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第2 节 用样本估计总体
考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n 个数据的第p 百分位数. 2.会
用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
【知识梳理】
1.百分位数
一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p %
的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
2.众数、中位数、平均数
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间
两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把称为 a1，a2，…，an这n 个数的平均数.
3.标准差与方差
设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝，
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].
4.总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为
Y，则总体方差S2＝∑ (Yi－Y)2.
(2)加权式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，
Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为
S2＝∑fi(Yi－Y)2.
[常用结论与微点提醒]
1.若x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平均数为
mx＋a.
2.数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，
即数据经过平移后方差不变.
3.若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的方差为a2s2.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.( )
(2)一组数据的第p 百分位数可以不唯一.( )
(3)方差与标准差具有相同的单位.( )
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不
变.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)平均数指的是这组数据的平均水平；中位数指的是这组数据的中间水
平，它们之间没有必然联系，故该说法错误.
(3)方差是标准差的平方，故它们的单位不一样.
2.(必修二P180T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000 户居民的日用
电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300 户进行调查，得到其日用电量的平均
数为5.5 kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数( )
A.一定为5.5 kW·h
B.高于5.5 kW·h
C.低于5.5 kW·h
D.约为5.5 kW·h
答案 D
解析 由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量
的平均数约为5.5 kW·h.
3.(必修二P213T2 改编)若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，
2x9的方差为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 D
解析 根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，
那么数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.
4.某校体育节10 名旗手的身高(单位：cm)分别为175，178，176，180，179，
175，176，179，180，179，则中位数为________.
答案 178.5
解析 把10 名旗手的身高从小到大排列为175，175，176，176，178，179，
179，179，180，180，
则＝178.5，所以所求中位数为178.5.
考点一 总体百分位数的估计
例1 (1)一个容量为20 的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，
5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的
第75 百分位数为________，第86 百分位数为________.
答案 14.5 17
解析 ∵75%×20＝15，
∴第75 百分位数为＝14.5.
∵86%×20＝17.2，
∴第86 百分位数为第18 个数据17.
(2)将高三某班60 名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理
后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.
(结果保留两位小数)
答案 124.44
解析 由频率分布直方图可知，分数在120 分以下的学生所占的比例为(0.01＋
0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130 分以下的学生所占的比例为
(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100%＝92.5%，
因此，80%分位数一定位于[120，130)内.
因为120＋×10≈124.44，
所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.
感悟提升 1.计算一组数据的第p 百分位数的步骤
2.直方图中可运用面积和求第p 百分位数.
训练1 (1)(2024·唐山模拟)某校高三年级一共有1 200 名同学参加数学测验，已
知所有学生成绩的第80 百分位数是103 分，则数学成绩不小于103 分的人数至
少为( )
A.220
B.240
C.250
D.300
答案 B
解析 ∵1 200×80%＝960，
∴小于103 分的学生最多有960 人，
则数学成绩不小于103 分的学生至少有
1 200－960＝240(人).
(2)若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6 的第65 百分位数是4.5，则实数
x 的取值范围是________.
答案 [4.5，＋∞)
解析 因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65 百分位数是第6 个数据为4.5，
所以应该有5 个数据不大于4.5，则x≥4.5.
考点二 总体集中趋势的估计
角度1 样本的数字特征
例2 (1)(多选)给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据( )
A.众数为2
B.平均数为3
C.方差为1.6
D.标准差为4
答案 BC
解析 由题中数据可得，众数为2 和3，故A 错误；
平均数为x＝＝3，故B 正确；
方差s2＝
＝1.6，
标准差为≠4，故C 正确，D 错误.
(2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6
是最大值，则( )
A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
答案 BD
解析 取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，
则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，
x1，x2，…，x6的平均数等于3，
标准差为＝，故A，C 均不正确；
根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中
间两个数的算术平均数，
由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按
从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相
等，故B 正确；
根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D 正
确.
角度2 频率分布直方图中的数字特征
例3 在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100 根棉花的纤维长度(单位：
mm)，得到样本的频数分布表如下：
纤维长度
频数
频率
[0，50)
4
0.04
[50，100)
8
0.08
[100，150)
10
0.10
[150，200)
10
0.10
[200，250)
16
0.16
[250，300)
40
0.40
[300，350]
12
0.12
(1)在图中作出样本的频率分布直方图；
(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，
并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计.
解 (1)样本的频率分布直方图如图所示.
(2)由样本的频率分布直方图，
得众数为＝275(mm)；
设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，
解得x＝252.5，即中位数为252.5 mm；
设平均数为x，则x＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋
275×0.4＋325×0.12＝222(mm)，
故平均数为222 mm.
由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为
275 mm，252.5 mm 和222 mm.
感悟提升 1.中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数
水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用.
2.频率分布直方图中的数字特征
(1)众数：最高的矩形底边中点的横坐标.
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和是相等的.
