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重难点培优13 导数中的整数解和几类“距离”问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 整数解问题（★★★★★）............................................................................................................2
题型二 距离问题一：一点一曲（直）（★★★★）................................................................................8
题型三 距离问题二：一直一曲（直）（★★★★★）..........................................................................11
题型四 距离问题三：两个曲线（★★★★★）......................................................................................13
题型五 距离问题四：水平点间的距离（★★★）..................................................................................17
题型六 距离问题五：竖直点间的距离（★★★）..................................................................................21
题型七 距离问题六：与反函数有关的距离问题（★★★）..................................................................24
题型八 距离问题七：曼哈顿距离（★★★★）......................................................................................26
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................32
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................32
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................47
1、整数解问题
整数解的个数问题,主要采用分离法(完全分离,不完全分离)或分类讨论解法,结合数形结合分清存在哪个整
数解,再分别是以相邻的哪几个整数为临界判断即可.通常情况下可将问题转化为直线与曲线的位置关系，
而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式（组）求出参数的取值范围．
2、曼哈顿距离
平面内两点的直线距离公式：若
，则这两点之间的直线距离为
，我们也称直线距离为欧几里得距离，或简称欧氏距离。但是，在有些实际
问题中，欧氏距离并不适用，比如在纽约的曼哈顿地区，街道布局横平竖直，如果我们从如图所示的
点出发，沿着街道行至目的点
，则我们走过的路程长度为
，我们称这样的距离为
两点的折线距离，也称为曼哈顿距离（或
距离，
出租车距离等）
结论1：设点
为直线
0 外一定点，
为直线上的动点，则
结论2：设点
为直线
上的动点，点
为直线
上的动点，则
．
题型一 整数解问题
1．已知函数
，若不等式
的整数解有且仅有两个，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意当
等价于
，设函数
，利用导数求出
的最小值，
再结合
的图象可知当
仅有两个整数解，则可求得
，从而可求解.
【详解】由
得：
，令
，则
，
令
，则
在R 上恒成立，
所以
在R 上单调递增，由
，
，
所以
，使得
，
当
时，
，即
，所以
单调递减，
当
时，
，即
，所以
单调递增，
所以
，如图所示，因为不等式
的整数解有且仅有两个，
即
的整数解有且仅有两个，
，
，
，
所以有：
，解得
．故B 正确.
故选：B．
2．（23-24 高三下·河北·月考）已知函数
，关于
的不等式
有且只有三个正整
数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】探讨函数
的性质，再按
分类讨论，结合正整数解的个数建立不等式组求解即得.
【详解】函数
的定义域为R，求导得
，
当
时，
；当
时，
，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
，而
，当
时，
恒成立，
不等式
，
当
时，
或
，由
，得
，原不等式的整数解有无数个，不符合题意，
当
时，
或
，由
，得
，无正整数解，
因此原不等式有且只有3 个正整数解，等价于不等式
有且只有3 个正整数解，
3 个正整数解只能是
，因此
，即
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
3．（24-25 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
，若不等式
的解集中恰有两个
不同的正整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】不等式
可化为
，利用导数分析函数
的单调性，作函数
，
的图象，由条件结合图象列不等式求
的取值范围.
【详解】函数
的定义域为
，
不等式
化为：
．
令
，
，
，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，当
，且
时，
，
画出
及
的大致图象如下，
因为不等式
的解集中恰有两个不同的正整数解，
故正整数解为
．
故
，即
，解得
.
故选：C.
4．（23-24 高三上·福建福州·期末）设函数
，若关于x 的不等式
有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把不等式转化为
，令
，求得
，令
，
在
上单调递增，存在唯一的
使得
，得出函数
的单调性，结合
，
，
，
，
的值和题设条件，得出
，求解即可.
【详解】∵
，等价于
.
令
则
，
令
，
在
上单调递增，
又由
，
，
∴存在唯一的
使得
，
当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增，
又
，
，
，
，
.
所以当
有且仅有三个整数解时，
有
，解得
，
即实数a 的取值范围是
.
故选：B
5．（24-25 高三上·吉林长春·期末）若关于
的不等式
的非空解集中无整数解，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】原不等式转化为函数
的图象一定有部分在直线
的下方，且该部分图象横
坐标中没有整数，根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的斜率，画出函数图象，利用数形结合可得
答案.
【详解】原不等式可化为
，设
，
则直线
过定点
，
因为不等式
的解集非空，所以函数
的图象一定有部分在直线
的下
方，
又因为不等式
的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数，
∵
，∴
．设直线
与曲线
相切于点
，
则有
，消去a 整理得
，解得
或
，
若
，则切点横坐标为1，若不等式
的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题
意，
舍去；
故
，则切线的斜率为
，解得
．
又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当
时，
，
，
当
时，解得
，当直线
绕着点
旋转时，
要使不等式
的解集非空，且解集中无整数解，必有得
，故实数的取值范围是
．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：一是正确理解不等式的解集非空且不包含整数；二是数形
结合思想的应用，将不等式问题转化为图象间的位置关系.
6．（2025·甘肃·模拟预测）若关于
的不等式
有且只有两个整数解，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，利用导数法研究函数
的单调性，再结合特殊点及一次函数的性质画
出函数
的大致图象，根据图象列不等式组求解即可.
【详解】设
，
则不等式
即
有且只有两个整数解.
因为
，且
，
所以当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减.
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
当
无限趋向于负无穷大时，
无限趋向于负无穷大，
当
无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于0.
因为函数
在
上单调递增，
，
，
，
则
，
函数
的大致图象如图
由图可知，要使
有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1，
所以
解得
.又
，所以
.
