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微专题3 动态圆和磁聚焦与磁发散问题
题型1 三类“动态圆”问题
1．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态
圆思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时
由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
2．粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
3．常用的动态圆
示意图
适用条件
应用方法
放
缩
圆
(轨迹圆的圆心在P1P2直线上)
粒子的入射点位
置相同，速度方
向一定，速度大
小不同
以入射点P 为定点，
将半径放缩作轨迹
圆，从而探索出临界
条件
旋
转
圆
(轨迹圆的圆心在以入射点P
为圆心、半径R＝的圆上)
粒子的入射点位
置相同，速度大
小一定，速度方
向不同
将一半径为R＝的圆
以入射点为圆心进行
旋转，从而探索出临
界条件
平
移
圆
(轨迹圆的所有圆心在一条直
线上)
粒子的入射点位
置不同，速度大
小、方向均一定
将半径为R＝的圆进
行平移
1.(2025·湖南长沙模拟)如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸
面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc 段是半径为R 的四分之一圆弧，ab、
cd 的延长线通过圆弧的圆心，Ob 长为R。一束质量为m、电荷量为q 的粒子，
在纸面内以不同的速率从O 点垂直ab 射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射
出，其中M、N 是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列
分析中正确的是( )
A．粒子带负电
B．从M 点射出的粒子速率一定大于从N 点射出的粒子速率
C．从M 点射出的粒子在磁场中的运动时间一定小于从N 点射出的粒子在磁场
中的运动时间
D．所有粒子所用最短时间为
2.(2025·安徽马鞍山期末)如图，空间存在垂直于纸面向外、磁感应强度大
小为B 的匀强磁场(未画出)，线状粒子源OM 与屏ON 垂直，ON＝2OM＝2L，
粒子源能发射质量为m、电荷量为＋q、速度大小为v，方向与磁场垂直且与
OM 夹角θ＝45°的粒子，已知v＝，不计粒子重力，则屏ON 上有粒子打到的区
域长度为( )
A．L
B．(－1)L
C．L
D．L
3.(多选)(2025·河北邯郸三模) 如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度大小
为B、方向垂直于平面向里的匀强磁场。x 轴上放置一无限长挡板，挡板上M、
N 两点的坐标分别为和，坐标为的P 点存在一粒子源，可以在xOy 平面内向各
个方向均匀发射速率为v，比荷为的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作
用，下列说法正确的是( )
A．带电粒子在磁场中顺时针运动
B．若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的
C．若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为
D．若v＝，将挡板撤去，则MN 之间各处均有粒子通过
题型2 磁聚焦与磁发散
磁聚焦与
磁发散
轨迹圆半
径等于区
域圆半径
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁
场，则粒子从磁场边界上同一点射
出，该点切线与入射方向平行——
磁聚焦，从边缘某点以不同方向入
射时平行射出——磁发散
4.(多选)(2025·福建泉州模拟)我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已
经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚
焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面
的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O
点。一束宽度为2r 的带电粒子流沿x 轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已
知粒子的质量均为m、电荷量均为＋q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子
的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是( )
A．B1的大小为
B．从O 点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相等
C．若B2＝2B1，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在四分之一圆周上
D．若B2＝0.5B1，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
【基础必刷题】
1．(2025·福建莆田二模)带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。
磁聚焦原理如图，真空中一半径为r 的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，
一束宽度为2r、沿x 轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点
O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电
粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为( )
A.
B．
C.