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个
矩形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
训练2 (1)某大学共有12 000 名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校
随机地从全校学生中抽取1 000 名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计
全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用
该组区间的中点值作为代表)( )
A.中位数为6
B.众数为10
C.平均数为6.88
D.该校读书不低于8 本的人数约为3 600
答案 C
解析 由图知，中位数x 在[4，8)内，
所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A 错误；
由图知，众数在[4，8)内，故众数为6，B 错误；
平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C 正
确；
由图知，该校读书不低于8 本的频率之和为
1－0.16×4＝0.36，
所以该校读书不低于8 本的人数约为
0.36×12 000＝4 320，D 错误.
(2)(2023·上海卷)国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平
的重要指标.根据统计数据显示，某市在2020 年间经济高质量增长，GDP 稳定增
长，第一季度和第四季度的GDP 分别为232 亿元和241 亿元，且四个季度的
GDP 逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020 年的GDP 总额为________
亿元.
答案 946
解析 依题意，将2020 年四个季度的GDP 数据分别记为a1，a2，a3，a4，则a1
＝232，a4＝241，
四个季度GDP 数据的中位数为(a2＋a3)，
平均数为(a1＋a2＋a3＋a4)，
则(a2＋a3)＝(a1＋a2＋a3＋a4)，
∴a2＋a3＝a1＋a4＝473，
故该市2020 年的GDP 总额为a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a4)＝946(亿元).
考点三 总体离散程度的估计
例4 (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产
产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得
到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别
记为s 和s.
(1)求x，y，s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－
x≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认
为有显著提高).
解 (1)由表格中的数据易得：
x＝＋10.0＝10.0，
y＝＋10.0＝10.3，
s＝×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－
10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5
－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中数据可得y－x＝10.3－10.0＝0.3，
而2＝＝，
显然有y－x>2 成立，
所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
感悟提升 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差
(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小.
训练3 (2024·济南调研)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培
训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8 次，记录如下：
甲
82
81
79
78
95
88
93
84
乙
92
95
80
75
83
80
90
85
(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学
生参加合适？请说明理由.
解 (1)x甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
x乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－
85)2＋(84－85)2]＝35.5，
s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－
85)2＋(85－85)2]＝41.
(2)由(1)知x甲＝x乙，s<s，
甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适.
【A 级 基础巩固】
1.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度
的是( )
A.样本x1，x2，…，xn的标准差
B.样本x1，x2，…，xn的中位数
C.样本x1，x2，…，xn的极差
D.样本x1，x2，…，xn的平均数
答案 AC
解析 由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC.
2.从某中学抽取10 名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，
92，96，96，98(单位：分)，则这10 名同学数学成绩的众数、第25 百分位数分
别为( )
A.92，85
B.92，88
C.95，88
D.96，85
答案 B
解析 数据92 出现了3 次，出现的次数最多，
所以众数是92；
这组数据已经按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，所
以第25 百分位数是88.
3.演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分
与9 个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A.中位数
B.平均数
C.方差
D.极差
答案 A
解析 中位数是将9 个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，
因而去掉1 个最高分和1 个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受
影响.
4.(2024·武汉调研)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为，则另
一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2 的平均数、方差分别为( )
A.2，
B.2，1
C.4，
D.4，
答案 D
解析 因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为，
所以另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2 的平均数为3×2－2＝
4，方差为32×＝.
5.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样
本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c 为非零常数，则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
答案 CD
解析 设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x，
m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极
差分别为x＋c，m＋c，σ，t，
因为c≠0，所以A，B 不正确，C，D 正确.
6.(多选)(2024·江苏四市调研)某校1 000 名学生在高三一模测试中数学成绩的频
率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，分数不低
于X 即为优秀，已知优秀学生有80 人，则( )
A.a＝0.008
B.X＝120
C.70 分以下的人数约为6 人
D.本次考试的平均分约为93.6
答案 AD
解析 对于A，由题图可知20×(0.002＋0.014＋a＋0.004＋0.020＋0.002)＝1，
解得a＝0.008，故A 正确；
对于B，由题图可知成绩在[110，130)分的学生人数为1 000×0.008×20＝160，
成绩在[130，150]分的学生人数为1 000×0.002×20＝40，
∵优秀学生有80 人，
∴＝，解得X＝125，故B 错误；
对于C，70 分以下的人数为1 000×20×(0.002＋0.004)＝120，故C 错误；
对于D，平均分为(0.002×40＋0.004×60＋0.014×80＋0.020×100＋0.008×120
＋0.002×140)×20＝93.6，故D 正确.
7.(2024·T8 联考)某同学掷骰子5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5 次的
统计结果，可以判断一定没有出现点数6 的是( )
A.中位数是3，众数是2
B.平均数是3，中位数是2
C.方差是2.4，平均数是2
D.平均数是3，众数是2
答案 C
解析 对于A，当掷骰子出现的结果为2，2，3，5，6 时，满足中位数为3，众
数为2，可以出现点数6，故选项A 不正确；
对于B，当掷骰子出现结果为1，1，2，5，6 时，满足平均数为3，中位数为
2，可以出现点数6，故选项B 不正确；
对于C，若平均数为2，且出现点数6，
则方差s2>(6－2)2＝3.2>2.4，
所以当平均数为2，方差为2.4 时，一定不会出现点数6，故选项C 正确；
对于D，当掷骰子出现结果为2，2，2，3，6 时，满足平均数为3，众数为2，
可以出现点数6，故选项D 不正确.故选C.
