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专题12 磁偏转模型中的关键几何条件
目录
一．磁偏转的基本规律.................................................................................................................................................1
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形................................................................................1
类型(一) 直线边界的磁场..................................................................................................................................1
类型(二) 平行直线边界的磁场..........................................................................................................................2
类型(三) 三角形边界的磁场..............................................................................................................................2
类型(四) 矩形边界的磁场..................................................................................................................................2
类型(五) 圆形边界的磁场..................................................................................................................................3
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景..............................................................................................3
一．磁偏转的基本规律
1．带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力：
(1)向心力公式：qvB＝。
(2)半径公式：r＝。
(3)周期公式：T＝。
2．对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒：
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v 等的改变，往往造成轨道半径和运动
周期的改变。
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形
类型(一) 直线边界的磁场
1．粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性：
(1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆
弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
类型(二) 平行直线边界的磁场
1．粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d 所示。
3．各图中粒子在磁场中的运动时间：
(1)图a 中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝。
(2)图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝。
(3)图c 中粒子在磁场中运动的时间
。
(4)图d 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。
类型(三) 三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC 区域内有匀强磁场，
某正粒子垂直于AB 方向从D 点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：
(1)粒子能从AB 边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC 边射出的临界轨迹如图乙所示。
类型(四) 矩形边界的磁场
带电粒子在矩形边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。
类型(五) 圆形边界的磁场
带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点：
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出
磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心)，如图甲所示。
(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径
夹角一定也为θ，如图乙所示。
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景
1 带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度
下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v 垂
直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
2 磁场方向不确定形成多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不
确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为
a；若B 垂直纸面向外，其轨迹为b。
3 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也
可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
4 运动的周期性形成多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【典例1】如图所示，在0≤x≤7d 的区域内存在垂直xOy 平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一带
电粒子从坐标原点O 与x 轴正方向成θ= 53°垂直磁场射入，从磁场右边界上点P（7d，d）离开。已知粒子
的质量为m，带电量为q，重力不计，取sin53°= 0.8，cos53°=0.6.下列说法正确的是（ ）
A．该带电粒子带正电
B．粒子的发射速度大小为
C．粒子从P 点射出时的速度方向与x 轴正方向的夹角为37°
D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为
【典例2】如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直
