初中数学模型讲练五相似三角形的常见五种模型(后附word版)

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模型探究

相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.

模型一、A字型相似模型 

A字型（平行）反A字型（不平行）

模型二、8字型与反8字型相似模型              

模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）

模型四、共边角相似模型（子母型）

模型五、手拉手相似模型

典例精讲

考点一、A字相似模型

【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A．B．

C．D．

Ø变式训练

【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．

【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.

【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．

（1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）若AF＝8，求AE的长度．

考点二、8字与反8字相似模型

【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值

Ø变式训练

【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（　　）

A．B．C．D．

【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（　　）

A．8B．10C．12D．14

【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝．

考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）

【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（　　）

A．6B．9C．12D．13.5

Ø变式训练

【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S_△EFG＝1，则S_△ABC＝．

【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．

（1）求EB的长；（2）求FG的长．

【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．

（1）求证：AB∥EF；

（2）求S_△ABE：S_△EBC：S_△ECD．

模型四、子母型相似模型

【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：

（1）△ACP∽△PDB，

（2）CD²＝AC•BD．

Ø变式训练

【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．D．

【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（　　）

A．3B．4C．D．2

【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为．

模型五、手拉手相似模型

【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．

Ø变式训练

【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．

求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．

【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．

【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）

课后创新练

1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　）

A．＝B．C．D．

2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　）

A．2：3B．2：5C．4：9D．：

3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（　　）

A．CFB．FDC．BED．EC

4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（　　）

A．6B．9C．

．12D．18

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（　　）

A．B．2C．D．

6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝．

7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是．

8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．

9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．

（1）求线段DE的长；

（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．

11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．

（1）求证：CE＝AF；

（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．

12．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．

[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°

∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，

①填空：＝；

②求的值．

13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．

（1）求证：△ABN∽△MBE；

（2）求证：BM²+ND²＝MN²；

（3）①求△CEF的周长；

②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．

14．问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；

尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；

拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．

15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG⊥DE；

（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE²+DG²的值为．

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