107，√(6.24×107)≈7 901，精确到 100 m/s 为 7 900 m/s。易错：把 106 拿出来时开方开错；精确到 100 却写 7 901；忘记写单位 m/s。验算：7 9002＝6.241×107，与 gR 的乘积一致。
带这一题：这题的答案 7 900 m/s 就是课本上说的第一宇宙速度约 7.9 km/s。让孩子把两个单位对一下，7 900 m/s 等于 7.9 km/s，数字一合并，物理书上的那句话就变成了自己算出来的结果。
习题2.2 问题解决 第23题（题号前带星号）（印刷第40页）｜空间站的速度与周期
题目原文要点：空间飞行器的速度 v（m/s）与飞行高度 h（m）的关系为 v＝(1.995×107)÷√(R＋h)，R 为地球半径。地球半径约 6 400 km，中国空间站高度约 400 km。（1）求飞行速度（精确到 1 m/s）；（2）绕地球一周约需多长时间（π 取 3.14，精确到 1 s）？考查什么：单位统一、根式代入、圆周运动公式 v＝2πr÷T 的变形。思路：先把 km 换成 m，得 R＋h＝6.8×106 m；求出 v 后再用 T＝2π(R＋h)÷v。
分步过程：（1）R＋h＝6 400 000＋400 000＝6 800 000＝6.8×106，√(6.8×106)≈2 607.7，v≈1.995×107÷2 607.7≈7 650（m/s）。（2）T＝2π(R＋h)÷v＝2×3.14×6.8×106÷7 650≈4.27×107÷7 650≈5 582（s），约 93 分钟。易错：高度用 400 而不是 6 800；π 取 3.14 却用 2πr 里的 r 当成 400；把秒换算成小时时算错。验算：7 650×5 582≈4.27×107，等于 2π(R＋h)，绕行一圈的路程与速度对得上。
带这一题：这是本节唯一带星号的题，两步都要用到开方与单位。让孩子把 5 582 s 换算成 93 分钟，与新闻里「空间站约 90 分钟绕地球一圈」对一下。自己对出来的数能对上现实，这种体验比做十道纯计算题都值。
栏目十三 · 习题2.2 联系拓广 第24题（印刷第40页）｜面积变几倍，边长变几倍
题目原文要点：一个正方形的面积变为原来的 4 倍，边长变为原来的多少倍？面积变 9 倍、100 倍呢？面积变为原来的 n 倍呢？考查什么：从特例推到一般，用算术平方根表达倍数关系。思路：边长是面积的算术平方根，面积乘 k，边长就乘 √k。
分步过程：面积 4 倍，边长 √4＝2 倍；面积 9 倍，边长 3 倍；面积 100 倍，边长 10 倍；面积 n 倍，边长 √n 倍。易错：答成面积几倍边长就几倍；一般情形那一句漏写「倍」；n 取负数时不讨论（本题 n 为正）。验算：边长 2 倍的正方形，面积是 22＝4 倍，回代成立。
带这一题：让孩子做一次实物推演：把一张正方形纸的每条边拉成两倍长，面积变成几倍？他会发现是 4 倍而不是 2 倍。手感有了，公式就只是把手感写成符号。
习题2.2 联系拓广 第25题（印刷第40页）｜体积变几倍，棱长变几倍
题目原文要点：一个正方体的体积变为原来的 8 倍，棱长变为原来的多少倍？体积变 27 倍、1 000 倍呢？体积变为原来的 n 倍呢？考查什么：与第24题对照，把平方根换成立方根。思路：棱长是体积的立方根。
分步过程：体积 8 倍，棱长 3√8＝2 倍；27 倍，3 倍；1 000 倍，10 倍；n 倍，3√n 倍。易错：把 8 倍答成 √8 倍；把 1 000 倍答成 100 倍；n 倍一句写成 √n 倍。验算：棱长 2 倍的正方体，体积是 23＝8 倍，回代成立。
带这一题：第24与第25题并排做，做成一张两行小表：面积/体积变 k 倍，边长/棱长变几倍。这张表把整节的平方根与立方根收在一处，往后学相似图形、相似体时还会再用。
🛠 九、五步学习法
第一步：每天锻炼一个小时