8.已知30 个数据的60%分位数是8.2，这30 个数据从小到大排列后第18 个数据
是7.8，则第19 个数据是________.
答案 8.6
解析 由30×60%＝18，设第19 个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19 个
数据是8.6.
9.2024 年高考某题的第(1)问的得分情况如下：
得分(分)
0
1
2
3
4
百分率(%)
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
其中得分的众数是________.
答案 0
解析 根据众数的定义知，百分率最高的是0.
10.某年级120 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与18 秒之间.将测
试结果分成5 组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如
图所示的频率分布直方图. 如果从左到右的5 个小矩形的面积之比为
1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为______秒.
答案 16.5
解析 设成绩的70%分位数为x，
因为＝0.55，
＝0.85，所以x∈[16，17)，
所以0.55＋(x－16)×＝0.70，
解得x＝16.5(秒).
11.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，
进行10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其
中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，
甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，
试验结果如下：
试验序
号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.
(1)求z，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率
是否有显著提高(如果z≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺
处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).
解 (1)由题意，求出zi的值如表所示，
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zi
9
6
8
－8
15
11
19
18
20
12
则z＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－
11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)因为2＝2＝，
z＝11＝＞，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩
率有显著提高.
12.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120 天苹
果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图所示.
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；
(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长
希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求(在10 天中，大约有9 天
可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？
解 (1)由题图可知，区间[80，90)的频率最大，
所以众数为85.
设中位数为x，则0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.
平均数为x ＝(65×0.002 5 ＋75×0.01 ＋85×0.04 ＋95×0.035 ＋105×0.01 ＋
115×0.002 5)×10＝89.75.
(2)日销售量在区间[60，100)的频率为0.875＜0.9，
日销售量在区间[60，110)的频率为0.975＞0.9，
故所求的量位于区间[100，110)内.
由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，
得100＋＝102.5(千克)，
故每天应该进102.5 千克苹果.
【B 级 能力提升】
13.(多选)(2023·海南模拟)环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的
AQI(空气质量指数)，数据按照(0，50]，(50，100]，…，(200，250]进行分组得
到下面的频率分布直方图，已知0＜AQI≤50 时空气质量等级为优，则( )
A.甲、乙两城市AQI 的中位数的估计值相等
B.甲、乙两城市AQI 的平均数的估计值相等
C.甲城市AQI 的方差比乙城市AQI 的方差小
D.甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多
答案 ABD
解析 A 中，根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的AQI 的中
位数均为125，A 正确；
B 中，设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，
则a×50×2＋b×50＋c×50×2＝1，
即50(2a＋b＋2c)＝1，
同理，50(2x＋z＋2y)＝1，
甲城市的AQI 的平均数为50c×25.5＋50a×75.5＋50b×125.5＋50a×175.5＋
50c×225.5＝50(250c＋250a＋125.5b)＝50×125.5×(2c＋2a＋b)＝125.5，
乙城市的AQI 的平均数为50x×25.5＋50y×75.5＋50z×125.5＋50y×175.5＋
50x×225.5＝50(250x＋250y＋125.5z)＝50×125.5×(2x＋2y＋z)＝125.5.
所以甲、乙两城市AQI 的平均数的估计值相等，B 正确；
C 中，由图可知，乙城市AQI 的数据更集中，即方差更小，C 错误；
D 中，由图可知甲城市AQI 在(0，50]的频率大于乙城市AQI 在(0，50]的频率，
甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多，故D 正确.
14.甲、乙两人在相同条件下各射击10 次，每次中靶环数情况如图所示.
(1)请填写下表(写出计算过程)：
平均数
方差
命中9 环及9 环以上的次数
甲
乙
(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和命中9 环及9 环以上的次数相结合看(分析谁的成绩更好些)；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
解 由题图知，甲射击10 次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.
乙射击10 次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.
将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.
(1)x甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)
＝7(环)，
x乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，
s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝×(4＋2＋0＋2＋4)
＝1.2，
s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]
＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.
填表如下：
平均数
方差
命中9 环及9 环以上的次数
甲
7
1.2
1
乙
7
5.4
3
(2)①∵平均数相同，s<s，
∴甲的成绩比乙稳定.
②∵平均数相同，甲命中9 环及9 环以上的次数比乙少，
∴乙的成绩比甲好些.
③∵甲的成绩在平均数附近上下波动，而乙的成绩处于上升趋势，且从第四次射
击开始就没有比甲成绩低的情况发生，
∴乙更有潜力.
