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2025 年高考押题预测卷
高三数学（天津卷）·参考答案
第一部分（选择题 共45 分）
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
D
B
A
C
D
B
D
D
第二部分（非选择题 共105 分）
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．
11．
12．2
13．
14．
15．
三、解答题：本题共5 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14 分）
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
、
，则
，所以，
，
则有
，故
.（6 分）
（2）因为
为锐角三角形，则
，所以，
，
所以，
，则
，（9 分）
由正弦定理可得
，
所以，
，（13 分）
即
的取值范围是
.（14 分）
17．（15 分）
【解析】（1）因为
且
，所以四边形
为平行四边形，
又
，所以四边形
为菱形，所以
.
因为
平面
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
.（4 分）
（2）因为
平面
平面
，所以
，
又
，
以
为原点，分别以
的方向为
轴，
轴，.
.轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则
，
所以
，（6 分）
由（1）知平面CDE 的法向量为
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，得
，所以
.（8 分）
故c
，
平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值为
；（10 分）
（3）假设线段
上存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，
设
，
则
,（12 分）
解得
或
.（13 分）
所以线段
上存在点
，当
或
时，
使得直线
与平面
所成角的正弦值为
.（15 分）
18．（15 分）
【解析】（1）由题意知
；解得
，
所以
的方程为
.（4 分）
（2）设
，如下图所示：
联立
得
，
则
.（6 分）
①所以
又点
到直线
的距离
，
所以
的面积
，
解得
或
，即直线的方程为
或
.（9 分）
②所以
的中垂线方程为：
，即
同理可得
的中垂线方程为：
由
两式可得
.
所以
外接圆圆心
的横坐标
，（11 分）
其中
，
，
所以
（12 分）
又
的中垂线方程为
，即
，
所以圆心
的纵坐标为
，
所以
，（13 分）
即圆心
在双曲线
上，
易知双曲线两焦点为
，
由双曲线定义可知存在定点
或
满足题意；
所以存在定点
或
，使得
.（15 分）
19．（15 分）
【解析】（1）数列
中，
，当
时，
，
两式相减，得
，而
，则
，
由
，得
，因此数列
都是公差为4，首项分别为1，3 的等差数列，
，即当
为奇数时，
；
，即当
为偶数时，
，
所以
的通项公式是
.（5 分）
（2）由（1）知
，
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
所以
.（10 分）
（3）依题意，
，而
，
因此
，解得
，（12 分）
当
时，
，
满足上式，则
，
当
时，
，
当
时，
，而
，
所以
.（15 分）
20．（16 分）
【解析】（1）当
时，
，
，由已知
，所以
，
即
，因为
，
所以，当
时，
，当
时，
，
因此，
的单调递增区间为
，函数
的单调递减区间为
.
当
时，函数
取得极大值
，无极小值.（6 分）
（2）证明：由（1）可得当
时，
，即
令
，可得
，所以
，
所以，
，原式得证.（9 分）
（3）已知
，则
，不等式为
，
即
桓成立，
（i）当
时，任意
，因此
满足条件.（11 分）
（ii）当
时，
，不等式两侧同时取对数，
有
，等价于
①，
构建新函数，令
，①式等价于
恒成立，
而
，函数
在其定义域上单调递增，因此对任意
，有
成立，即任意
，有
，（14 分）
等价于
②，设
，
当
时，
，当
时，
，
所以，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调逆减，
所以
，因此由（2）式可得
.
综上，正实数
的取值范围为
.（16 分）
