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高中数学必修一第一章至第三章期中考试综合复习
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高中数学必修一第一章至第三章期中考试综合复习
一、知识框架总览
高中数学必修一（期中范围）│├─ 第一章：集合与常用逻辑用语│ ├─ 1.1 集合的概念与表示│ ├─ 1.2 集合间的基本关系│ ├─ 1.3 集合的基本运算│ └─ 1.4 充分条件与必要条件│ └─ 1.4.1 充分条件│ └─ 1.4.2 必要条件│ └─ 1.4.3 充要条件│ └─ 1.4.4 全称量词与存在量词│├─ 第二章：一元二次函数、方程和不等式│ ├─ 2.1 二次函数│ ├─ 2.2 一元二次方程与不等式│ │ └─ 2.2.1 二次函数的图象和性质│ │ └─ 2.2.2 一元二次方程、不等式与函数的关系│ └─ 2.3 基本不等式│└─ 第三章：函数的概念与性质 ├─ 3.1 函数的概念 │ └─ 3.1.1 函数的概念 │ └─ 3.1.2 函数的表示法 └─ 3.2 函数的基本性质 ├─ 3.2.1 函数的单调性 └─ 3.2.2 函数的奇偶性二、第一章：集合与常用逻辑用语
2.1 集合的概念与表示
集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。
元素的三个特性：
• 确定性 • 互异性 • 无序性
常见数集：
【例1】（选自题库）下列各组对象中能构成集合的是（ ）
• A. 所有接近0的实数 • B. 某校高一所有身高超过170cm的同学 • C. 所有的漂亮女生 • D. 比较小的正整数
答案：B
解析：集合元素必须具有确定性。"接近0""漂亮""比较小"都不明确，不能构成集合。B中"身高超过170cm"标准明确，可以构成集合。
【例2】（选自题库）用列举法表示集合 为（ ）
• A. • B. • C. • D.
答案：A
解析：解方程 ，得 ，所以 或 。又因为 ，所以集合为 。
2.2 集合的基本运算
【例3】（选自题库）已知全集 ，，，则 （ ）
• A. • B. • C. • D.
答案：A
解析：，，所以 。
2.3 充分条件与必要条件
【例4】（选自题库）判断下列命题的真假：
（1）"" 是 "" 的充分不必要条件。
（2）"" 是 "x = 1" 的必要不充分条件。
答案：
（1）真命题
若 ，则 成立，充分性成立。
但 时， 或 ，必要性不成立。
所以是充分不必要条件。
（2）真命题
若 ，则 成立，充分性成立。
但 时， 或 ，必要性不成立。
所以 是 的必要不充分条件。
2.4 全称量词与存在量词
命题的否定规则：
• 全称命题 的否定是 • 特称命题 的否定是
【例5】（选自题库）写出下列命题的否定：
（1），。
（2），。
答案：
（1），
（2），（或 ）
三、第二章：一元二次函数、方程和不等式
3.1 二次函数的图象与性质
一般式： ()
顶点式：，其中 ，
对称轴：
顶点坐标：
【例6】（选自题库）函数 的图象开口方向及对称轴分别为（ ）
• A. 开口向上，对称轴 • B. 开口向下，对称轴 • C. 开口向上，对称轴 • D. 开口向下，对称轴
答案：B
解析：，开口向下；对称轴 。
3.2 一元二次不等式的解法
步骤：
1. 求对应方程的根（判别式 ） 2. 根据 判断根的情况 3. 结合二次函数图象写出不等式的解集
口诀：
• 大于取两边，小于取中间 • 大根在右，小根在左
【例7】（选自题库）不等式 的解集为（ ）
• A. • B. • C. • D.
答案：A
解析：方程 的根为 。
因为 ，开口向上，不等式 取中间部分。
所以解集为 。
3.3 基本不等式
基本不等式：若 ，则
当且仅当 时，等号成立。
常用变形：
• • •
【例8】（选自题库）已知 ，求 的最小值。
解：因为 ，所以
由基本不等式：
当且仅当 ，即 ，（）时，等号成立。
所以最小值为 4，此时 。
四、第三章：函数的概念与性质
4.1 函数的概念
设 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 。
三要素：定义域、对应法则、值域
【例9】（选自题库）函数 的定义域为（ ）
• A. • B. • C. • D.
答案：D
解析：要使函数有意义，需满足：
解得 且 。
所以定义域为 。
4.2 函数的单调性
设函数 的定义域为 ，区间 ：
增函数：若 ，当 时，都有 ，则 在 上单调递增。
减函数：若 ，当 时，都有 ，则 在 上单调递减。
【例10】（选自题库）函数 的单调递增区间是（ ）
• A. • B. • C. • D.
