专题十“滑块—曲面”模型和“滑块—弹簧”模型
基础巩固
1.[2024·江苏卷] 在水平面上有一个U 形滑板A,A 的上表面有一个静止的物体B,左侧用轻弹
簧连接在滑板A 的左侧,右侧用一根细绳连接在滑板A 的右侧,开始时弹簧处于拉伸状态,各
表面均光滑.剪断细绳后,则( )
A.弹簧原长时A 的动能最大
B.压缩最短时A 的动量最大
C.系统动量变大
D.系统机械能变大
2.[2025·河北唐山模拟] 如图所示,光滑水平面上,A、B 两小球与轻质弹簧拴接,弹簧处于原
长,两小球静止.某时刻给A 球水平向右的初速度,对应初动能为Ek,设此后运动过程中弹簧弹
性势能最大值为Ep.已知A 球质量为m,若 Ek
Ep
=4,则B 球质量为
( )
A.1
3
m
B.2m
C.3m
D.4m
3.[2025·四川成都模拟] 如图所示,一小车静止于光滑水平面,其上固定一光滑弯曲轨道,整个
小车(含轨道)的质量为m.现有质量也为m 的小球,以水平速度v0从左端滑上小车,沿弯曲轨道
上升到最高点,最终从轨道左端滑离小车,重力加速度大小为g.关于这个过程,下列说法正确
的是
( )
A.小球与小车组成的系统动量守恒
B.小球沿轨道上升到最高点时,小车的速度为零
C.小球沿轨道上升的最大高度为v0
2
2g
D.小球滑离小车后,做自由落体运动
4.[2025·重庆八中模拟] 如图所示,静止在光滑水平桌面上的物块A 和B 用一轻质弹簧拴接在
一起,弹簧处于原长.一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块A 并留在其中,射入时间极短.下列说
法中正确的是
( )
A.子弹射入物块A 的过程中,子弹和物块A 的机械能守恒
B.子弹射入物块A 的过程中,子弹对物块A 的冲量大于物块A 对子弹的冲量
C.子弹射入物块A 后,两物块与子弹的动能之和等于射入物块A 前子弹的动能
D.两物块运动过程中,弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能
5.[2025·湖南永州模拟] 如图所示,质量为m、带有光滑半圆形轨道的小车静止在光滑的水平
地面上,其水平直径AB 长度为2R.现将质量也为m 的小球从A 点正上方R 处由静止释放,然
后由A 点进入半圆形轨道后从B 点冲出,已知重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的
是
( )
A.小球运动到最低点的速度大小为2❑√gR
B.小球离开小车后做斜上抛运动
C.小球离开小车后上升的高度小于R
D.小车向左运动的最大距离为R
综合提升
6.[2025 湖北武汉模拟] 如图所示,物块A、B 静止于光滑水平面上,中间连接一轻弹簧,弹簧处
于原长状态.B 上有一物块C,两者可一起运动.三个物块A、B、C 的质量相同,且均可视为质
点.现给A 水平向右的瞬时冲量,当弹簧的弹性势能达到最大值时,其值为Ep;当弹簧第一次恢
复原长时,立即取走C,当弹簧的弹性势能再次达到最大值时,其值为Ep'.则Ep和Ep'的比值为
( )
A.12∶1
B.4∶3
C.12∶17
D.24∶19
7.[2024·江苏苏州中学模拟] 如图所示,质量和半径都相同的四分之一光滑圆弧体A、B 静止
在光滑的水平面上,圆弧面的最低点和水平面相切,圆弧的半径为R.圆弧体B 锁定,一个小球
从A 圆弧体的最高点由静止释放,小球在圆弧体B 上升的最大高度为R
2
.已知重力加速度大小
为g,则
( )
A.小球与圆弧体的质量之比为2∶1
B.小球与圆弧体的质量之比为1∶2
C.若圆弧体B 没有锁定,则圆弧体B 最终获得的速度大小为❑√gR
D.若圆弧体B 没有锁定,则圆弧体B 最终获得的速度大小为1
2
❑√2gR
8.[2025·山东德州模拟] 如图所示,质量为3m 的光滑1
4
圆弧形轨道C 静止在光滑水平地面上,
轨道底端与水平地面相切,质量为2m 的小球A 和质量为m 的小球D 与轻弹簧相连接并静止
于水平地面上.现有一个质量也为m 的小球B 从圆弧轨道最高点由静止下滑,且下滑到底端
时圆弧形轨道C 向右移动距离为d,此后小球B 与小球D 正碰,碰后二者粘在一起.求:
(1)小球B 下滑至圆弧轨道底端时,小球B 的水平位移及圆弧形轨道C 的半径R;
(2)小球B 下滑至圆弧轨道底端时,小球B 的速度大小;
(3)运动过程中轻弹簧具有的最大弹性势能.
