不等式习题12道全拆解,用「比较法」一眼看穿出题人套路学生AI智能体+费曼技巧+2.1等式性质与不等式性质(人教版高中数学A版必修第一册)

不等式习题12道全拆解，用「比较法」一眼看穿出题人的套路

学霸轻松养成过程

今天拆解的是人教版高中数学A版必修第一册2.1节的课后习题——习题2.1，一共12道题，从基础到拓展全覆盖。

在开始之前，教你一个学霸都在用的方法：「比较分析异同法」。这12道题看起来五花八门，但如果你学会比较它们的异同，就会发现其实只有几种类型。比如第3题的4个小题都是「作差法」比大小，但每道题的「坑」不一样；第7题和第10题都是证明题，但思路完全不同。把相似的题放在一起比较，找出它们的相同点和不同点，你就能一眼看穿出题人的套路，再也不怕变式题了。

复习巩固·第1-2题

第1题

举出几个现实生活中与不等式有关的例子。

费曼拆解：这道题是开放题，目的是让你感受不等式在生活中的普遍性。常见例子：

①高速公路限速120km/h：0<v≤120

②电梯载重不超过1000kg：总重量≤1000

③银行存款年利率不低于2%：利率≥2%

④身高要求：儿童票身高<1.2m，成人票身高≥1.2m

第2题

某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元。列出不等式表示"经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入"。

费曼拆解：

方案A的总投入：500万元（一次性，不随时间变化）

方案B的总投入：第一年100万，以后每年10万。经过n年，总投入=100+10(n-1)=100+10n-10=90+10n万元

要求方案B不少于方案A：90+10n≥500

解这个不等式：10n≥410，n≥41

答案：90+10n≥500，即n≥41年。

复习巩固·第3题（比较大小专题）

🎓 比较分析异同法·方法融入

第3题的4个小题都是「比较两个代数式的大小」，方法都是作差法，但每道题的「坑」不一样。我们放在一起比较：

相同点：都用「作差法」，即计算A-B，判断结果与0的关系。

不同点：①化简后的形式不同（常数、一次式、完全平方）；②是否需要分类讨论；③是否用到配方技巧。

关键区分标准：看化简后的结果——如果是常数，直接判断；如果含变量，需要配方或讨论。

第3题 比较下列各组中两个代数式的大小：

（1）x²+5x+6 与 2x²+5x+9

拆解：作差：(x²+5x+6)-(2x²+5x+9)=x²+5x+6-2x²-5x-9=-x²-3=-(x²+3)。因为x²≥0，所以x²+3≥3>0，所以-(x²+3)<0。结论：x²+5x+6 < 2x²+5x+9。

（2）(x-3)² 与 (x-2)(x-4)

拆解：先展开：(x-3)²=x²-6x+9；(x-2)(x-4)=x²-6x+8。作差：(x²-6x+9)-(x²-6x+8)=1>0。结论：(x-3)² > (x-2)(x-4)。

（3）当x>1时，x² 与 x²-x+1

拆解：作差：x²-(x²-x+1)=x²-x²+x-1=x-1。因为x>1，所以x-1>0。结论：x² > x²-x+1。

（4）x²+y²+1 与 2(x+y-1)

拆解：作差：x²+y²+1-2(x+y-1)=x²+y²+1-2x-2y+2=x²-2x+y²-2y+3。配方：(x²-2x+1)+(y²-2y+1)+1=(x-1)²+(y-1)²+1。因为(x-1)²≥0且(y-1)²≥0，所以(x-1)²+(y-1)²+1≥1>0。结论：x²+y²+1 > 2(x+y-1)。

🎓 比较分析异同法·总结

把这4道题放在一起比较，你会发现：

①（1）（2）化简后是常数，直接判断正负；

②（3）化简后含变量，需要利用条件x>1判断；

③（4）需要配方，利用完全平方非负的性质。

记住这个分类：作差后看结果类型——常数直接判，含变量用条件，能配方就配方。

复习巩固·第4-6题

第4题

一个大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2。试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）。

费曼拆解：

设十位数字为a，个位数字为b，这个两位数=10a+b。

条件1：大于50且小于60 → 50<10a+b<60

条件2：个位比十位大2 → b=a+2

代入：50<10a+(a+2)<60 → 50<11a+2<60 → 48<11a<58

因为a是整数，所以a=5（48/11≈4.36，58/11≈5.27，只有5在这个范围内）

b=a+2=7

答案：这个两位数是57。

第5题

已知2<a<3，-2<b<-1，求2a+b的取值范围。

费曼拆解：

由2<a<3，用性质4（乘正数2）：4<2a<6

由-2<b<-1，直接写：-2<b<-1

用性质5（同向可加）：4+(-2)<2a+b<6+(-1)