故选：C.
题型二 距离问题一：一点一曲（直）
1．设点
，P 为曲线
上动点，若点A，P 间距离的最小值为
，则实数t 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，求
，作为
的函数，其最小值是6，利用导数知识求
的最小值．
【详解】设
，则
，记
，
，易知
是增函数，且
的值域是
，
∴
的唯一解
，且
时，
，
时，
，即
，
由题意
，而
，
，
∴
，解得
，
．
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对
和的关系的处理是解题关键．
2．（23-24 高三下·湖北·月考）已知点
，从抛物线
的准线上一点
引抛物线的两条切线
，
，且
，
为切点，则点
到直线
的距离的最大值是（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】设出点
的坐标，利用导数的几何意义求出切线
的方程，进而抽象出直线
的方程，
即可推理作答.
【详解】抛物线
的准线为
，设点
，对函数
求导得
，
于是直线
的方程为
，即
，亦即
，
同理，直线
的方程为
，而点
为直线
、
的公共点，则
，
因此点
，
的坐标都满足方程
，即直线
的方程为
，从而直线
恒过定点
，
所以点
到直线
的距离的最大值
.
故选：A
3．设P 为y
x2
2
﹣图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 .
【答案】2
【分析】设出切点P 坐标，由导数求得C 在点P 处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O 到
l 距离，再由基本不等式求最小值.
【详解】设P（
），
由y
x2
2
﹣，得
，
∴
，
则C 在点P 处的切线方程为：
，
整理得：
.
∴坐标原点O 到l 距离d
.
当且仅当
，即x0＝0 时上式等号成立.
∴坐标原点O 到l 距离的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，训练了利用基
本不等式求最值，是中档题.
4．（23-24 高三上·辽宁锦州·期末）已知曲线
：
，点
是曲线
上的一点，则点
到坐标原点
的距离的最小值是 ．
【答案】3
【分析】设点
，得出
，从而得出点
到坐标原点的距离
，结合导数求
出最小值即可.
【详解】设点
，则有
，
所以
，
点
到坐标原点的距离
，
设
，
，
则
，
在
上，
，在
上，
，
所以
在
时有最小值
，
所以
的最小值为
.
故答案为：3
5．若点
与曲线
上点
距离最小值为
，则实数为 .
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，对函数
求导得
，
由题意可知，直线
与曲线
在点
处的切线垂直，
进而利用两点距离公式即可求出
的最小值
【详解】设点
的坐标为
，对函数
求导得
，
由题意可知，直线
与曲线
在点
处的切线垂直，则
，
得
，
由两点间的距离公式得
，
由于
的最小值为
，即
，
，解得
，
因此，
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据题意，直线
与曲线
在点
处的切线垂直，则
，得到
，进而得到
，即可求出m，进而求出，属于中档题
题型三 距离问题二：一直一曲（直）
1．（24-25 高三上·福建福州·期中）若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
距离最小值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出点
的坐标，利用点到直线的距离公式列式，再构造函数并利用导数求出最小值.
【详解】依题意，设点
，则点
到直线
的距离
，
令函数
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
所以点
到直线
距离最小值为
.
故选：C
2．已知点
在曲线
上，点
在直线
上，则P，Q 两点距离最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可知，当曲线
在
点处的切线与
平行时，两平行直线间的距离为P，Q 两点距离
最小值.
【详解】由题可知，曲线
为
，
则
，设
，
当曲线
在
点处的切线与
平行时，两平行直线间的距离为P，Q 两点距离最小值，
令
，
，即
，
所以曲线
在
点处的切线方程为
，即
，
此时
的距离最小值为直线
与直线
的距离：
.
故选：B.
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点
为曲线
上的动点，则点
到直线
的距离的最
小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．9
【答案】B
【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距
离公式计算最小距离即可.
【详解】设曲线
在点
处的切线与直线
平行，
由
，得
，则
或
，
则动点
到直线
的距离的最小值为
.
所以点
到直线
的距离的最小值为
，
故选：B.
4．（24-25 高三上·江苏南通·月考）设函数
.若函数
在
和
的切线
互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数
的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离.
【详解】函数
，求导得
，
依题意，
，即
，解得
，
则两条切线的斜率为
，对应的两个切点为
，
切线方程为
和
，即
和
，
切线
过定点
，切线
过定点
，
所以两平行线之间距离的最大值为
.
故选：C
5．已知点P 是曲线
上一点，若点P 到直线
的距离最小，则点P 的坐标为
.
【答案】
【分析】求出平行于直线
且与曲线
相切的切点坐标，此时曲线上的点P 到直线
的距离最小.
【详解】解：由题意知，曲线
，
，令
，得
（舍），所以函数在
上单调递减，在
上单调递增，如下图所示，为曲线
与直
线
在坐标系中的位置.
在点P 的切线与直线
平行时，此时曲线上的点P 到直线
的距离最小.设
，则
，则
，解得
（
舍去），所以
.
故答案为：
题型四 距离问题三：两个曲线
1．曲线
上到直线
的距离为
的点的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】设曲线
上的点坐标为
，根据点到直线的距离公式得出关于
的方程式，根据“三个等
价”从函数图象的角度得出交点个数，进而得出结论.
【详解】设曲线
上的点坐标为
，点到直线
的距离为
，
即：
，化简得：
，
令
，求导得：
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
，又
，
，使
；
，使
；
对于函数
，则有：
，
单调递减；
，
单调递增；
，
单调递减；
，
单调递增；
又
，
与直线
有两个交点，
曲线
上到直线
的距离为
的点的个数为
个.
故选：C.