平方根这一节看着不难，做起来耗神。教材第 38 页习题2.2 第3题一口气给了十二个小题，第10题又要按计算器算到五位小数，孩子坐下来四十分钟，脑子就开始飘。每天留一个小时给身体，跑步、跳绳、打球都行，跟做题时间错开。这不是耽误学习，是把注意力养回来。有位家长试过一个办法：孩子做第3题那十二个小题，每做完四个就下楼走十分钟，三趟走完，错题从五个降到两个。原因很实在，开方这类题靠的是眼力和手稳，眼睛累了，负号就看不住；心里躁了，±就漏写。锻炼的作用是让下一段做题的半小时真正清醒。给家长一个可操作的安排：放学后先动半小时，回家写作业前再动十分钟，把最难的数学放在运动之后的第一段。孩子一旦体会到「动过之后做题顺」，这个习惯就自己立住了。
第二步：扎实掌握第一个知识点
这一节的第一个知识点只有一个：算术平方根的定义，教材第 31 页那两句话。它扎实了，后面全部顺；它虚着，后面处处漏。什么叫扎实？孩子能不看书画出图2-5 的四个平方，能说清「正数」两个字为什么在定义里，能解释 0 为什么要单独规定。三个问题答得出，才算过关。课文后面所有的麻烦，根子都在这里：例3 求平方根错成只写一个，是没分清两个定义的主语；(√a)2 与 √(a2) 混用，是没抓住 a≥0 这个条件。给家长一个检验法，抽三分钟问三句：√25 等于多少；25 的平方根等于多少；√0 等于多少。第一句答 5，第二句答 ±5，第三句答 0，全对才往下走。答错的不要讲新内容，回到第 31 页把定义读两遍，读到能背。基础这一步省不得，省下来的时间后面要还三倍。
第三步：能积微者速成
这一节的量摆在那里：教材正文 10 页，例题 7 道，随堂练习 12 道小题，习题2.2 二十五道题。想一口气做完，孩子会崩。拆成小块，一天只啃一小块，十天也就走完了。具体怎么拆：第 1 天只做算术平方根，做例1 与随堂练习第1、2、3题；第 2 天做平方根，做例3、例4 与第 34 页随堂练习三题；第 3 天做立方根，做例5、例6 与第 35 页随堂练习；第 4 天做估算与计算器，做公园题、例7 与第 37 页随堂练习；第 5 天起做习题2.2，每天五道。每天的量固定，不多做也不少做。积微的关键在「每天都做」，不在「一天做很多」。孩子做例5 第(1)题时，只要盯住「(－3)3＝－27」这一句，就算完成了当天的功。小步走，走到第十天回头看，二十五道题已经全部过了一遍，比突击两天再忘掉一半强得多。
第四步：运用对标思维突破学习困境
对标思维在这里特别好用，因为这一节的题都是成对的。例1 求算术平方根，例3 求平方根，同一类数字两套答法，把两题并排放，差在哪一眼看清。随堂练习第2题（印刷第34页）的四道填空也是成对的：√((－5)2) 与 (√5)2，形式不同，答案都是 5；第(3)与第(4)小题又是成对的，(√5)2 与 (－√5)2 都等于 5。习题2.2 第1题与第2题成对，第24题与第25题成对。给孩子一个动作：每做完一道，找一找有没有「它的对家」，找到了就把两道题的答案并排写在同一行。找对家的过程就是在建知识结构。孩子若在某道题上卡住，先别讲，让他去找对家，八成能找到答案。比如第21题卡住，回头看例7，同样是梯子、同样用勾股定理，只多了一层「底距含未知数」。对标一旦成为习惯，孩子的困境就有了出口。
第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳
杠铃法则说的是一头特重、一头特轻，中间不要。放到这一节，重的那头是习题2.2 第3题那十二个小题、第10题那六道计算器题，轻的那头是教材第 31 页图2-5 的填空、第 34 页的四道填空。安排作业时把两头配在一起：先做一组轻的填空热手，再做一组重的十二小题，中间不安排中不溜的重复劳动。重的做完，立刻换轻的收尾，别让大脑长时间泡在同一难度里。有家长反映，孩子连着做十二道求值题，做到第八道就开始写错负号，这时候让他回头做两道「√49 等于多少」这样的送分题，脑子一松，再回来接着做，错误就少了。这就是杠铃的形状：重、轻、重、轻，交替着来。别把二十五道题排成一条直线从头做到尾，那不是练功，是消耗。
💡 十、费曼技巧应用
