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§9.3 成对数据的统计分析
分值：90 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.下列两个变量中，成正相关的两个变量是( )
A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B.正方形的面积与边长
C.花费在体育活动上的时间与期末考试数学成绩
D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
2.为了研究性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2 列联表进行独立性检验，经
计算χ2=8.01，则“性别与喜欢乡村音乐有关系”这个推断犯错误的概率不超过(参考数据：x0.005=7.879，
x0.001=10.828)( )
A.0.1%
B.0.5%
C.99.5%
D.99.9%
3.(2024·滁州模拟)下表为2018 年—2023 年的中国数字经济规模(单位：万亿元)：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码x
1
2
3
4
5
6
中国数字经济规模y
31.3
35.8
39.2
45.5
50.2
53.9
则下列所给函数模型中比较适合这一组数据关系的是( )
A.y=2x+30
B.y=30+log2(x+1)
C.y=28×(
9
8)
x
D.y=2x+30
4.学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中随机选取了
男、女生各n 人进行调查，并绘制了如图所示的等高堆积条形图.则( )
参考公式及数据：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)，
其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多
B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多
C.若n=50，依据α=0.01 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
D.若n=100，依据α=0.01 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
5.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5 组样本数据(见下表)：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
若已求得经验回归方程为y
^ =a
^x+0.34，则下列选项中正确的是( )
附：样本相关系数r＝
n
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
∑
i=1
( xi- x)
2
√
n
∑
i=1
( yi- y)
2
.
A.a
^=0.21
B.当x=8 时，y 的预测值为2.2
C.样本数据y 的第40 百分位数为1
D.去掉样本点(3，1)后，x 与y 的样本相关系数r 不会改变
6.某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间x(分钟)与
温度y(摄氏度)的关系用模型y=c1e
c2 x(其中e 为自然对数的底数)拟合.设z=ln y，变换后得到一组数据：
x
2
2.5
3
3.5
4
z
4.04
4.01
3.98
3.96
3.91
由上表可得经验回归方程z
^=-0.062x+a
^，则c1等于( )
A.-4
B.e-4
C.4.166
D.e4.166
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·长春模拟)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并
随机抽取了180 人的调查问卷，其中男生比女生少20 人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.在被调
查者中，下列说法正确的是( )
参考公式及数据：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8 人
C.经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2 倍
D.根据小概率值α=0.01 的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
8.(2024·武汉模拟)某科技公司统计了一款APP 最近5 个月的下载量，如表所示，若y 与x 线性相关，且经
验回归方程为y
^ =-0.6x+a
^，则( )
月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y(万次)
5
4.5
4
3.5
2.5
A.y 与x 负相关
B.a
^=5.6
C.预测第6 个月的下载量约为2.1 万次
D.残差绝对值的最大值为0.2
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·汉中模拟)奶茶店老板对本店在12 月份出售热饮的杯数y 与当天的平均气温x(℃)进行线性回归分析，
随机收集了该月某4 天的相关数据(如表)，并由最小二乘法求得经验回归方程为y
^ =45-2x.表中有一个数据看
不清楚，请你推断出该数据的值为 .
气温x(℃)
10
6
2
-2
售出热饮的杯数y
24
■
42
48
10.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100 只基因编辑小鼠对
该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2 列联表(部分数据缺失)：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
计算可知，根据小概率值α= 的独立性检验，认为 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该
病毒感染的效果”.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，
其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，
分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(6 分)
(2)依据小概率值α=0.01 的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？(7 分)
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，
n=a+b+c+d.
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
12.(14 分)为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组
做了调查，得到一些数据，如表所示.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x(分钟/天)
30
40
50
60
70
数学成绩y(分)
65
78
85
99
108
(1)求数学成绩y 与学习时间x 的样本相关系数(精确到0.001)；(5 分)
(2)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的经
验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100 分钟时的数学成绩；(5 分)
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220 位学生.按照是
否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2 列联表.依据表中数据及小概率值α=0.001 的
独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.(4 分)
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
参考数据：
5
∑
i=1
xiyi＝22 820，
5
∑
i=1
yi＝435，
5
∑
i=1
yi
2＝38 999，√11 540≈107.4，xi的方差为200.
方差：s2＝1
n
n
∑
i=1
( xi- x)
2，
样本相关系数：r＝
n
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
∑
i=1
( xi- x)
2 n
∑
i=1
( yi- y)
2
.