答案：B
解析：，开口向上，对称轴 。
在对称轴右侧 上单调递增。
4.3 函数的奇偶性
偶函数：若 ，都有 ，则 是偶函数。图像关于 y轴 对称。
奇函数：若 ，都有 ，则 是奇函数。图像关于 原点 对称。
判断步骤：
1. 检查定义域是否关于原点对称 2. 计算 ，与 、 比较
【例11】（选自题库）函数 是（ ）
• A. 奇函数 • B. 偶函数 • C. 既是奇函数又是偶函数 • D. 非奇非偶函数
答案：A
解析：定义域为 ，关于原点对称。
所以 是奇函数。
五、期中重点题型汇总
题型一：集合运算与含参问题
【典题】（选自题库）已知集合 ，。若 ，求实数 的取值范围。
解：分两种情况讨论：
情况1：，即 ，解得 。
情况2：，即 ，此时需满足：
解得 。
综上所述， 的取值范围是 。
题型二：二次函数最值问题
【典题】（选自题库）求函数 在区间 上的最大值与最小值。
解：，开口向上，对称轴 。
• 最小值： • 最大值：比较端点值 • •
所以最大值为5，最小值为1。
题型三：不等式恒成立问题
【典题】（选自题库）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围。
解：要使 对一切实数 恒成立，
需满足 。
解得 。
题型四：函数单调性与奇偶性综合
【典题】（选自题库）已知 是 上的奇函数，且在 上单调递增，，求不等式 的解集。
解：因为 是奇函数，所以 ，且 。
当 时：
因为 在 上单调递增，且 ，
所以 当且仅当 ，即解集为 。
当 时：
因为 ，且 在 上递增，，
所以 。
结合 ，得 。
综上，不等式 的解集为 。
六、易错点警示
错误示例：已知 ，若 ，求 的值。
很多同学直接令 或 ，解得 或 或 ，然后就作答。
正确做法：求出 的值后，必须验证集合元素的互异性！
当 时，，不满足互异性，舍去。
当 时，，满足互异性，符合题意。
错误写法： 在 上单调递减
正确写法： 在 上单调递减，在 上单调递增
原因：单调区间不能用并集符号 "" 连接！
错误示例：求 的最小值。
直接用基本不等式得 。
正确做法：需分情况讨论：
• 当 时，，最小值为2 • 当 时，，最大值为-2 • 时无意义
基本不等式使用三要素：一正、二定、三相等
⚠️ 易错点4：奇偶性的定义域
错误理解：只要满足 就是偶函数。
正确理解：定义域必须关于原点对称，才能讨论奇偶性。
示例： 不是偶函数（定义域不关于原点对称）。
七、期中模拟测试
基础题（每题5分，共30分）
1. 集合 ，，则 （ ） • A. • B. • C. • D. 2. 不等式 的解集为（ ） • A. • B. • C. • D. 3. 函数 的定义域为（ ） • A. • B. • C. • D. 4. 已知 是奇函数，且 ，则 （ ） • A. • B. • C. • D. 5. 函数 在 上的最小值为（ ） • A. • B. • C. • D. 6. 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ） • A. • B. • C. • D.
中档题（每题10分，共40分）
1. 已知集合 ，。 • （1）若 ，求 ； • （2）若 ，求实数 的取值范围。 2. 求函数 在区间 上的最大值和最小值。 3. 已知 。 • （1）判断 的奇偶性； • （2）证明 在 上单调递增。 4. 已知不等式 的解集为 ，求 的值。
提升题（每题15分，共30分）
1. 已知函数 。 • （1）若不等式 的解集为 ，求 的值； • （2）在（1）的条件下，求 在区间 上的最大值和最小值。 2. 设 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，。 • （1）求不等式 的解集； • （2）若 ，求实数 的取值范围。
八、参考答案
基础题答案
1. A（，） 2. A（，解集为 ） 3. B（ 且 ） 4. B（奇函数 ） 5. A（，最小值 ） 6. B（）
中档题答案
1. 解： • （1） • （2）由 得 ，解得 2. 解：，最小值 ，最大值 3. 解： • （1），是奇函数 • （2）设 ，作差证明 4. 解：由解集可知方程 的根为 ，由韦达定理得
提升题答案
1. 解： • （1）由解集 可知 ，所以 • （2），最大值 ，最小值 2. 解： • （1）利用奇函数图像关于原点对称，解集为 • （2）由 ，结合单调性得 ，解得
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素材来源：人教A版必修第一册第三章