2．（24-25 高三下·河南周口·开学考试）已知函数
，直线
，点P 是
曲线
上任意一点，点Q 是直线l 上任意一点．设点P，Q 间的距离为d，则下列说法正确的是
（ ）．
A．d 的最大值为
B．d 的最大值为
C．d 的最小值为
D．d 的最小值为
【答案】D
【分析】首先判断直线、
的位置关系，再对函数求导，根据题意知与直线平行且与
相切的直
线，其对应切点到直线的距离，即为
的最小值，即可求.
【详解】由直线l 的方程，得
．
令
，
，
则
．
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
的最大值为
，
所以
恒成立，所以曲线
与直线l 无交点，且曲线
在直线l 的下方．
由题设
且
，设直线
与直线平行且与
相切，
则直线
与
的切点到直线的距离，为
的最小值，且
无最大值，
又
，
因为
，
，求导，得
．
解
，得
，
因为
，所以
．
此时，点P 到直线l 的距离为
，
所以d 的最小值为
．
故选：D．
3．已知点
是函数
图像上任意一点，点
是曲线
上一点，则
、
两点
之间距离的最小值是 .
【答案】
【分析】依题意可得曲线
表示圆心为
，半径
的圆，由距离公式表示出
，令
，利用导数说明函数的最小值，即可求出
的最小值，最后由
计算可得.
【详解】曲线
表示圆心为
，半径
的圆，
则
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
单调递增，又
，
所以当
时
，即
，即
在
上单调递减，
当
时
，即
，即
在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值即最小值，即
，
所以
，
所以
.
故答案为：
4．（24-25 高三下·河南周口·开学考试）记曲线
关于直线
的对称曲线为
，
则
上任意一点与
上任意一点之间距离的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】先分析曲线
与直线是否存在交点，若存在交点则距离的最小值为
，若不存在交点，则问题
转化为与直线平行的切线所对应的切点到直线的距离.
【详解】因为
，所以
与没有公共点，
则
上任意一点与
上任意一点之间距离的最小值为
上任意一点与上任意一点之间距离最小值的2 倍．
设
为
上的一点，
因
，则过
点的切线斜率为
，
令
，则
，
故
是递增函数，且当
时，
，
则
存在唯一解
，此时过点
的切线与平行，
所以
上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为点
到直线的距离，
即
，
所以
上任意一点与
上任意一点之间距离的最小值为
．
故答案为：
.
5．已知
是函数
图象上任意一点．若点
的坐标
满足：
，则
的最小
值为 ．
【答案】
【分析】利用切线不等式和不等式性质可得
。结合条件
可推得
，从而可得点
在直线
上运动，设与
平行的直线与
相切于点
，利用求导求得切点
，结合图形计算出点
到直线
的距离即可.
【详解】易证
，
（
）. (后续提供证明)，所以
，
，
由不等式的性质知
，当且仅当
时取等号，
结合已知可得
，此时
，即点
在直线
上运动.
设与
平行的直线与
相切于点
，令
得
，
故切点为
，由图知其到直线
的距离
即为
的最小值．
下证：
，
（
）.
证明：设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
故
，即
得证.
又设
，则
，当
时，
，
当
时，
，故函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
故
，即
得证.
故答案为：
.
题型五 距离问题四：水平点间的距离
1．已知直线
与函数
，
的图像分别交于A，B 两点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将两个函数作差，得到函数
，再求出函数的最小值即可求出结果.
【详解】设
，
则
，
当
时，
，当
，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
所以
的最小值为
，
故选：D.
2．设函数
，
，直线
与
、
的图像分别交于点
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出函
数的最小值.
【详解】解：设
，
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
在
处取得最小值
.
故选：D.
3．已知函数
的图象与函数
的图象关于原点对称，动直线
与函数
的图象分别交于点
，函数
的图象在
处的切线与函数
的图象在
处的切线
相交于点
，
则
面积的最小值是 ．
【答案】2
【分析】先利用两个函数对称求出解析式，再利用导数求函数的切线方程，利用基本不等式可求答案.
【详解】因为函数
的图象与函数
的图象关于原点对称，
所以
，所以
，
，
所以直线：
，即
；
直线
：
即
.
联立
，得
，
所以点
到
的距离为
，
设
的面积为，则
，
令
，则
，
，当且仅当
，即
时，取到等号.
故答案为：2
4．（23-24 高三下·福建泉州·月考）双曲线C：
的左、右顶点分别为A，B，P 为C 上一点，直线
PA，PB 与
分别交于M，N 两点，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】设
，
，
，
，写出直线方程求得
点纵坐标后，求出
，然
后利用导数求得最小值．
【详解】由题意
，
，设
，
，
，
，
直线
方程为
，令
，得
，
直线
方程为
，令
，得
，
，
设
，则
，
得
，
时，
，
时，
，
∴
在
上递减，在
上递增，
时，
，
所以
．
故答案为：
．
5．（2024·贵州·模拟预测）已知双曲线
的左右顶点分别为
､
，直线
与
双曲线
交于不同的两点
，设直线
的斜率分别为
，则当
取
得最小值时，双曲线
的离心率
.
【答案】
【分析】设
，则
，求得
，得到
，令
，得到
，求得
，得出函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】由双曲线
，可得
，
设
，则
，且
，所以
，则
，
令
，则
，则
，
可得
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以当
时，
最小，此时
.
故答案为：
.
【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、
图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值
（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）
导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
题型六 距离问题五：竖直点间的距离
1．若直线
分别与曲线
，
交于
，
两点，则线段
长度的最小值为
．
【答案】
，其中
.