经验回归方程y
^
＝b
^x＋a
^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b
^
＝
n
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
∑
i=1
( xi- x)
2
，a
^
＝y －b
^
x，
χ2＝
n(ad -bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d ).
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
13 题5 分，14 题6 分，共11 分
13.某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分
类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值，知x0.01=6.635，则下
列判断正确的是( )
A.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
B.每100 个数学成绩优秀的人中就会有1 名是女生
C.数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别无关
14.(多选)某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2 万人，每晚最多能接纳的客流量为10 万人，主办公
司决定通过微信公众号和其他APP 进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜
市街投入的广告费x(单位：万元)与每晚增加的客流量y(单位：千人)存在如下关系：
x/万元
1
2
3
4
5
6
y/千人
5
6
8
9
12
20
现用曲线C：y
^ =c
^
1+c
^
2×2x拟合变量x 与y 的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数c
^
1，c
^
2(精确到
0.01)，以所求经验回归方程C 为预测依据，则( )
参考数据：y＝10，
6
∑
i=1
xiyi＝257，
6
∑
i=1
xi
2＝91，
6
∑
i=1
2i＝126，
6
∑
i=1
(2
i)
2＝5 460，
6
∑
i=1
2iyi＝1 906.
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：b
^
＝
n
∑
i=1
xi yi-n x y
n
∑
i=1
xi
2-n x
2
，a
^
＝y －b
^
x.
A.c
^
1=5.82
B.曲线C 经过点(log221，10)
C.广告费每增加1 万元，每晚客流量平均增加3 000 人
D.若广告费超过9 万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
答案精析
1.A 2.B 3.C
4.D [由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数少，故A
错误；
全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的
女生人数多，故B 错误；
结合等高堆积条形图可得：
性别
游泳
合计
喜欢
不喜欢
男生
0.6n
0.4n
n
女生
0.4n
0.6n
n
合计
n
n
2n
故χ2=2n(0.6n×0.6n-0.4 n×0.4 n)
2
n
4
=0.08n，若n=50，则χ2=0.08n=4<6.635，故依据α=0.01 的独立性检验，
不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C 错误；
若n=100，则χ2=0.08n=8>6.635，依据α=0.01 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D
正确.]
5.D [x=1+2+3+ 4+5
5
=3，y=0.5+0.9+1+1.1+1.5
5
=1，将(3，1)代入y
^ =a
^x+0.34 得3a
^+0.34=1，解得a
^
=0.22，故A 错误；
当x=8 时，y 的预测值为y
^ =0.22×8+0.34=2.1，故B 错误；
5×40%=2，则样本数据y 的第40 百分位数为0.9+1
2
=0.95，故C 错误；
去掉样本点(3，1)后，新样本数据的平均值没有变化，即x=3，y=1 仍然成立，不妨设(3，1)为第5 组数据，
即x5=3，y5=1，则x5-x=0，y5-y=0，其余数据没有变化.则由样本相关系数公式r=
n
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
∑
i=1
( xi- x)
2
√
n
∑
i=1
( yi- y)
2
可知，新样本数据x 与y 的样本相关系数与原数据的样本相关系数相等，即x
与y 的样本相关系数r 不会改变，故D 正确.]
6.D [由表格中数据，得x=2+2.5+3+3.5+ 4
5
=3，
z=4.04+ 4.01+3.98+3.96+3.91
5
=3.98，
则3.98=-0.062×3+a
^
，
解得a
^=4.166，
因此z
^=-0.062x+4.166，
由y=c1e
c2 x两边取对数，
得ln y=c2x+ln c1，
又z=ln y，所以c2=-0.062，
ln c1=4.166，
即c1=e4.166.]
7.BD [设男生人数为x，则女生人数为x+20，
由题意得x+x+20=180，
解得x=80，即在被调查者中，男生、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2 列联表，
性别
锻炼情况
合计
经常锻炼
不经常锻炼
男
48
32
80
女
40
60
100
合计
88
92
180
由表可知，A 显然错误；
男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48-40=8，B 正确；
在经常锻炼者中是男生的频率为48
88≈0.545 5，在不经常锻炼者中是男生的频率为32
92≈0.347 8，0.545 5
0.347 8
≈1.6，C 错误；
零假设H0：是否经常锻炼与性别无关，则χ2=180×(48×60-32×40)
2
80×100×88×92
≈7.115>6.635=x0.01，根据小概率值
α=0.01 的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为假期是否经常锻炼与性别有关，D 正确.]