即 2<2a+b<5

答案：2a+b的取值范围是(2, 5)。

第6题

证明：c<b，b

费曼拆解：这就是不等式性质2（传递性）的证明。

证明：因为c0；因为b0。

两个正数相加仍为正数：(b-c)+(a-b)>0

化简：a-c>0

所以a>c，即c<a。证毕。

综合运用·第7-10题

🎓 比较分析异同法·方法融入

第7题和第10题都是证明题，放在一起比较：

相同点：都要证明一个分式不等式，都要用到「倒数」相关的性质。

不同点：第7题是已知多个条件综合推导，第10题是从实际问题抽象出不等式再证明。

关键区分：第7题用「性质4乘负数变号」，第10题用「作差法+通分」。

第7题

已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证 e/(a-c) > e/(b-d)。

费曼拆解：

第一步：分析分母。因为a>b>0且c<d<0，所以-c>-d>0。由性质5（同向可加），a+(-c)>b+(-d)，即a-c>b-d>0。

第二步：取倒数。因为a-c>b-d>0，由例2的结论（正数越大倒数越小），1/(a-c)<1/(b-d)。

第三步：乘负数变号。因为e<0，由性质4，1/(a-c)<1/(b-d)两边乘e要变号，所以e/(a-c)>e/(b-d)。证毕。

第8题 下列命题为真命题的是（）。

(A) 若a>b>0，则ac²>bc²

(B) 若a>b>0，则a²>b²

(D) 若a<b<0，则1/a<1/b

费曼拆解：

(A) 错。c²≥0，当c=0时ac²=bc²=0，不满足ac²>bc²。

(B) 对。a>b>0，由性质7（正数乘方保序），a²>b²。

(D) 错。a<b<0，由例2结论，1/a>1/b（负数越大倒数越小），不是1/a<1/b。

答案：B

第9题

证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因。

费曼拆解：

设周长为L。

圆的半径r=L/(2π)，面积S₁=πr²=π·[L/(2π)]²=L²/(4π)

正方形边长a=L/4，面积S₂=a²=L²/16

比较：S₁/S₂=[L²/(4π)]/[L²/16]=16/(4π)=4/π

因为π≈3.14<4，所以4/π>1，即S₁>S₂。

结论：相同周长下，圆的面积大于正方形面积。所以水管做成圆形，在相同材料（周长相同）的情况下，过水面积更大，流量更大。

第10题

已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了。请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立。

费曼拆解：

原来糖水的浓度：a/b

加糖后的浓度：(a+m)/(b+m)

「变甜了」意味着浓度增大：(a+m)/(b+m) > a/b

证明：作差：(a+m)/(b+m) - a/b = [b(a+m)-a(b+m)]/[b(b+m)] = (ab+bm-ab-am)/[b(b+m)] = m(b-a)/[b(b+m)]

因为b>a，所以b-a>0；又m>0，b>0，b+m>0，所以分子分母都为正，差>0。

所以(a+m)/(b+m) > a/b。证毕。

拓展探索·第11-12题

🎓 比较分析异同法·方法融入

第11题和第10题的比较：

相同点：都是证明题，都用到了「作差法」。

不同点：第10题是分式比较，需要通分；第11题是根式比较，需要有理化或平方。

关键区分：看到根号，想到「平方」或「有理化」；看到分式，想到「通分」。

第11题

已知a>b>0，求证√a > √b。

费曼拆解：

方法一（作差+有理化）：

√a - √b = (√a - √b)(√a + √b)/(√a + √b) = (a-b)/(√a + √b)

因为a>b，所以a-b>0；因为a>0且b>0，所以√a+√b>0。

分子分母都为正，所以√a - √b > 0，即√a > √b。证毕。

方法二（平方法）：

因为a>b>0，所以√a>0且√b>0。

(√a)²=a，(√b)²=b。因为a>b，由性质7得(√a)²>(√b)²。

又因为√a>0且√b>0，由性质6的逆用，得√a>√b。证毕。

第12题

火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t。现计划用A、B两种型号的货厢共50节运送这批货物。已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？

费曼拆解：

设A型货厢x节，则B型货厢(50-x)节。

甲种货物约束：35x + 25(50-x) ≥ 1530 → 35x + 1250 - 25x ≥ 1530 → 10x ≥ 280 → x ≥ 28

乙种货物约束：15x + 35(50-x) ≥ 1150 → 15x + 1750 - 35x ≥ 1150 → -20x ≥ -600 → x ≤ 30

综合：28 ≤ x ≤ 30，x为整数，所以x=28, 29, 30。

三种方案：

方案1：A型28节，B型22节

方案2：A型29节，B型21节

方案3：A型30节，B型20节

运费计算：

运费W = 0.5x + 0.8(50-x) = 0.5x + 40 - 0.8x = 40 - 0.3x

因为W随x增大而减小，所以x=30时运费最少。

最少运费 = 40 - 0.3×30 = 40 - 9 = 31万元

答案：共有3种方案，方案3（A型30节，B型20节）运费最少，为31万元。

本节总结

12道题的分类总结（比较分析异同法）：

类型1：实际建模题（第1、2、4、10、12题）

共同特征：从实际问题抽象出不等式。关键：找准变量，列对不等关系。

类型2：作差比较题（第3题4个小题）

共同特征：都用「作差法」比大小。不同：化简技巧不同（常数、配方、利用条件）。

类型3：性质应用题（第5、6、8题）

共同特征：直接运用不等式性质。关键：记住每条性质的条件和结论。

类型4：证明题（第7、9、11题）

共同特征：需要逻辑推导。方法：作差法、通分、有理化、平方法。

学习建议：用「比较分析异同法」把这12道题分类整理，找出每类题的共同解法和易错点。下次遇到新题，先判断属于哪一类，再调用对应的解法，效率会大大提高。

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