【分析】设
，
，则
，再通过导函数分析其单调性即可求解最小值．
【详解】设
，
，则
，故
，
，
，
.
故
，
设
，
则
在区间上为增函数，且当
时，
，且
，
故在区间
上存在
使得
，即
，故
则当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
故
有最小值
，其中
故答案为：
，其中
.
2．（2024·广西来宾·一模）已知函数
，动直线
与
的图象分别交于A，B 两点，
曲线
在点A 和点B 的两条切线相交于点C，当
为直角三角形时，它的面积为 .
【答案】1
【分析】根据题意，可得
是偶函数，则
关于
轴对称，C 在
轴上，设
，不妨设点
在
轴右侧，利用导数的几何意义求出
，根据直线
与直线
垂直，可求得
，再求出切线
的方程得点
坐标，求出
.
【详解】由
，
，
又
，所以函数
是偶函数.
如图，由对称性可得直线
与
图象的交点
关于
轴对称，曲线
在点A 和点B 的两条
切线的交点C 在
轴上，
设
，不妨设点
在
轴右侧，则
，即
，得
，
又
，所以曲线在点
处切线的斜率为
，由对称性得
，
，解得
，即
.
所以切线
的方程为
，令
，解得
，
，
.
故答案为：1.
【点睛】思路点睛：先证明函数
是偶函数，由对称性可得
关于
轴对称，C 在
轴上，设出
，根据
，求出
，再求出切线
的方程求得点
坐标，进而求出三角形
的面
积.
3．（2025·浙江金华·二模）函数
在点
，
处的切线分别
记为，
，且
，过点
作
轴的平行线与
交于点
，则
.
【答案】
/
【分析】切线平行得到
，再结合切线方程得到
点坐标，进而可求解.
【详解】
，
因为
，
所以
，又
，
所以
，
所以切线方程：
，
切线
方程：
，
将
，代入
，可得：
，
又
，
所以
，
所以
点坐标为
所以
，
又
，
所以
，
故答案为：
4．
，
的图象与直线
，
交于两个不同的点
，
，O 为坐
标原点，当
的面积最大时，
．
【答案】
【分析】表示出
，然后求导判断即可.
【详解】
如图所示，
，
，
如图：
令
， 则
；
令
，则
所以S 在
单调递增，在
单调递减.
当
的面积取最大值时，
，
即
，所以
．
因为
，
．
故答案为：
题型七 距离问题六：与反函数有关的距离问题
1．设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由于曲线
是由
向右平移1 个单位得到的，
是由
现右平移1 个单位
得到的，所以
的最小值可以看成曲线
上的点与
上的点间的最小值，然后利用
与
互为反函数，结合反函数的性质求解即可
【详解】由于曲线
是由
向右平移1 个单位得到的，
是由
现右平移1 个单位
得到的，所以
的最小值可以看成曲线
上的点与
上的点间的最小值，
因为
与
互为反函数，其图象关于直线
对称，
所以所求的最小值为曲线
上的点
到直线
的最小距离的2 倍，
设与直线
平行的直线与曲线
相切于点
，
因为
，由
，得
，
所以切点
，
所以点
到直线
的最小距离为
，
所以
的最小值为
，
故答案为：
2．（2025·河南开封·二模）已知直线
与函数
，
的图象分别交于
，
两点，则
取最小值时，
，最小值为 ．
【答案】
【分析】根据两函数的图象关于直线
对称，且
与
垂直，转化为求曲线上一点到直线距
离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解.
【详解】由
可得，
，即
，
所以函数
，
互为反函数，图象关于直线
对称，
因直线
互相垂直，
所以问题可转化为求
上点
到直线
距离的最小值的2 倍，
因为
，
令
，
则
，当
时，
，
当
时，
，所以函数在
上单调递减，在
上单调递增，
故当
时，
有最小值3，
此时
，
故答案为：
3．（2024·山西·模拟预测）已知点
，
，定义
为
的“镜像距
离”，若点
在曲线
上，则
的“镜像距离”的最小值为 .
【答案】
【分析】根据“镜像距离”的定义将问题转化为求函数
上的点到曲线
上的点的
距离的最小值，再利用对称性求得
与
上的点的最小值，即可得出答案.
【详解】设
，
，
易知函数
的反函数为
，
由点
在曲线
上可知点
在函数
上，
所以
相当于
上的点
到曲线
上点
的距离，
又
与
的图象关于
对称，所以
的“镜像距离”的最小值为点
到
的距离的最小值的2 倍.
由
，得
，令
，解得
，
又点
到直线
的距离
，
所以
的“镜像距离”的最小值为
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“镜像距离”的定义转化为一对反函数上的两点最小距离的问题，
再利用反函数对称性求得与对称轴平行的切线方程，即可得出“镜像距离”的最小值.
4．（23-24 高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，
则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先得到圆心
在
上，半径为
，故
的最小值等于
的最小值减去半径
，由反函数
可知，
的最小值等于
到直线
的距离的最小值的2 倍，求导得到
在点
处的切线与
平行，求出
到
的距离最小值，得到答案.
【详解】由题意得
，即圆心
在
上，半径为
，
故
的最小值等于
的最小值减去半径
，
设
，由于
与
关于
对称，
的最小值等于
到直线
的距离的最小值的2 倍，
由
，可得
，令
，解得
，
故
在点
处的切线与
平行，此时
到
的距离最小，
最小值为
，
故
的最小值为
，
则
的最小值等于
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：
①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；
②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.