拓展挑战
9.[2025·安徽合肥模拟] 如图所示,轻质弹簧左端固定在光滑水平地面上的挡板上,在弹簧右
端一定距离处有一带四分之一光滑圆弧轨道的滑块b,轨道半径为R=0.4 m,轨道末端与水平
地面相切,推动滑块a 将弹簧压缩到长度为原长的一半时将滑块a 由静止释放,当滑块b 固定
时,a 能运动到距水平轨道2R 的最高处.已知弹簧原长为0.2 m,滑块a 的质量为m=1 kg,g 取
10 m/s2.
(1)求弹簧的劲度系数;
(2)若滑块b 不固定,求滑块a 上升的最大高度与滑块b 质量的关系;
(3)若滑块b 不固定,滑块a 只能从圆弧底端滑上圆弧2 次,求滑块b 质量mb的取值范围.
答案解析
1.A [解析] A 和B 组成的系统所受的合外力为零,系统动量守恒,有mAvA=mBvB,设弹簧的初
始弹性势能为Ep,整个系统只有弹簧弹力做功,系统机械能守恒,从剪断细绳到弹簧恢复原长
过程,根据机械能守恒定律得Ep=1
2
mAvA
2+1
2
mBvB
2,联立得Ep=1
2
mA+mA
2
mB
vA
2,所以弹簧恢复
原长时A 的速度最大,此时A 的动量最大,动能最大,故A 正确,B、C、D 错误.
2.A [解析] 当弹簧弹性势能最大时,两小球共速,则由动量守恒定律有mv0=(m+m')v,其中弹
簧弹性势能Ep=Ek-1
2 (m+m')v2,Ek=1
2 mv0
2,而Ek
Ep
=4,解得m'=1
3 m,故选A.
3.D [解析] 小球在竖直方向分速度的初始值与末状态值均为0,可知,竖直方向上先加速后
减速,即竖直方向的加速度方向先向上后向下,存在超重与失重,小球和小车构成的系统所受
外力的合力不为0,系统的动量不守恒,故A 错误;小球沿轨道上升到最高点时,小球竖直分速
度为0,结合上述可知,在水平方向,系统动量守恒,则小球与小车的速度相等,均不为零,故B 错
误;小球沿轨道上升到最高点时,根据水平方向动量守恒有mv0=2mv,根据机械能守恒定律有
mgh=1
2 mv0
2-1
2 ×2mv2,解得h=v0
2
4g
,故C 错误;小球从轨道左端滑离小车时,根据动量守恒定律
有mv0=mv1+mv2,根据机械能守恒定律有1
2
mv0
2=1
2
mv1
2+1
2
mv2
2,解得v1=0,即小球滑离小车
后,做自由落体运动,故D 正确.
4.D [解析] 子弹射入物块A 的过程中,为完全非弹性碰撞,动能损失最大,动能转化为内能,
则子弹和物块A 的机械能不守恒,A 错误;子弹射入物块A 的过程中,子弹对物块A 的冲量大
小等于物块A 对子弹的冲量大小,B 错误;子弹射入物块A 后,因为有动能转化为内能,两物块
与子弹的动能之和小于射入物块A 前子弹的动能,C 错误;两物块运动过程中,弹簧最短时与
弹簧最长时,两物块具有共同速度,有(mA+m 子)v1=(mA+m 子+mB)v2,ΔEp=1
2
(mA+m 子)v1
2-1
2
(mA+m
子+mB)v2
2,则弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能,D 正确.
5.D [解析] 小球与小车组成的系统水平方向动量守恒,则有mv 球x=mv 车,小球运动到最低点
过程由机械能守恒定律有mg·2R=1
2
mv球x
2+1
2
mv车
2,联立解得,最低点的速度大小为v 球x=
❑√2gR,故A 错误;小球离开小车后水平方向分速度为0,做竖直上抛运动,故B 错误;小球离开
小车后水平方向分速度为0,小车的速度也为0,根据能量守恒定律,小球离开小车后仍能上升
到高度R,故C 错误;小球水平方向分速度与小车速度时刻大小相等,则水平位移大小相等,根
据几何关系可知两者的相对位移为2R,故小车向左运动的最大距离为R,故D 正确.
