文档文本内容
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专题05 函数的概念与性质
命题解读
考向
考查统计
1.高考对函数的考查，重点是函数的
单调性、奇偶性、对称性、周期性，
需要关注周期性、对称性、奇偶性结
合在一起，与函数图像、函数零点和
不等式相结合进行考查。
2.高考对函数的考查重点关注以基本
初等函数组成的复合函数以及抽象函
数为载体，对函数内容和性质进行考
查，考查函数的定义域、值域，函数
的表示方法及性质（单调性、奇偶
性、对称性、周期性）、图像等。
幂、指、对函数的图像与性质
2023·新高考Ⅰ卷，4
2023·新高考Ⅰ卷，10
2023·新高考Ⅱ卷，4
抽象函数的性质
2022·新高考Ⅰ卷，12
2023·新高考Ⅰ卷，11
2024·新高考Ⅰ卷，8
2022·新高考Ⅱ卷，8
函数与不等式结合
2024·新高考Ⅱ卷，8
分段函数、三次函数的图像与性质
2024·新高考Ⅰ卷，6
2024·新高考Ⅰ卷，10
2024·新高考Ⅱ卷，11
命题分析
2024 年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难度处于适中及较难。
Ⅱ卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是较难的。总体来说函数主要以课程学习情
景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困
难题，而且常考常新。函数考查应关注：（1）指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图
像和性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质
的本质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的
知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。
（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用，
注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。
试题精讲
一、单选题
1
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1．（2024 新高考Ⅰ卷·6）已知函数为
，在R 上单调递增，则a 取值的范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
2．（2024 新高考Ⅰ卷·8）已知函数为
的定义域为R，
，且当
时
，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】代入得到
，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用
，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
3．（2024 新高考Ⅱ卷·8）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2
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【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
3
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二、多选题
1．（2024 新高考Ⅰ卷·10）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】求出函数
的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数
在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
2．（2024 新高考Ⅱ卷·11）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判断出
在
上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在
这样的
，使得
为
的对称轴，则
为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这
样的
，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
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【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
5
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即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
一、单选题
1．（2023 新高考Ⅰ卷·4）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
2．（2022 新高考Ⅱ卷·8）已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数
的一个周期为，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为
，令
可得，
，所以
，令
可
得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
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，故
，即
，所以函数
的一个周期为．因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由
，联想到余弦函数和差化积公式
，可设
，则由方法一中
知
，
解得
，取
，
所以
，则
，所以
符合条件，因此
的周期
，
，且
，所以
，
由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
3．（2023 新高考Ⅱ卷·4）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
值，再检验即可.
【详解】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
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则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
故选：B.
二、多选题
1．（2022 新高考Ⅰ卷·12）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于
，因为
为偶函数，所以
即
①，所以
，所以
关于
对称，则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，所以
关于
对称，由①求
导，和
，得
，所
以
，所以
关于
对称，因为其定义域为R，所以
，结合
关于
对称，从而周期
，所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知
周期为2，关于
对称，故可设
，则
，显然A，D 错
误，选BC.
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故选：BC.
[方法三]：
因为
，
均为偶函数，
所以
即
，
，
所以
，
，则
，故C 正确；
函数
，
的图象分别关于直线
对称，
又
，且函数
可导，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
2．（2023 新高考Ⅰ卷·10）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
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【分析】根据题意可知
，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
3．（2023 新高考Ⅰ卷·11）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例
即可排除选
项D.
方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数
进行判断即可.
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【详解】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值，故D 错误.
故选：
.
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一、函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切
的定义域是
且
；
（6）已知
的定义域求解
的定义域，或已知
的定义域求
的定义域，遵循
两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
二、基本初等函数的值域
（1）y=kx +b (k≠0)的值域是R ．
（2）y=ax 2+bx +c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为
{y|y≥4ac−b2
4 a
}
；当a<0时，值域为
{y|y≥4ac−b2
4 a
}
．
（3）
y= k
x (k≠0)
的值域是{y|y≠0}．
（4）y=ax (a>0且a≠1)的值域是(0 ，+∞)．
（5）y=loga x (a>0且a≠1)的值域是R ．
三、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数
的定义域为
，区间
：
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
当
时，都有
，那么就说
在区间
上
是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，那么就说
在区间
上是减函数．
①属于定义域
内某个区间上；
②任意两个自变量
，
且
；
③都有
或
；
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④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增
（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函
数.