题型八 距离问题七：曼哈顿距离
1．（24-25 高三上·安徽阜阳·期末）“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果
在平面直角坐标系中，点
、
的坐标分别为
，
，那么称
为
、
两点间的“曼哈顿距离”．已知
为常数，动点
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据新定义构造分段函数
，分段分析即可得到函数的最小值.
【详解】由题意得，
，令
，则
，
，
令
，则
，
当
时，
在
上单调递减，故当
时，
取到最小值
；
当
，
，
在
上单调递增，
；
当
时，
在
上单调递增，故当
时，
取到最小值
，
综上，
的最小值
．
故选：A．
2．（2025·广东揭阳·二模）在平面直角坐标系中，两点
，
的“曼哈顿距离”定义为
.例如点
的“曼哈顿距离”为
.已知点
在直线
上，点
在函数
的图象上，则
的最小值为 ，
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合“曼哈顿距离”定义列出方程，然后构造函数，利用导数求得函数的最值，即可
得到结果.
【详解】设函数
上与直线
平行的切线的切点坐标为
，
则
，解得
，所以切点为
，
即切线方程为
，即
，
则
的最小值为直线
与直线
间的距离，
即
；
设
，则
，
将
看成关于
的函数，则
在
或
时，取得最小值，
当
时，令
，
则
，令
，解得
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以
时，
，即
；
当
时，则
，令
，
则
，令
，解得
，
当
时，
，则函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
；
综上所述，
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义内容，难度较大，解答本题的关键在于理解“曼哈顿距离”，
然后结合导数知识解答.
3．（23-24 高三下·广东深圳·月考）在平面直角坐标系
中，定义
为
两点之间的“折线距离”已知点
，动点
满足
，点
是曲线
上任意一点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先确定
点满足的解析式，根据“折线距离”的定义结合导数求最值.
【详解】设
，
，
当
，
时，则
，即
，则
当
，
时，则
，即
，易知
，则
，
当
，
时，则
，即
，则
当
，
时，则
，即
，易知
则
，
综上：
，
设
，易得
，
则
设
，
，
则
即
在
单调递增，在
单调递减，则
，即
，
由
，可得
.
故答案为：
4．曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移
动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径
规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy 中，A，B 的曼哈顿距离记作
，点M 在函数
的图象上.
(1)若
，
，且
，求n；
(2)已知
，求
的取值范围；
(3)已知点
，
为
的中点，记
的最大值为
，求
的最小值.
【答案】(1)
或
；
(2)
；
(3)
．
【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义即可得到；
（2）根据曼哈顿距离的定义得
，再分类讨论去绝对值，然后通过导数分析
在
的单调性即可求解；
（3）根据曼哈顿距离的定义得
，去绝对值，构造函数利用
导数分析单调性即可求解.
【详解】（1）由题意，得
，
从而可得
，即
，解得
或
；
（2）设
，则
，
①当
时，
，
令
，则
，
所以
在
单调递增，从而
；
②当
时，则
，
令
，则
，
所以
在
单调递减，从而
，
综上，可得
的取值范围为
．
（3）设
，
，K 为MN 的中点，则
，
，
所以
，
，
令
（
），则
，
所以
在
单调递增，故
；
令
（
），则
，
当
时，
，所以
在
单调递减；
当
时，
，所以
在
单调递增，
故
；
从而
，
当且仅当
时，等号成立，
故
的最小值为
．
【点睛】根据题意曼哈顿距离的定义理解列式，再结合绝对值和导数分析函数单调性来解决.
5．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点
的坐标分别为
，那么
称
为
两点间的曼哈顿距离.
(1)已知点
分别在直线
上，点
与点
的曼哈顿距离分别为
，求
和
的最小值；
(2)已知点
是直线
上的动点，点
与点
的曼哈顿距离
的最小值
记为
，求
的最大值；
(3)已知点
，点
（
是自然对数的底），当
时，
的最大值为
，求
的最小值．（注：函数
在
内单调递增，
在
内单调递
减）
【答案】(1)2；1
(2)5
(3)
【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到
，从而得到
的最大值；
（3）根据题意，令
，然后分别构造函数
，
即可得到
，从而得到结果.
【详解】（1）
，
则
，即
的最小值为2；
，
则
，即
的最小值为1.
（2）当
时，
，
点
为直线
上一动点，
则当
时
，
即
；
当
时，
，
即
；
所以
，又当
时，
，
当
时，
，
所以
的最大值为5.
（3）令
，则
，
，
，
令
，则
在区间
内成立，
则
在区间
内单调递增，则
，
令
，则
在区间
内成立，
则
在区间
内单调递减，则
，
所以
，
所以
，
当
且
时，取得最小值，
故
的最小值
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新概念问题，难度较大，解答问题的关键在于理解题中曼哈顿距离的
定义，然后转化为所学知识求解问题.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线
上的点到直线
距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点
，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令
，则
，
设该曲线在点
处的切线为，
需求曲线到直线
的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以
，解得
，则切点为
，
故切线的方程为
，即
，
所以直线
到直线
的距离为
，
即该曲线上的点到直线
的最小距离为
.
故选：C
2．与已知直线
平行的直线是曲线
的切线，当切线与已知直线距离最大
时，切点的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，借助点到直线距离判断即可.
【详解】设切点坐标为
，求导得
，
依题意，
，即
，解得
或
，
则切点坐标为
或
，切线与直线
的距离即切点到该直线距离
，
当切点为
时，
，
当切点为
时，
，
由
，即点
到直线
的距离最大.