纸面向里。一个质量为m、电荷量为q 的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界
QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为
l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线
以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v 满足
＜v＜
【典例4】如图所示，相距为
、足够长的直线边界
、
之间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大
小为
。磁场左边界上
点处有一个粒子源，
直线垂直于边界。某一时刻粒子源向磁场内沿纸面发射
出大量质量为
、电荷量为
的粒子（此后不再发射粒子），所有粒子的速率相同，方向与左边界的夹
角分布在
范围内。已知沿
方向发射的粒子甲刚好从磁场边界上
点离开磁场。不计粒子的重力，
到
的距离为
。求：
（1）匀强磁场的方向及粒子在磁场中做圆周运动的半径
；
（2）粒子甲出磁场时还在磁场中的粒子到
点的最近和最远距离（可用根式表示）
（3）从粒子甲出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间。
一、单选题
1．矩形
区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，
长l，
长
。质量为m、电荷量为q 的带电粒
子，从A 点以速度
沿
方向射入磁场，最终从
边离开磁场。不计粒子重力，则匀强磁场的磁感应
强度大小范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示，虚线ON 上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的带电粒子a、b 在纸面内以不同的
速率从O 点沿垂直于ON 的方向射入磁场，最后分别从M 点、N 点离开磁场。已知M 点为ON 的中点，不
计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．两粒子均带正电
B．洛伦兹力对b 粒子做的功多
C．b 粒子的速率是a 粒子的两倍
D．b 粒子在磁场中运动的时间是a 粒子的两倍
3．如图所示，这是一个半径为R 的圆柱形绝缘容器的截面，容器内部存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小为B，截面的A 处开有一个可容纳微小带电粒子进入的小孔，一个不计重力的带电粒子平行
截面从A 孔以正对圆心的速度进入容器，粒子质量为m，电荷量为q，粒子与容器壁的碰撞视作弹性碰撞，
以下v 的取值不能使粒子从A 孔再次出来的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，
真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和4a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其
横截面如图所示。一速率为v 的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为m，电荷量为e，忽略重
力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点。一个带正电的
粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射
出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒
子重力不计。下列说法中正确的是（ ）
A．若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t0
B．若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为t0
C．若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为
D．若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为
6．如图所示，O 点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON 为
圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A 点沿AO 方向和从B 点
沿BO 方向射入磁场，并均从N 点射出磁场，若a 粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知
，下
列说法正确的是（ ）
A．a 粒子做圆周运动的半径为R
B．b 粒子的速率为
C．粒子的比荷为
D．a、b 两粒子在磁场中的运动时间之比为1 2∶
7．（多选）如图所示，xoy 平面中x 轴上方存在着上边界为
的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁
感应强度大小为
。O 点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为，质量为
、电荷量为
的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度
应满足
C．若磁感应强度大小为
，所有粒子运动的区域面积为
D．若磁感应强度大小为
，粒子能从上边界射出的宽度为
8．（多选）如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度
和
射入匀强磁场，两粒子的入射方向
与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A 点出发，同时到达B 点，则（ ）
A．a 粒子带正电，b 粒子带负电
B．两粒子的轨道半径之比
C．两粒子的速度大小之比
D．两粒子的质量之比
9．如图所示，半径为R 的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷
为
的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A 点以
的速度垂直直径MN 射入磁场，恰好从N 点射出，
且
，下列选项正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N 点射出方向与竖直方向呈
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，一定从N 点射出
D．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
10．（多选）如图所示为半径为
的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为
，方向垂直于
纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小在一定范围内的同种带电粒子。带电粒子质量为
，电荷量为
（
）。现粒子沿正对
中点且垂直于
方向射入磁场区域，发现带电粒子仅能从
之间的
圆弧飞出磁场（
），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，已知
，则
（ ）
A．从
点飞出的粒子，其轨迹半径为
B．从
点飞出的粒子，其轨迹半径为
C．粒子源发射粒子的最大速度为
D．在磁场中运动时间为
的粒子，其速度为
11．（多选）如图所示，由两个线段和一个半圆组成的边界CDEFG，E 为圆弧边界最低点，其余四个点与