四、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个，都有
，
那么函数
就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对称
判断
与
的关系时，也可以使用如下结论：如果
或
，则函数
为偶函数；如果
或
，则函数
为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，
也
在定义域内(即定义域关于原点对称)．
五、函数的对称性
(1)若函数
为偶函数，则函数
关于
对称．
(2)若函数
为奇函数，则函数
关于点
对称．
(3)若
，则函数
关于
对称．
(4)若
，则函数
关于点
对称．
六、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数
，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有
，那
么就称函数
为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做
的最小正周期.
七、常见的幂函数图像及性质
函数
图象
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定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在
上单
调递增
在
上单调递
减，在
上单
调递增
在
上单调递
增
在
上单调
递增
在
和
上单调递
减
公共点
八、指数及指数运算
1、指数
(1)根式的定义：
一般地，如果
，那么
叫做
的
次方根，其中
，
，记为
，
称为根指数，
称为
根底数．
(2)根式的性质：
当
为奇数时，正数的
次方根是一个正数，负数的
次方根是一个负数.
当
为偶数时，正数的
次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算
中的一个参数，
为底数，
为指数，指数位于底数的右上角，幂
运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂
；②零指数幂
；
③负整数指数幂
，
；④
的正分数指数幂等于
，
的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①
，
，
；②
，
，
；
③
，
，
；④
，
，
．
2、指数函数
图
象
a
1
x
y
(1,a)
1
O
a
1
x
y
(1,a)
1
O
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性
质
①定义域
，值域
②
，即时
，
，图象都经过
点
③
，即
时，
等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤
时，
；
时，
时，
；
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
九、对数及对数运算
1、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果
且
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作
，
读作以
为底
的对数，其中
叫做对数的底数，
叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以
且
为底，记为
，读作以
为底
的对数；
②常用对数：以
为底，记为
；
③自然对数：以为底，记为
；
(3) 对数的性质和运算法则：
①
；
；其中
且
；
②
(其中
且
，
)；
③对数换底公式：
；
④
；
⑤
；
⑥
，
；
⑦
和
；
⑧
；
2、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数
且
叫做对数函数．
对数函数的图象
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图象
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
性质
定义域：
值域：
过定点
，即
时，
在
上增函数
在
上是减函数
当
时，
，当
时，
当
时，
，当
时，
十、函数与方程
1、函数的零点
对于函数
，我们把使
的实数
叫做函数
的零点.
2、方程的根与函数零点的关系
方程
有实数根
函数
的图像与
轴有公共点
函数
有零点.
3、零点存在性定理
如果函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
也就是方程
的根.
4、二分法
对于区间
上连续不断且
的函数
，通过不断地把函数
的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程
的近似解就是求函数
零点的近似值.
5、用二分法求函数
零点近似值的步骤
（1）确定区间
，验证
，给定精度
.
（2）求区间
的中点
.
（3）计算
.若
则
就是函数
的零点；若
，则令
（此时零点
）.若
，则令
（此时零点
）
（4）判断是否达到精确度
，即若
，则函数零点的近似值为
（或
）；否则重复第（2）—
（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
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【函数性质常用结论】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设
，
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区
间．
（3）记住几条常用的结论：
①若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
②若
和
均为增(或减)函数，则在
和
的公共定义域上
为增(或减)函数；
③若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
④若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数
是偶函数
函数
的图象关于轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个
区间上单调性相同.
(5)若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
，
，则
.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函
数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
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(7)复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
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（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
5、对称性技巧
（1）若函数
关于直线
对称，则
．
（2）若函数
关于点
对称，则
．
（3）函数
与
关于轴对称，函数
与
关于原点对称．
一、单选题
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若
为偶函数，则
（ ）
A．1
B．0
C．
D．2
【答案】A
【分析】由已知
为偶函数，可得
，列方程求解即可.
【详解】由
，
得
，
因为
为偶函数，所以
，
即
，
所以
，解得
.
故选：
.
2．（2024·湖南邵阳·三模）“
”是“函数
（
且
）在
上单调递减”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分
和
两种情况讨论
的单调性，结合充分、必要条件分析判断.
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【详解】若
，则
的图象为：
可知
在
上单调递增；
若
，则
的图象为：
可知
在
上单调递减；
综上所述：“
”是“函数
（
且
）在
上单调递减”的充要条件.
故选：C．
3．（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔
斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为
，其中
表示某地地震的里氏震级，
表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，
表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震
中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这
次地震的里氏震级约为（ ）（参考数据：
）
A．6.3 级
B．6.4 级
C．7.4 级
D．7.6 级
【答案】B
【分析】根据题意，得到
，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，某地地震波的最大振幅为
，且这次地震的标准地震振幅为
，
可得
.
故选：B.
4．（2024·河北·二模）已知函数
为奇函数，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
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C．关于点
对称
D．关于点
对称
【答案】C
【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.