故选：D
3．若点P 是曲线
上任意一点，则点P 到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先求平行于直线与曲线
相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
，令
，解得
、或
（舍去），
单调递增
单调递减
设
，
，所以图象向上凹，
如图画出函数
的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线，
则
，
即平行于直线
的直线与曲线
相切的切点坐标为
，
，所以切点
在直线的左侧，
曲线
上任意一点到直线距离的最小值为点
到直线的距离，
由点到直线的距离公式，可得点P 到直线l 的距离为
．
故选：A
4．（2024·四川宜宾·三模）已知曲线
，直线
，垂直于
轴的直线分别与
、交于
、
两点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线
的方程为
，其中
，求出点
、
的坐标，可得出
，利用导数
求出函数
的最小值，即为所求.
【详解】设直线
的方程为
，其中
，
由
可得
，即点
，由
可得
，则
，
由图象可知，
，令
，其中
，则
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，
，
故选：D.
5．（23-24 高三上·河南·月考）已知函数
的图像分别与直线
交于
两点，
则使得
取得最小值时的
为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别将函数
和直线
联立得到
坐标
，
，
则
，设
，利用导函数求
最值即可.
【详解】因为函数
的图像分别与直线
交于
两点，所以
，
由
解得
点坐标为
，由
解得
点坐标为
，
所以
，
设
，则
，
令
得
，所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
，即
恒成立，
所以
，
故选：D.
6．已知点M 与点N 分别在函数
与
图象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，结合图象得出最小值时的
条件，求出
的坐标即可求解.
【详解】根据反函数的性质，函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，
结合图象可知，当直线
与直线
垂直，且
处两函数图象的切线均与直线
平行时，
最小.设
，
，因为
，
，
所以
，
，则有
，所以
，即点
，
，所以
，即点
，此时
，即
的最小值为
.
故选：C.
7．（2024·福建宁德·三模）函数
，若关于
的不等式
有且仅有三个整
数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求导，求得
的单调区间，作出
的图象，分类讨论求得
的解集，结合
图象可得
的取值范围为
.
【详解】对函数求导可得
，令
，解得
，令
，解得
，又
时，
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
和
，
作出图象如图所示：
当
时，由
，可得
，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当
时，由
，可得
，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当
时，由
，可得
，
又
，
，
，
由
的递增区间为
，所以
，
所以要使
有三个整数解，则
，
所以关于
的不等式
有且仅有三个整数解，
则
的取值范围为
.
故选：A.
8．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数
.若函数
在
和
的切线互
相平行，则两平行线之间距离的最大值为 .
【答案】
/
【分析】求出函数
的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离.
【详解】函数
，求导得
，
依题意，
，即
，解得
，
则两条切线的斜率为
，对应的两个切点为
，
切线方程为
和
，即
和
，
切线
过定点
，切线
过定点
，
所以两平行线之间距离的最大值为
.
故答案为：
.
9．已知
，则
的最小值为 .
【答案】8
【分析】由题意知，点
在曲线
上，点
在直线
上，由两点之间距
离公式得
，故可知
的最小值就是曲线
与直线
之间最小距离的平方，然后利用导数求出曲线的切点，最后利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为
，
所以点
在曲线
上，
因为
，
所以点
在直线
上，
所以
，
所以
，
如图所示，
的最小值就是曲线
与直线
之间最小距离的平方，
由
得，
，
因为与
平行的切线斜率为
，
解得
（舍去）或
，
把
代入
，得
，
所以切点为
，
切点到直线
的距离为：
，
所以
，
所以
的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了代数和的最小值的求法，解题的关键是分析出
的最
小值就是曲线
与直线
之间最小距离的平方，然后需要利用导数求切点以及点到直线
的距离公式.
10．（24-25 高三上·河北·期末）过直线
上一点M 引抛物线
的两条切线
为切点，
抛物线焦点为F，则F 到
距离的最大值为 .
【答案】
【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线
和
方程，然后将
代入两式
得到直线
所过定点，再利用两点间距离公式求出结果即可；
【详解】
设
，
，
，
则
，
方程：
化为
，
同理
方程：
，将
代入两式：
，
.
故
，
都在直线
上，
而
代入化为：
此为直线
方程，恒过点
，焦点
，
即为F 到
距离最大值.
故答案为：
.
11．已知函数
，关于x 的不等式
只有1 个整数解，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
【分析】通过求导得出函数
的单调性和最值，进而画出函数图象.然后对参数
进行分类
讨论，根据不同
的取值范围求解不等式
，再结合函数性质和整数解的条件确定
的取值
范围.
【详解】解：由
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
的递增区间为
，递减区间为
，故
的最大值是
；
时，
时，
，
故在
时，
，在
时，
，函数
的图象如下：
①
时，不等式化为
，无整数解，不合题意；
②
时，由不等式
得
，无整数解；
③
时，由不等式
，得
或
，
而
时，没有整数解，进而
的解集整数解只有一个，
且
在
递增，在
递减，
而
，这一个正整数只能为3，
所以
，即
；
综上，a 的取值范围是
．
故答案为：
.
12．（2025·辽宁·模拟预测）已知点
，点
，则
的最小值为
．
【答案】
/
【分析】根据函数关系，找出
得轨迹,根据轨迹分析最小值的情况,列出表达式,通过函数导数判断表达
式单调性,求出最小值.
【详解】易知点
在函数
上,
设
,化简得
,即
则点
在以
为圆心,半径为1 的圆周上,
如图所示,可知
两点间的最小值,即为点
到圆心
得最小值减去半径即可.
设圆心为
,可知
,
设函数
,求导得
易知
为单调增函数,且
,
所以当
时，
,
在
单调递减, 当
时，
,
在
单调
递增,
在
上有最小值,最小值
,
所以
的最小值为
.
故答案为:
.