8.ACD [因为-0.6<0，所以变量y 与x 负相关，故A 正确；
x=1
5×(1+2+3+4+5)=3，y=1
5×(5+4.5+4+3.5+2.5)=3.9，y
^ =-0.6x+a
^
，则-0.6×3+a
^=3.9，解得a
^=5.7，故B
错误；
当x=6 时，y
^ =-0.6×6+5.7=2.1，故可以预测第6 个月的下载量约为2.1 万次，故C 正确；
当x=1 时，y
^
1=-0.6×1+5.7=5.1，
|y1-y
^
1|=0.1；当x=2 时，y
^
2=-0.6×2+5.7=4.5，|y2-y
^
2|=0；当x=3 时，y
^
3=-0.6×3+5.7=3.9，
|y3-y
^
3|=0.1；当x=4 时，y
^
4=-0.6×4+5.7=3.3，|y4-y
^
4|=0.2；当x=5 时，y
^
5=-0.6×5+5.7=2.7，|y5-y
^
5|=0.2，故
残差绝对值的最大值为0.2，故D 正确.]
9.34
解析 设看不清楚的这个数据为m，则x=10+6+2-2
4
=4，y=24+m+ 42+ 48
4
=114+m
4
，由于经验回归直
线必过点(4，114+m
4 )，所以114+m
4
=45-2×4，解得m=34.
10.0.05
解析 完善2×2 列联表如下：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合计
30
70
100
零假设为H0：给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果.
因为χ2=100×(10×30- 40×20)
2
50×50×30×70
≈4.762，
4.762>3.841，
所以根据小概率值α=0.05 的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到
预防该病毒感染的效果”.
11.解 (1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是150
200=0.75，乙机床生产的产品中一级
品的频率是120
200=0.6.
(2)零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，根据题表中的数据可得
χ2=400×(150×80-120×50)
2
200×200×270×130
=400
39 ≈10.256>6.635=x0.01，
所以依据小概率值α=0.01 的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量
有差异.
12.解 (1)x=30+ 40+50+60+70
5
=50，y=435
5 =87，
又xi(i＝1，2，3，…，5)的方差为
1
5
5
∑
i=1
( xi- x)
2＝200，
5
∑
i=1
( yi- y)
2＝(65－87)2＋(78－87)2＋(85－87)2＋(99－87)2＋(108－87)2＝484＋81＋4＋144＋441＝1 154，
r＝
5
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
5
∑
i=1
( xi- x)
2 5
∑
i=1
( yi- y)
2
＝
5
∑
i=1
xi yi-5 x y
√
1 000×
5
∑
i=1
( yi- y)
2
＝22 820-5×50×87
10√11 540
≈1 070
1 074
≈0.996.
(2)由(1)知r≈0.996 接近1，故y 与x 之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合，
b
^
＝
5
∑
i=1
( xi- x)( yi- y)
5
∑
i=1
( xi- x)
2
＝
5
∑
i=1
xi yi-5 x y
5×200
＝22 820-5×50×87
1 000
＝1.07，
a
^
＝y －b
^
x＝87－1.07×50＝33.5，
故y
^ ＝1.07x＋33.5.
当x＝100 时，y
^ ＝140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100 分钟时的数学成绩为140.5 分.
(3)零假设H0：周末在校自主学习与成绩进步无关，
根据数据，计算得到
χ2=220×(35×30-25×130)
2
165×55×60×160
≈12.22，
因为12.22>10.828=x0.001，
所以依据小概率值α=0.001 的独立性检验，推断H0不成立，即可以认为“周末在校自主学习与成绩进步”
有关.
13.C [因为χ2≈6.816>6.635=x0.01，所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，即在
犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C 正确，D 错误；
若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判断他为男生的概率，故A 错误；
每100 个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已知数据不能确定结论，故B 错
误.]
14.BD [由题知，
6
∑
i=1
2iyi＝1 906，y＝10，
1
6
6
∑
i=1
2i＝1
6×126＝21，
6
∑
i=1
(2
i)
2＝5 460，
所以c
^
2=1 906-6×21×10
5 460-6×21
2
= 323
1 407 ≈0.23，
c
^
1≈10-0.23×21=5.17，A 错误；
所以y
^ =5.17+0.23×2x，
令x=log221，求得y
^ =10，B 正确；
由上式可知，x 每增加1 万元，y 不是平均增加的，C 错误；
若x>9，则y
^ >122.93，而每晚最多能接纳的客流量为10 万人，故D 正确.]