【详解】函数
为奇函数，图象关于
对称，
将函数
向左平移一个单位可得函数
，
则函数
关于
对称，
所以函数
的图象关于
对称.
故选：C.
5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数
是
上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.
【详解】由
是
上的增函数，得
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B
6．（2024·湖北·二模）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由题设条件证明
，再验证
时条件满足即可.
【详解】若
在
上单调递增，
则必然在
处有定义，所以
，即
；
若
，则当
时
，所以
在
上有定义，
再由
知
在
上单调递增，所以
在
上单调递增.
故选：C.
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7．（2024·宁夏银川·三模）已知函数
，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数
单调递增
B．函数
值域为
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
的图象关于
对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函
数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，
与
的关系，即可判断CD.
【详解】
，
函数
，
，则
，
又内层函数
在
上单调递增，外层函数
在
上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数
单调递增，故A 正确；
因为
，所以
，则
，
所以函数
的值域为
，故B 正确；
，
，
所以函数
关于点
对称，故C 错误，D 正确.
故选：C.
8．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数
，则（ ）
A．
有一个极值点
B．
有两个零点
C．点（0，1）是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
【答案】C
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合
的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题，
，令
得
或
，
令
得
，
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所以
在
，
上单调递增，
上单调递减，所以
是极值点，故A 错
误；
因
，
，
，
所以，函数
在
上有一个零点，
当
时，
，即函数
在
上无零点，
综上所述，函数
有一个零点，故B 错误；
令
，该函数的定义域为
，
，
则
是奇函数，
是
的对称中心，
将
的图象向上移动一个单位得到
的图象，
所以点
是曲线
的对称中心，故C 正确；
令
，可得
，又
，
当切点为
时，切线方程为
，当切点为
时，切线方程为
，故D 错误.
故选：C.
9．（2024·宁夏银川·三模）已知函数
有3 个零点
，
，
，有以下
四种说法：
①
②
③存在实数a，使得
，
，
成等差数列
④存在实数a，使得
，
，
成等比数列
则其中正确的说法有（ ）种.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】由题意设
，根据
，求导分析
的单调性，进而数形结合分析，根
据
可判断①，根据函数的极大值可判断②，根据三次函数的对称性可判断③，举例
可判断④.
【详解】由
，得
，
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设
，则
，
则
的极小值为
，极大值为
．
对①，因为
，
所以
，当且仅当
时，
，所以
，①正确．
对②，因为
在
上单调递减，且
，
所以
，所以
未必成立，②错误．
对③，设
，令
有
，则有
，
故
图象存在对称中心
，
所以存在实数
，使得
，
，
成等差数列，③正确．
对④，因为
，所以存在实数
，使得
，
，
成等比数列，④正确．
故选：C.
10．（2024·河北保定·三模）已知
的值域为
，
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数
的取值范围.
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【详解】①若
，
当
时，
在
上单调递减，此时
，
当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
又函数
的值域D 满足
，则
解得
；
②若
，
当
时，
在
上单调递增，此时
，
当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
又函数
的值域D 满足
，不合题意；
③当
时，
，
若
，有
（当且仅当
时取等号）符合题意，
综上所述：
.
故选：D.
11．（2024·河南·三模）设函数
的定义域为
为奇函数，
为偶函数，若
1，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可得
的图象关于点
中心对称且关于直线
轴对称，进而得
的周期为4，即可求解.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
所以
的图象关于点
中心对称，则
.
因为
为偶函数，所以
，
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所以
的图象关于直线
轴对称.
由
，得
，
所以
，则
，
则
的周期为4，
，则
.
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）
关于
轴对称，
（2）
关于
中心对称，
（3）
的一个周期为
，
（4）
的一个周期为
.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
12．（2024·四川·三模）已知定义在
上的函数
在区间
上单调递增，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线
对称，关于点
对称，从而可确定其周期性，再结合单
调性可得函数
的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，因为
，则函数
关于直线
对称，
由
，则函数
关于点
对称，
所以
，所以得
，
则
，故函数
的周期为
，且
，故函数
为偶函数，
因为函数
在区间
上单调递增，则函数
的大致图象如下图：
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令
，由
，所以
，
且
，
令
，由
，由
得
，
所以
，
根据对称性，
在
单调递减，而
，所以
，
因为函数
的周期为
，
所以
，故A 不正确；
对于B，由于
，
，
在
单调递减，
所以
，所以
，故B 不正确；
对于C，又
，
，
根据图象
在
上单调递增，
所以
，故C 不正确；
对于C，
，且
，因为
，
所以
，故
，
因为
在
上单调递减，所以
，故D 正确．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键
是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.