D．
2．(多选)(2025·安徽蚌埠模拟)如图，半径为R 的圆形区域内有一垂直于纸面向
里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场边界上的P 点有一同种粒子源，粒
子的比荷为k，粒子以相等速率沿不同方向进入磁场，其中沿直径方向飞入的
粒子在有界磁场中偏转90°射出，粒子的重力以及粒子之间的相互作用力均可忽
略，由此可以判断( )
A．所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行
B．粒子从P 点进入磁场时的速率为kBR
C．粒子从P 点进入磁场时的速率为
D．若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，一定会从P 点射出
3.(2025·山东临沂模拟)如图所示，直角三角形的AB 边长为L，∠C＝30°，三角
形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子从D 点沿着垂直BC 边的方向以速度v 射入磁
场，CD 间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．v＝时，带电粒子垂直于AC 边射出磁场
C．若粒子从BC 边射出磁场，则v<
D．若粒子从AC 边射出磁场，则v>
4．(多选)(2025·广东中山模拟)如图所示，边长为L 的等边三角形A′B′C′区
域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。若将质量为m、电荷
量为q 的带正电粒子从顶点A′沿角平分线方向以不同的速率射入磁场区域
内，不计粒子重力，则( )
A．粒子可能从B′点射出
B．粒子入射速率为时，从C′点射出
C．粒子入射时的速率越大，在磁场中的运动时间一定越短
D．从A′C′边射出的粒子，出磁场时的速度方向都相同
5．(多选)(2025·湖南郴州模拟)如图所示，匀强磁场中位于P 处的粒子源可以沿
垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q，速率为v 的带正电
粒子，P 到荧光屏MN 的距离为d，设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的
相互作用。下列判断正确的是( )
A．若磁感应强度B＝，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为
B．若磁感应强度B＝，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为
C．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋)d
D．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋2)d
【巩固必刷题】
6．(多选)(2025·陕西榆林一模)磁聚焦的原理图如图。通电线圈产生沿其轴线
AA′方向的匀强磁场。从A 点发出的带电粒子束初速度v0大小相等，方向与
AA′的夹角都比较小。把初速度v0 沿AA′方向和垂直于AA′方向分解，沿
AA′方向的分速度v1＝v0cos θ≈v0(θ 很小时)，这表明所有粒子在沿AA′方向
的分速度都相同。在垂直AA′方向，所有粒子均做圆周运动，只要粒子的比荷
相等，周期就相等，因此，所有从A 点发出的带电粒子束就能在A′点汇聚，
这就是磁聚焦原理。设由电性相反、比荷均为k 的两种粒子组成的粒子束从A
点射入该通电线圈，初速度v0大小相等，方向与AA′的夹角相等且都很小，这
些粒子在A′点汇聚在了一起。已知该通电线圈在线圈内产生的匀强磁场的磁
感应强度大小为B，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用，则A、A′之间的距
离可能是( )
A.
B．
C.
D．
7．(2025·湖南娄底模拟)磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的
磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞
留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设
备中有广泛的应用，如图所示，以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直
纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁
感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷电荷量为q 的带电粒子从P
点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P 点，不计
粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R
B．粒子从P 点射入磁场的速度大小为
C．粒子从P 点射出到第一次回到P 点所需的时间为
D．如果圆形区域外的磁场在一个以O 为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少
为(6＋4)πR2
8.(2025·陕西西安模拟)如图所示，在xOy 坐标系中，垂直于x 轴的虚线与y 轴之
间存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场(含边界)，磁场方向与xOy 平面垂直。
一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度
方向都与x 轴正方向成α＝53°角向下。PQ 是与x 轴平行的荧光屏(质子打到荧
光屏上不再反弹)，P、Q 两点的坐标分别为P(0,0.4l)，Q(l,0.4l)。已知质子比荷
＝k，sin 53°＝0.8。求：(结果均可用分数表示)
(1)质子在磁场中运动的最长时间是多少；
(2)如果让荧光屏PQ 发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速
度大小的取值范围是多少。
9．(2025·天津模拟)在以坐标原点O 为中心、边长为l 的正方形EFGH 区域内，
存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，如图所示。在A 处有
一个粒子源，可以连续不断地沿＋x 方向射入速度不同的带电粒子，且都能从
磁场的上边界射出。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力，不考虑粒
子间的相互作用。求：
(1)粒子所带的电性；
(2)从E 点射出的粒子的速度大小v；
(3)若粒子以速度v′＝射入磁场，粒子在磁场中运动的时间t。
10．(2025·山东临沂模拟)如图所示，在xOy 平面内的第一象限内存在一有界匀
强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy 平面向外。一束质量为
m、电荷量为＋q 的粒子以不同的速率从O 点沿xOy 平面内的OP 方向发射，沿
直线飞行到P 点时进入有界匀强磁场区域，O、P 两点间的距离为L，OP 连线
与x 轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x 轴上垂直x
轴射出，若速度最大的粒子A 从x 轴上的Q 点以速度vm(未知)射出，且射出之
前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求：
(1)vm的大小；
(2)粒子A 在匀强磁场中运动的时间；
(3)有界匀强磁场区域的最小面积。