13．已知函数
，其中是自然对数的底数.设直线
与曲线
与
分别交于
两点，若对任意
，均有
成立，则
的取值范围为
.
【答案】
【分析】把直线
分别与曲线
与
的交点
代入函数中，则由
得
，构造新函数
，使
，均有
成立问题转化为
即可.
【详解】
，且直线
与曲线
与
分别交于
两点，
则
，
，
，
当
时，令
，
则
，
由函数和（差）的单调性知
在区间
上单调递增且有
，
故当
时，
，当
时，
，
函数
在区间
单调递减，在
单调递增，
当
时，函数
有极小值也是最小值，最小值为
.
对任意
，均有
成立，化为
.
故答案为：
【点睛】本题的关键在于从直线与两曲线的交点中解出
，再构造新函数
，把问题转化为求此函数的最值.
14．（2024·安徽淮南·一模）设直线
与曲线
，
分别交于A，B 两点，
则
的最小值
【答案】4
【分析】由题意，设
，求得
.令
，可知
，使得
，即可得出
的单调性，进而根据
得到
，代入
得出
最小值.
【详解】设
，定义域为
，
则
，
令
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增.
又
，
，所以
，使得
，即
.且当
时，有
，则
，所以
在
上单调递减；当
时，有
，则
，所以
在
上单调递增.
所以，
在
处有唯一极小值，也是最小值
，
因为
，所以
，所以
.
所以，
的最小值为4.
故答案为：4.
15．（2025·宁夏·一模）已知函数
的图象与直线
交于A，B 两点，且在
处取
得极值．设
，若
，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】令
，研究
的奇偶性、单调性并确定各区间的函数值符号，画出其大致图象，
根据
与
的平移关系，结合函数图象及极值定义求三角形面积.
【详解】令
，显然定义域为
，
由
，故
为偶函数，
由
，在
、
上单调递减，在
、
上单调递增，
且
、
上
，
上
，
在区间
内
趋向
时
趋向正无穷，在
、
内
趋向
时
趋向负无穷，
显然
在
处取得极小值，为
，故
的大致图象如下，
根据
与
的平移关系，若
与
的交点
，则
，极值点
，
当
，结合对称性易知，
，又
，
所以
.
故答案为：
16．设点
在曲线
上，点
在直线
上，平面上一点
满足
，则
到坐标原点
的距离的最小值为 .
【答案】
【分析】设
，则
，进而
，表示
到
的距离平方，结合
导数的几何意义求出
即可.
【详解】由题意知，设
，
由
，得
，
得
，即
，
所以
，
即
，
表示点
到点
的距离平方，
其中
在曲线
上，
在直线
上，
的最小值为曲线
上与直线
平行的切线的切点到直线
的距离.
设切点
，则
，
解得
，即切点为
，所以
，
则
，得
，
即点M 到原点O 的距离最小值为
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将问题转化为点
到点
的距离平方的
最小值，利用导数的几何意义求解即可.
17．（23-24 高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x 的不等式
恰有2 个不同的整数解，则k
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，转化为
，令
且
，利用导数求得函数
的单调性
和最大值
，画出
的图象，结合图象和斜率公式，即可求解.
【详解】由不等式
，可得化为
，
令
且
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也为最大值
，
且当
时，
，
画出函数
的图象，如图所示，
又由直线
恒过定点
，
当直线位于如图所示的两条直线
和
之间，
其中包含
，不包含时，满足恰有两个整数解，
则
，所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
18．已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线对称，若P，Q 分别为它们上的
两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数
的图象上到直线距离最短
的点，即为点
，即可求解
两点间的最短距离.
【详解】解：令
，则
，
，
．
因为
与
关于直线
对称，
所以函数
与函数
关于直线
对称，
所以P，Q 两点之间距离的最小值等于P 到直线
距离最小值的2 倍，
函数
在
点处的切线斜率为
，
令
得，
，
，
所以点P 到直线
距离的最小值为
，
所以这两点之间距离的最小值为
．
故答案为：
.
19．设
，
是平面直角坐标系xOy 上的两点，O 为坐标原点，定义点P 到点Q 的一种折
线距离
已知
，Q 是曲线
上一点，则
的最小值
为 .
【答案】3
【分析】由题意可得
表达式，对其求导并令导数为0，分类讨论可得结果.
【详解】解：设
，
，
由题意知折线距离
，
由于点Q 在双曲线
上，且
，
要求的最小值，结合曲线的对称性，此时
，
所以
，
，
①当
时，即
，
将y 代入折线距离公式，得到
对
求导，
令
，解得
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
因此，当
时，
取得最小值，最小值为3；
②当
时，即
，
将y 代入折线距离公式，得到
，
对
求导，
所以当
时，
单调递增，
③当
时，
，
；
综上
取得最小值，最小值为
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数
，若
有且只有两个整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】不等式
可化为
，利用导数分析函数
的单调性，作函数
，
的图象，由条件结合图象列不等式可求
的取值范围.
【详解】由题设，
定义域为
，则
可得
，
令
，则
，
所以
时,
，即
递增，
时，
，即
递减，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
，且
时，
，
而
恒过
，函数图象如下：
要使
有且只有两个整数解，
则
与
必有两个交点，
若交点的横坐标为
，则
，
，
所以
，即
，
所以
的取值范围为
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知
识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微
积分相联系. （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. （3）利用导数求函
数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. （4）考查数形结合思想的应用．
2．（2024·四川绵阳·一模）已知函数
，若关于x 的不等式
的整数解有且仅有2 个，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
令
，则其图象为开口向下，对称轴为
的抛物线；
由关于x 的不等式
，
可知
，当
时，
，即有
；
当
时，
，即有
；
作出函数图象如图：
要使关于x 的不等式
的整数解有且仅有2 个，
显然
不能满足题意，故需满足
，即
，
解得
，即
的取值范围为
，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.