13．（2024·四川·三模）定义在R 上的函数
与
的图象关于直线
对称，且函数
为奇函数，则函数
图象的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】先根据条件得到
的对称中心，再根据对称得到
的对称中心.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
即
，
故
的对称中心为
，即
，
由于函数
与
的图象关于直线
对称，
且
关于
的对称点为
，
故
的对称中心为
.
故选：D
二、多选题
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数
下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
是
的极值点
B．
，使得
C．若
是
的极小值点，则
在区间
上单调递减
D．函数
的图象是中心对称图形
【答案】BD
【分析】求出函数的导数，当
时，
有两解，列表表示出导数值的正负以及函数的
单调情况，当
时，
，即可判断A，B，C；证明等式
成立即可判断D.
【详解】A：因为
，所以
，
当
时，
，则
在R 上单调递增，
不是极值点，故A 错误；
B：由选项A 的分析知，函数
的值域为
，所以
，使得
，故B 正确；
C：由选项A 的分析知，当
时，
在
上单调单调递增，在
上单调递减，
所以若
为
的极小值点时，
在
上先递增再递减，故C 错误；
D：
，
而
，
28
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则
，
所以点
为
的对称中心，即函数
的图象是中心对称图形，故D 正确.
故选：BD．
15．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中
子组成，并带有放射性，会发生
衰变，其半衰期是12.43 年.样本中氚的质量
随时间(单位:年)的衰变
规律满足
，其中
表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:
)
A．
B．经过
年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若
年后，样本中氚元素的含量为
，则
【答案】CD
【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出
，再判断D 即可.
【详解】由题意得
，故有
，
左右同时取对数得
，故得
，故A 错误，
当
时，
，故B 错误，
而当
时，
，
得到经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
，故C 正确，
由题意得
，化简得
，
，
将
代入其中，可得
，故D 正确.
故选：CD
16．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，且
，则
（ ）
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A．
B．
C．
为奇函数
D．
在
上具有单调性
【答案】AC
【分析】根据题意，令
即可判断A，令
，
，即可判断B，令
结合函数奇偶性的
定义即可判断C，令
即可判断D
【详解】对A：令
，则有
，即
，故A 正确；
对B：
，
，则有
，即
，
由
，
，故
，即
，故B 错误；
对C：令
，则有
，即
，
即
，又函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
，
故函数
为奇函数，故C 正确；
对D：令
，则有
，即
，
即有
，则当
时，有
，即
，
故
在
上不具有单调性，故D 错误.
故选：AC
17．（2024·江西南昌·三模）已知函数
，若
的图象关于直线
对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象也关于直线
对称B．
的图象关于
中心对称
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，由函数图象的对称性可得
，
，由此分析可得
由此分析
选项，即可得答案.
【详解】设
关于直线
对称，
所以，
，
所以
或
，
当
时，
，
的图象关于直线
对称，
此时，
，
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∴
，
当
时，
,
∴
，∴
，
又∵
是一个定值，而
随
的不同而不同，
∴此等式不成立，即
不成立,
∴
，即
，所以
的图象关于
中心对称，B 正确；
∴
，
，即
，C 正确.
与
关于
对称，
∴
，即
，即
，
∴
，D 正确，
又
，则
，即
，
，而
，
若A 选项成立，则
时，
，所以
但此时，
，
所以由
可得
，但这与已知矛盾，
所以
的图象不可能关于直线
对称，A 错误.
故选：BCD.
18．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在
上的函数
在区间
上单调递增，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据抽象函数性质可确定
关于直线
对称，关于点
对称，从而可确定其周期性，再
结合单调性可得函数
的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可
得结论.
【详解】对于函数
有，
，则函数
关于直线
对称，
31
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由
，则函数
关于点
对称，
所以
，所以得
，
则
，故函数
的周期为
，且
，故函数
为偶函数，
因为函数
在区间
上单调递增，则函数
的大致图象如下图：
由对称性可得
，
所以
，故A 不正确；
由于
，
，所以
，故B 正确；
又
，
，所以
，故C 正确；
，且
，
因为
，所以
，故
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键
是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.考查学生的基本分析能力与
计算能力，属于中等难度的题型.
19．（2024·湖北·二模）我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心对称图形的充
要条件是函数
为奇函数．已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．函数
的值域为
B．函数
的图象关于点
成中心对称图形
C．函数
的导函数
的图象关于直线
对称
D．若函数
满足
为奇函数，且其图象与函数
的图象有2024 个交点，记为
32
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，则
【答案】BCD
【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性
判断C；利用中心对称的性质计算判断D.