6.B [解析] 设A 物块受到瞬时冲量后速度变为v,则弹簧弹性势能最大时,有mv=(m + m + m )
v1,由能量守恒定律有1
2
mv2=1
2
(m + m + m )v1
2+Ep,当恢复原长时,有mv=mv2+(m + m )v3,由能量
守恒定律有1
2
mv2=1
2
mv2
2+1
2
(m + m )v3
2,当拿走C 后,到再次弹簧弹性势能最大,有mv2+mv3=
(m + m )v4,由能量守恒定律有1
2 mv2
2+1
2 mv3
2=1
2
(m + m )v4
2+Ep',联立解得Ep
Ep' =4
3 ,故选B.
7.C [解析] 设小球质量为m,圆弧体质量为M,小球从圆弧体A 上滚下时,A 的速度大小为v1,
小球的速度大小为v2,则Mv1=mv2、mgR=1
2
Mv1
2+1
2
mv2
2,根据能量守恒定律1
2
mgR=1
2
mv2
2,
解得M=m,v1=❑√gR,故A、B 错误;若圆弧体B 没有锁定,则小球滑上B 过程到滑离有
mv2=mv2'+Mv,1
2
mv2
2=1
2
mv2'2+1
2
Mv2,解得圆弧体B 最终获得的速度大小为❑√gR,故C 正确,D
错误.
8.(1)3d 4d (2)❑√6gd (3)3mgd
4
[解析] (1)球B 沿圆弧轨道滑至底端的过程中与圆弧轨道C 组成的系统水平方向动量守恒,则
有mvB-3mvC=0
所以有mxB
t
=3mxC
t
则xB=3xC=3d
且xB+xC=R
可得R=4d
(2)球B 沿圆弧轨道滑至底端的过程中有mvB-3mvC=0
mg·4d=1
2
mvB
2+1
2
×3mvC
2
联立得vB=❑√6gd
(3)B 与D 碰撞过程动量守恒,则mvB=2mv1
此后A、B、D 组成的系统动量守恒,弹簧压缩到最短时A、B、D 共速,弹簧弹性势能最大,有
2mv1=4mv2
1
2
×2mv1
2=Ep+1
2
×4mv2
2
联立解得Ep=3mgd
4
9.(1)1600 N/m (2)h=4 mb
5(mb+1) m (3)3 kg<mb≤(5+2❑√5) kg
[解析] (1)由题述可知a 释放前弹簧的压缩量为0.1 m,对a 脱离弹簧过程,弹簧弹力对a 做的
功为
W=1
2
k×0.1×0.1 J
由机械能守恒定律有2mgR=W
联立解得k=1600 N/m
(2)若b 不固定,设a 滑上b 之前瞬间的速度为v0
有1
2
mv0
2=2mgR
解得v0=4 m/s
对a、b 组成的系统,当a 上升到最高点时,a、b 水平方向一定共速,设a、b 水平方向共速时b
的速度为v 共,由水平方向动量守恒定律有mv0=(m + mb)v 共
由能量守恒定律可知a 上升的最大高度h 满足mgh=1
2
mv0
2-1
2
(m+mb)v共
2
整理得h=4 mb
5(mb+1) m
(3)对a 第1 次滑上并脱离b 过程有mv0=mv1+mbv2
1
2
mv0
2=1
2
mv1
2+1
2
mbv2
2
整理得v1=4(m - mb)
m + mb
m/s、v2=8m
m + mb
m/s
当|v1|>|v2|时,a 能第2 次滑上圆弧,整理有mb>3 kg
第二次滑上并脱离b 有-mv1+mbv2=mv1'+mbv2'
1
2
mv1
2+1
2
mbv2
2=1
2
mv1'2+1
2
mbv2'2
整理得v1'= m - mb
m + mb
·4 mb-12m
m + mb
+8m
m + mb
m/s、v2'=(
2m
m + mb
·4 mb-12m
m + mb
+8m
m + mb)
m/s
当-v1'=v2'时,a 恰不能第3 次滑上圆弧,整理得mb=(5+2❑√5) kg
另一解不符合题意,舍去,则符合题意的b 质量的取值范围是3 kg<mb≤(5+2❑√5) kg