3．（23-24 高三上·广东潮州·期末）设函数
，已知直线
与函数
的图象交于
两点，且
的最小值为
（为自然对数的底），则
．
【答案】
【分析】分段求出函数
的值域，画出图象，可得
，设
，则
，
，分
与
讨论求出
的最小值，列方程即可求解.
【详解】当
时，
；当
时，
.
作出
的图象如图所示：
由图可得
，设
，
不妨设
，则
，
故
，所以
.
令
，则
，为单调递增函数，
当
，即
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
，解得
，舍去；
当
，即
时，
单调递增，且
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
.
综上所述，
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与
轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由
分离变量得出
，将问题等价转化为直线
与函数
的
图象的交点问题.
4．（2024·湖北·模拟预测）若函数
在不同两点
，
处的切线互相
平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先对函数
求导，得导函数是偶函数，由
在A，B 两点处切线互相平行，可得
，
计算原点O 到点A 处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有
，设
，
所以函数
在点A 处的切线方程为
，
所以原点O 到点A 处切线的距离为
，
因为
，
所以
当且仅当
时等号成立，
因为
是偶函数，且
在A，B 两点处切线互相平行，
所以
，即
在A，B 两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用
是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平
行线距离最大值即为原点O 到点A 处切线的距离最大值的2 倍.
5．已知
是函数
图象上任意一点．若点
的坐标
满足：
，则
的最小
值为 ．
【答案】
【分析】利用切线不等式和不等式性质可得
。结合条件
可推得
，从而可得点
在直线
上运动，设与
平行的直线与
相切于点
，利用求导求得切点
，结合图形计算出点
到直线
的距离即可.
【详解】易证
，
（
）. (后续提供证明)，所以
，
，
由不等式的性质知
，当且仅当
时取等号，
结合已知可得
，此时
，即点
在直线
上运动.
设与
平行的直线与
相切于点
，令
得
，
故切点为
，由图知其到直线
的距离
即为
的最小值．
下证：
，
（
）.
证明：设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
故
，即
得证.
又设
，则
，当
时，
，
当
时，
，故函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
故
，即
得证.
故答案为：
.
6．设
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用两点距离公式的几何意义将问题转化为求
图像上的动点与
图像上的动点最小距
离，利用
与
关于
的对称性，分别求出切点
，则
即为所求最小值.
【详解】由两点距离公式的几何意义可知
表示点
到
的距离，
表示点
到
的距离，
而
是
上的点，
是
上的点，
是
上的点，且
与
关于
直线
对称，
所以
的最小值可转化为
图像上的动点与
图像上的动
点最小距离，
显然，
与平行
的切线的切点
，和
与平行
的切线
的切点
，它们之间的距离
就是所求最小距离，
对于
，设切点为
，有
，则
，故
，则
，故
，
对于
，设切点为
，有
，则
，故
，则
，故
，
所以
，所以题设式子的最小值为
.
故答案为：
.
7．（24-25 高三下·福建泉州·月考）曲线
，过直线
上的动点
作曲线
的两条切
线，切点分别为
，则原点
到直线
的距离
的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】设
，写出抛物线在点
处的切线方程，利用都经过点
，求得直线
的方程，利用点到直线的距离求出
的表达式，结合二次函数的图象性质即可求得
的最大值.
【详解】
如图，设
，
依题意，抛物线
在点
处的切线斜率为
，
故其方程为
，整理得：
，
同理，抛物线
在点
处的切线方程为
，
因这两条切线都过点
，故有
，即
，
由此可得点
都满足方程
，
即直线
的方程为
，
于是原点
到直线
的距离
（*），
因点
在直线
上，故
，
代入（*），整理得：
，
当
时，
，不符合题意；当
时，
，
设
，则得
，
故当
，即
时，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：此题关键在于如何求得直线
的方程，可先利用导数写出抛物线在点
处的切
线方程，根据切线都经过点
的条件，运用同构思想，即得直线
的方程.
8．“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：设
是坐标平面内
的两点，则
两点间的曼哈顿距离为
．在平面直角坐标系
中，下列说法
中正确的为 ．（填序号）
①若
，则
；②若动点
满足
，则
的轨迹长度为
；③设
是坐标平面内的定点，动点
满足
，则
的轨迹是以点
为顶点的正方形；④设
，点
在曲线
上，则
的最大值为
．
【答案】①②③
【分析】根据距离新定义求
判断①；设
，根据已知有
，应用分类讨论研究点
的
轨迹，数形结合求轨迹长度判断②；设
，根据已知有
，同②分析确定轨迹形状判
断③；由题意知
，分区间讨论研究右侧的单调性求最大值判断④.
【详解】对于①，
，正确．
对于②，设
，因为
，所以
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
作点
的轨迹，如图中正方形，则
的轨迹长度为
，正确．
对于③，设
，因为
，所以
．
当
时，
，
当
时，
，显然两直线垂直，且交点为
．
当
时，
，与
垂直，交点为
．
当
，
时，
，与
垂直，交点为
，
与
垂直，交点为
．
因为这些交点围成的四边形的各邻边相互垂直，
所以
的轨迹是以点
，
为顶点的正方形，正确．
对于④，由题意知
，
记
，
当
时，
，
此时
单调递减，则
，此时
；
当
时，
，
，
此时
单调递增，则
，此时
．
因为
，故
，错误．
故答案为：①②③