【详解】对于A，显然
的定义域为R，
，则
，即函数
的值域为
，A 错误；
对于B，令
，
，
即函数
是奇函数，因此函数
的图象关于点
成中心对称图形，B 正确；
对于C，由选项B 知，
，即
，
两边求导得
，即
，
因此函数
的导函数
的图象关于直线
对称，C 正确；
对于D，由函数
满足
为奇函数，得函数
的图象关于点
成中心对称，
由选项B 知，函数
的图象与函数
的图象有2024 个交点关于点
对称，
因此
，D 正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：函数
的定义域为D，
，
①存在常数a，b 使得
，则函数
图象关于点
对
称.
②存在常数a 使得
，则函数
图象关于直线
对称.
20．（2024·湖北荆州·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，
则（ ）
A．
B．
关于
中心对称
C．
是周期函数
D．
的解析式可能为
【答案】ACD
【分析】对于A：根据题意赋值即可；对于C：根据题意结合偶函数以及周期性的定义分析判断；对于
B：举反例说明即可；对于D：将
代入题意关系式检验即可.
【详解】由
，且函数
的定义域为
，
对于选项A：令
，
，可得
，
33
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且
，可得
，故A 正确；
对于选项C：令
，则
，
则
，即
，可知
为偶函数，
令
，则
，
可知
，
，
可得
，则
，
所以
，可知
周期为6，故C 正确；
对于选项B：因为由于
为偶函数且周期为6，
则
，不满足
，
所以
不关于
中心对称，故B 错误；
对于选项D：因为
的定义域为
，
且
，
即
符合题意，所以
的解析式可能为
，故D 正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
21．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在
上不为常数的函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用赋值法依次验证各个选项.
【详解】对于A，令
，则
，即
，
又函数
不为常数，
，即
，故A 正确；
对于B，令
，则
，
令
，则
，得
，
令
，则
，得
，故B 正确；
对于C，令
，则
，所以
，即
，故C 错误；
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对于D，令
，则
，所以
，
则
，又
，
，
当且仅当
时等号成立，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题D 选项，解题关键是先证明
，结合
，利用基本不等式
证明.
22．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数
，
的定义域为
，若函数
是奇函数，函数
是偶函数，
，且
.则下列结论正确的是（ ）
A．函数
图像关于直线
对称
B．函数
为偶函数
C．4 是函数
的一个周期
D．
【答案】BCD
【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数
与
的方程组以及对函数进行赋值可推出函数
的周期从而判断C；
计算出
从而排除A；先通过赋值求出
，再通过周期性计算出D。
【详解】因为
是偶函数，所以
，
所以函数
图象关于直线
对称，
因为
是奇函数，所以
，
即
，代入
，得
，
所以
.由
，得
，
所以
，所以函数
为偶函数.故选项B 正确；
因为
，所以
，由
，
得
，所以
，得
，
所以
，所以4 是函数
的周期.故选项C 正确；
由
，得
，所以
，所以
，
由
，得
，
，所以
，
，
因为
，所以
，故选项A 错误；
由
，得
即
，
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所以
，故选项D 正确.
故选:BCD
【点睛】本题是一道综合性较强的关于抽象函数奇偶性，对称性，周期性的综合题，且包含两个函数。
解决抽象函数奇偶性，对称性，周期的问题的关键是通过赋值，找到这几个性质之间的联系，函数的赋值
包括两大类：即赋具体值和抽象的表达式，对于赋具体值一般根据题目的要求即可找到题目所需要求的值；
而赋抽象的表达式，则需要遵循赋值后的表达式与其它子式子之间能够联立的原则。另外对于一个题目里
有两个抽象函数的综合问题，则需通过建立方程组，然后赋值（表达式）消去其中一个函数，从而得到另
一个函数的性质。
23．（2024·河北邢台·一模）已知函数
和函数
的定义域均为
，若
的图象关于直线
对称，
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．若
在区间
上的解析式为
，则
在区间
上的解析式为
D．
【答案】AD
【分析】利用函数对称性的定义判断A，利用周期性的定义判断B，利用给定区间的函数解析式求解未知
解析式判断C，利用周期性对函数求和判断D 即可.
【详解】由
的图象关于直线
对称,可知
即
所以
图象关于
轴对称,故A 正确.
由
可得
又
,
所以
可知
的图象关于
对称，
所以
，
所以
是周期为4 的周期函数，
则
故B 错误.
当
时,
又因为
所以
即
在区间
上的解析式为
故C 错误.
因为
，
，
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所以
，
所以
，
所以
.故D 正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出
，由此即可顺利得解.
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