自问一 · 算术平方根和平方根到底差在哪？
能用自己的话讲清「正数」两个字的作用，说明真懂了。参考答案：算术平方根的定义里写「一个正数」，所以答案只有一个、非负，√36＝6；平方根的定义里只写「一个数」，正负都能进，所以答案成对，36 的平方根是 ±6。差在定义的主语上，不在符号上。答不出怎么办：回到教材第 31 页与第 32 页，把两句定义抄在一起，用红笔圈出「正数」，再对照随堂练习第1题与习题2.2 第2题的答案形式。
自问二 · 为什么负数没有平方根，却有立方根？
能举出具体数字而不是背结论，才算过关。参考答案：(－3)2＝9，负号被吃掉了，任何数的平方都不带负号，所以 －4 找不到平方根；(－2)3＝－8，三个负数相乘还是负，所以 －8 的立方根是 －2，例5 第(1)题就是它。答不出怎么办：让孩子把 (－1)2、(－1)3、(－2)3 三个式子算一遍，算完再看教材第 33 页与第 35 页的两个结论框，对照着自己说一次。
自问三 · √((－5)2) 为什么等于 5，不是 －5？
能说清「先平方再开方，结果取绝对值」这一层，说明两个互逆式分得开。参考答案：(－5)2＝25，√25 是算术平方根，只能是 5；用式子说就是 √(a2)＝|a|，a＝－5 时等于 5。随堂练习第2题第(2)小题与习题2.2 第3题第(6)小题都是它。答不出怎么办：把 (√a)2＝a 与 √(a2)＝|a| 抄成两行并排，各代 a＝－5 试一次，哪个式子出负数，一眼就看出来。
自问四 · 怎么判断一个开方结果对不对？
能说出「乘回去」三个字，就掌握了本节最实用的工具。参考答案：把给出的结果平方（开平方的题）或立方（开立方的题），看能不能回到被开方数。教材第 36 页思考·交流里 √0.43≈0.066 一乘就露馅，0.0662＝0.004 356；习题2.2 第14题第(2)小题 23.13≈12 326，与 12 345 很接近，所以那一处是对的。答不出怎么办：拿例1 第(1)题练，302＝900 对上；再拿一道错题练，让手先熟。
自问五 · 遇到开不尽的数，怎么比大小、怎么估？
能分清「平方夹」与「立方夹」，估算这一关就通了。参考答案：开平方用相邻完全平方数夹，√13.6 夹在 3 与 4 之间，再看 3.72＝13.69，答 3.7；开立方用相邻完全立方数夹，3√800 夹在 9 与 10 之间，答 9。比大小一律把两边都平方，例7 的 5.62＝31.36＜32 就是这一招。答不出怎么办：先做教材第 37 页随堂练习第1题的(1)(2)两小题，再做习题2.2 第8题，两组做完对照答案的位数，方法自然成形。
🎯 十一、方法总结与知识脉络
这一节用一句话概括：平方根成对，算术平方根取正，立方根不论正负只有一个，三套符号各管一段路。孩子学完要能一眼分清题目要哪一套：写着「算术平方根」就答一个非负数，写着「平方根」就答 ±，写着「立方根」就答一个跟原数同号的数。教材第 31 页到第 40 页整整十页，做的都是这一件事的变式。抓住了这条主线，二十五道习题就是同一个动作重复二十五遍。
往前往后看，脉络很清楚。往前，七年级学过平方、立方、勾股定理，那些知识提供的是「平方关系」；这一节把平方关系反过来用，造出了开方。往后，第三节「二次根式」要把 √2、√3 这类数拿去加减乘除，分母有理化、化简根式，全建立在今天这两个定义上；再往后学一元二次方程，x2＝a 的两个解直接来自「平方根成对」；学相似图形时，面积比与边长比的平方关系，就是习题2.2 第24题那一条。今天这一节没学通，后面每一处都要补课。
给家长一句实在话：这一节的难点不在算，在分。孩子算得慢不要紧，分不清才要紧。您不必陪他做完二十五道题，只要每天抽三分钟问一句「这道题要一个答案还是两个」，问上一周，他自己就会在动笔前停一下。这一停，就是从「记答案」走到「认任务」，八年级的数学从这一停开始变样。
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