圆心在同一直线上，边界及边界上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。C 处有一个
粒子源，能在纸面内发射速度方向与边界CD 成60°角的各种速率的带负电粒子，圆弧半径及CD 距离均为
R，粒子比荷为k。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速度越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．粒子若从E 点飞出磁场，则粒子在磁场中运动的时间最长
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子能从圆弧边界射出的最大速率为
12．如图，在光滑绝缘水平桌面上建立平面直角坐标系
，其第一象限存在匀强磁场
，方向垂直桌面
向下。从
点垂直
轴滚入一个带电金属小球甲，随后沿着轨迹
离开磁场。现在轨迹
上的
点静止放
置另一金属小球乙，再次从
点垂直
轴以相同速度滚入带电金属小球甲。小球甲、乙均可视为质点，
二者发生碰撞并结合在一起后，若结合体（ ）
A．沿着轨迹
离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷
B．继续沿着轨迹
离开磁场，则小球乙不带电
C．继续沿着轨迹
离开磁场，则小球甲、乙带异种电荷
D．沿着轨迹离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷
13．如图所示，在
平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
的匀强磁场。一带
电粒子从
轴上的
点射入磁场，速度方向与
轴正方向的夹角
。粒子经过磁场偏转后在
点
（图中未画出）垂直穿过
轴。已知
，粒子电荷量为
，质量为
，重力不计。则（ ）
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．
与
点相距
14．如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O 为圆心，A、B、C 为圆形区域边界
上的三点，BC 为直径，
，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A 点沿AO 方向以
相同大小的速度垂直磁场射入，一个从B 点离开磁场，另一个从C 点离开磁场。粒子的重力及相互作用力
均不计，则下列说法正确的是（ ）
A．从B 点离开磁场的粒子带正电
B．正、负粒子的电荷量大小之比为
C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为
D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
15．如图所示，在无限长的竖直边界
和
间，上、下部分分别充满方向垂直于平面
向外和向
里的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B，下部分区域的磁感应强度大小为2B。KL 为上、下磁
场的水平分界线，质量为m、带电荷量为
的粒子从NS 边界上与K 点相距为a 的P 点垂直于NS 边界射
入上方磁场区域，经KL 上的Q 点第一次进入下方磁场区域，Q 与K 点的距离为3a，不考虑粒子重力，
，
。
(1)求粒子射入时的速度大小
；
(2)粒子从P 点到Q 点的运动时间t；
(3)若粒子第二次穿过KL 时从L 点飞出磁场，求KL 的间距d。
16．一个重力不计的带电粒子以大小为的速度从坐标为（0，L）的
点，平行于
轴射入磁感应强度大
小为
、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从
轴上的
点射出磁场，射出磁场时的速度方向与
轴正方向的夹角为
，如图所示。
(1)判断粒子的电性并用尺规作图法画出粒子的运动轨迹；
(2)求粒子的比荷
；
(3)求粒子从
点运动到
点的时间。
17．如图甲所示平面直角坐标系xOy，射线OP 与
轴正方向的夹角为
。从
时开始，有与平面垂直，
大小恒为
，但方向周期性变化的磁场。
时，磁场方向垂直于xOy 平面向里，如图乙所示。
时，
一个重力不计，质量为
、电荷量为
的粒子从
点以速度
沿
轴正方向运动。已知粒子每次
运动到射线OP 上时，磁场恰好反向，不考虑磁场变化对粒子速度的影响。求：
(1)
时间内，粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)图乙中
的值。
18．如图甲所示，平面内一有界（虚线）匀强磁场区域，磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里。
一比荷为
的带正电粒子（不计重力）从磁场区域边界上的
点以大小为
的速
度垂直边界进入磁场（取
）。
(1)求带电粒子在磁场中的运动时间
及离开磁场的位置到
点的距离；
(2)将磁场分成若干宽度均为
部分，相邻两磁场区域为真空，间距为
，如图乙所示，其余
条件不变。求带电粒子从原位置进入磁场后在磁场中的运动时间
及离开磁场的位置到
的距离
。
19．如图所示，一个质量为
、电荷量为
的带电粒子从
轴正方向上的
点以速度沿与
轴成
角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直
轴射出第一象限。已知
，匀强磁场方向
垂直第一象限，不计带电粒子的重力。求：
(1)匀强磁场的方向，并画出粒子的轨迹；
(2)匀强磁场的磁感应强度
的大小；
(3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。
20．如图所示，半径为R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒
子从图中P 点以速度v 沿直径方向射入磁场，经磁场偏转
后从Q 点射出磁场。忽略粒子的重力，已
知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
(1)粒子的比荷；
(2)粒子在磁场中运动时间；
(3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P 点射入，仍从Q 点射出，则圆形磁场的最小面积
为？
21．如图所示，真空室内，边界
下方区域存在磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场（
上方无磁场），
是荧光屏（上下两面有粒子到达时均能发出荧光），
。在
处有一粒
子发射管（不计长度），能从两端分别沿管方向发射不同速率的粒子，一端发射正粒子，另一端发射负粒
子。发射的粒子经一段时间后打在荧光屏上。已知粒子的比荷绝对值均为
，不计
粒子重力，不计粒子间的相互作用。求：
(1)若垂直于
向上发射的正粒子在
处被吸收，求粒子速度大小；
(2)若垂直于
向上发射的正粒子最远到达
处，求
的长度；
(3)若将发射管在纸面内逆时针转过角（不确定，且
，其两端先后发射速率为
的正负各一个粒子，这两个粒子同时到达荧光屏上
处（图中未标出），求发射两个粒
子的最大时间间隔
。
22．如图，
平面内有两个匀强磁场，y 轴左侧的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小为
，y 轴右侧
的磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为
，
和
大小未知。质量为m、电荷量为
的粒子，从x 轴上A 点
以速度
沿y 轴正方向射入磁场，恰好能垂直y 轴击中其上D 点
，若该粒子从O 点以速度
沿与x 轴正方向成
角射出，
，经过磁场偏转后能击中D 点，
不计粒子重力。
(1)求k 值大小；
(2)求粒子由O 运动到D 的时间可能值；
(3)若从x 正半轴上M 点以
沿某方向发射该粒子，也恰好垂直y 轴击中D 点，求M 距O 点的距离。
